空间问题的基本理论.ppt

第五章 空间问题的基本理论,教学重点,1、空间问题的平衡微分方程、几何方程、物理方程；2、空间轴对称问题的基本方程。,教学要求 1、了解空间问题的三套基本方程；2、掌握物体内任一点的应力状态；3、掌握轴对称问题的特点，了解轴对称问题的基本方程。,在一般空间问题中,包含15个未知函数：6个应力分量 x,y,z,xy,yz,zx；6个应变形变分量 x,y,z,xy,yz,zx；3个位移分量 u,v,w。它们都是坐标（x,y,z）的函数。,在弹性区域内部，要考虑静力学、几何学和物理学三方面的条件，分别建立3套基本方程：平衡微分方程，几何方程，物理方程。然后在边界条件下求解这些方程，得出应力分量、形变分量和位移分量。空间问题的解析解一般只能在特殊边界条件下才可以得到。可分为空间球对称问题和空间轴对称问题。,球对称问题,球对称问题：如果弹性体的几何形状、约束条件以及外载荷都对称于某一点（过这一点的任一平面都是对称面），这时应力、位移等都对称于这一点，称为球对称问题，球对称问题的弹性体的形状只能是圆球(实心或空心球）。,在球对称问题中，应力、应变、位移等分量都只是径向坐标的函数。,轴对称问题：如果弹性体的几何形状、约束条件以及外载荷都对称于某一轴（过该轴的任一平面都是对称面），这时应力、位移等都对称于这一轴，称为轴对称问题，轴对称问题的弹性体的形状一般为是圆柱或半空间。,轴对称问题,在外力作用下，物体整体平衡的同时，任何一部分也将保持平衡。从中取出一个单元体加以分析。,5-1 平衡微分方程,考虑图示单元体z轴方向的平衡:在z面的负面z处，正应力为,在x面的负面处，切应力为 xz；,x,y,z,o,z正面z+dz处正应力为,x正面x+dx处切应力为,在物体内的任一点P取一微小的正六面体，其六面垂直于坐标轴，棱长为dx,dy,dz。,在y面的负面y处，切应力记为,x,y,z,o,y正面y+dy处应力为,设fz 为物体z的方向的体力分量。,x,y,z,o,由,整理便得到z方向的平衡方程:,空间问题中的平衡微分方程：,（51）,同样得到x、y方向的平衡方程。,证明切应力互等定律,整理得：,根据小变形假定，略去微量不计，得,同样可以得出：,以六面体前后两面中心的直线ab为矩轴,列出力矩的平衡方程：,5-2 物体内任一点的应力状态,已知任一点P的应力分量 x、y、z、xy、yz、zx，,在P点附近取一平面ABC,平行于该斜面，并与经过P点而平行于坐标面的三个平面形成一个微小的四面体PABC,如图所示.n为平面ABC的外法线,其方向余弦为：cos(n,x)=l,cos(n,y)=m,cos(n,z)=n,求：过该点的任 一斜面上的应力。,1、求ABC面上的应力分量 px，py，pz,除以ds,然后令dv/ds0,得：,px=l x+m yx+n zx,由x方向的平衡得到：,pxdS-x ldS-yx mdS-zx ndS+fxdv=0,设px、py、pz为斜面ABC的全应力p在坐标轴上的投影。斜面ABC的面积为ds,PABC的体积为dv。则:BPC的面积:ldsCPA的面积:mdsAPB的面积:nds,py=my+n zy+l xy,pz=n z+l xz+m yz,同理可得 y,z方向的平衡条件，于是得：,px=l x+m yx+n zx,（5-2）,特殊情况下，如果ABC是物体受面力作用的边界s，则px，py，pz成为面力分量,上式即是空间物体的应力边界条件，表明应力分量的边界值与面力分量之间的关系。,由式（52）得出应力边界条件：,lx+myx+nzx,nz+lxz+myz,my+nzy+lxy,在s上,2、求ABC面上的正应力n和切应力分量n,ABC面上的正应力n：,（53）,将式（52）代入得：,py=my+n zy+l xy,pz=n z+l xz+m yz,px=l x+m yx+n zx,（5-2）,（53）,ABC面上的切应力n：,可见，若已知坐标面上的6个应力分量，就可求任一斜面上的正应力和切应力。6个应力分量完全决定了一点的应力状态。,（54）,则有：,将式（5-2）代入得：,若经过任一点P的某一面上的n 0，则该面为P点的一个应力主面，n 即为P点的一个主应力，该斜面的法线方向即为P点的一个应力主向。,(a),5-3 P点的主应力、最大与最小的应力,px=l，py=m,pz=n,（b）,利用方向余弦的关系式：,联立求解式(a),(b),能够得出 l,m,n,一组解答，就得到 P点的一个主应力及对应的应力主面和应力主向。,为求解方便，将式(a)改写为：,(c),（56）,由于l,m,n不能全为0，故系数行列式应该等于零：,展开得：,解方程得出的3个实根1，2，3，即为P点的3个主应力。,主应力的个数 设三次方程（56）至少有1个实根，因而至少存在1个主应力以及与之对应的主平面。若设该主应力为 3，并将z 轴放在这个应力主向，则有：,z 3,zx=xz=0,zy=yz=0,于是正六面体的应力如图所示，根据2-3的分析，可以断定有2个主应力1和2，作用在互相垂直的2个应力主面上。,说明：在受力物体内的任意一点，一定存在3个互相垂直的应力主面 以及对应的3个主应力。,（d）,(1)(2)(3)0,（56）式可写为：,展开得：,1+2+3=x+y+z,（5-7）,可见：在三个互相垂直的面上的正应力之和不随坐标变化，是不变量，并且等于三个主应力之和。,可以证明：3个主应力中最大的一个就是该点的最大正应力，最小的一个就是该点的最小正应力。,（56）,比较（56）式和（d）式中的项，得：,5-4 几何方程及物理方程、边界条件,一、几何方程 采用与平面问题（oxy平面）相同的分析方法，可以分析oyz和ozx平面内相应微线段的变形，即可导出另外三个几何方程。,（58）,形变分量与位移分量应满足下列6个方程，即空间物体的几何方程：,二、空间问题的物理方程,（59）,物理方程描述形变分量与应力分量之间的关系。,三、空间问题的边界条件,1、位移边界条件,在给定的约束位移边界su上,位移分量还应满足下列3个位移边界条件，即空间物体的位移边界条件：,(在su上）（510）,2、应力边界条件,在给定的s边界上,应力分量还应满足下列3个应力边界条件：,l x+m yx+n zx,n z+l xz+m yz,my+n zy+l xy,在s上,四、体积应变,设微小正六面体的棱边长度：dx,dy,dz,变形前的体积为:v=dxdydz;变形后的体积为：v=（dx+xdx)(dy+ydy)(dz+zdz),体积应变（体应变）单位体积的改变，称为体积应变。,（512）,则体应变为：,略去高阶微量，得：,将几何方程代入，得：,（511）,五、体积应力和体积模量,将物理方程中的前3项相加，得,令,其中：,称为体积应力；,则上式为：,称为体积模量。,（513）,六、物理方程的另外一种形式 用形变分量来表示应力分量,求解x得:,由,代入上式，得：,（514）,于是得用形变分量来表示应力分量的物理方程：,总结：在一般空间问题中,包含15个未知函数：6个应力分量 x,y,z,xy,yz,zx；6个应变形变分量 x,y,z,xy,yz,zx 3个位移分量 u,v,w。它们都是坐标（x,y,z）的函数。在弹性区域内部，这15个未知函数应当满足15个基本方程：3个平衡微分方程；6个几何方程；6个物理方程。此外，在给定约束位移的边界su上，还应当满足位移边界条件（59）；在给定面力的边界s上，还应当满足应力边界条件（55）。,空间问题中的平衡微分方程：,空间物体的几何方程：,空间问题的物理方程,（55）,应力边界条件：,l x+m yx+n zx,n z+l xz+m yz,my+n zy+l xy,在s上,位移边界条件：,(在su上）（59）,5-5 空间轴对称问题的基本方程,轴对称问题：如果弹性体的几何形状、约束条件以及外载荷都对称于某一轴（过该轴的任一平面都是对称面），这时应力、位移等都对称于这一轴，称为轴对称问题。弹性体的形状：一般为是圆柱或半空间。,在描述轴对称问题中的应力、形变及位移时，圆柱坐标,z。,特点：若对称轴为z轴，则所有的应力分量、形变分量、位移分量都将只是、z的函数，不随而变。并且，具有方向性的各物理量应当对称于通过z轴的任何平面，凡不符合对称性的物理量必然不存在，它们应当等于零。,基本概念 径向线应变沿方向的线应变；环向线应变沿方向的线应变；轴向线应变z沿z方向的线应变；z方向与 z 方向之间直角的改变；方向与方向之间直角的改变；z z 方向与方向之间直角的改变；径向位移分量 u沿方向的位移分量；环向位移分量 u 沿方向的位移分量；轴向位移分量 uz沿z方向的位移分量；,一、空间轴对称问题的平衡微分方程,由于对称性，在水平面内无增量，且,从轴对称物体中取出图示的单元体。,并且环向体力分量 f0,取,根据方向的平衡，可得,化简后得到,根据z方向的平衡，可得,化简后得到,空间轴对称问题的平衡微分方程为,（515）,方向的平衡自然满足。,由于对称，各点环向位移u0，由径向位移产生的应变为,由轴向位移uz产生的应变为,迭加得到几何方程,二、空间轴对称问题的几何方程,（516）,由于柱坐标和直角坐标都是正交坐标，所以物理方程的基本形式可以直接根据虎克定律得出：,三、空间轴对称问题的物理方程,（517）,式（517）的前三项相加，得,体积应变为：,体积应力为：,应力分量用应变分量表示为,应力分量用位移分量表示为,空间轴对称问题的物理方程的两种表示,其中：,