矩阵论一线性变换.ppt
第一章 第二节 线性变换及其矩阵,主要内容：线性变换 线性变换的运算 线性变换的值域与核,第二节 线性变换及其矩阵,线性变换的矩阵表示相似矩阵线性变换的特征值与特征向量不变子空间（自学）Jordan标准型介绍,一、线性映射（变换）的定义及运算,则称T是从V到W的一个线性映射或线性算子。,设V,W是数域F上的两个线性空间，T是从V到W的一个映射，如果对于,当 V=W时,T也称为V上的一个线性变换。,例1 恒等变换,例2 0-变换,线性变换举例：,例3 求导运算是多项式空间C n x上的线性变换。,例4 定义在闭区间a,b上的所有连续函数的集合Ca,b是一个线性空间，则Ca,b的积分运算是线性变换。,线性映射（变换）有以下性质：,（3）T将V中的线性相关向量组映射为W中的线性相关向量组，但把线性无关向量组不一定映射为W中的线性无关向量组；,（4）设 则,并且,可以验证，线性空间V的线性变换经加法与数乘运算后仍为线性变换，并且满足下列基本性质,设 都是线性空间V的线性变换，定义线性变换的加法，,设T是线性空间V的一个线性变换，k是数域F上的一个数，定义线性变换的数乘，,（2）结合律,（1）交换律,线性变换的运算：,（8）,（3）存在零变换o,（4）存在负变换-T,（5）第一分配律,（6）第二分配律,（7）结合律,令,表示n维线性空间V的所有线性变换的集合，则,在线性变换的加法与数乘运算下构成数域F上的一个 维线性空间。,容易验证线性空间V上线性变换的积也是一个线性变换，并且满足下述性质（1）结合律,设 都是线性空间V的线性变换，定义线性变换的积，,需要注意的是，线性变换的积一般不满足交换律，即,（2）分配律,例：在 中定义线性变换：,由于,则,当T是可逆变换时，定义,设T是线性空间V的一个线性变换，,是一个多项式，则T的多项式为,若线性变换的积可交换，即,则称,可交换的。,此时也称 是可逆线性变换。,线性变换的值域与核,设T是n维线性空间V的一个线性变换，定义T的值域R(T)与核N(T)分别为,设A是n阶矩阵，A的值域R(A)与核N(A)分别为,-T的全体象组成的集合,-被T变成零向量的向量组成的集合,实例,求导运算T在多项式空间C n x上的值空间R(T)与核空间N(T)分别为,注：C n xR(T)+N(T),R(T)=L1,x,x2,x n-1 N(T)=1,（1）T的值域R(T)与核N(T)都是V的子空间；,（3）dim(R(T)+dim(N(T)=n.,则,定理：设T是n维线性空间V的一个线性变换，是n维线性空间V的基，,分别称为象子空间，核子空间；,象子空间的维数dim R(T)称为T的秩，核子空间的维数称为T的零度（或亏）,证（3）,设,把它扩充为V的一组基,则有,要证,设,则有,即,所以,是V的一组基，则,线性无关。,（3）dim(R(T)+dim(N(T)=n.,例 在 中定义T：,求T的值域与核，并确定其秩与零度。,解：容易验证T为 上的线性变换，设,则由,解得,从而,T的零度为0；,T的秩为3；,又因为,所以,设T是n维线性空间V的一个线性变换，,是n维线性空间V的基，,称A为T在基 下的矩阵。,二、线性变换的矩阵表示,（2）给定n维线性空间V的基后，V上的线性变换与n阶矩阵之间存在一一对应关系。,基向量的象可以被基线性表出，即,说明（1）矩阵A的第i列恰是 的坐标；,（4）设n维线性空间V的一个线性变换T在基,下的矩阵为,是n维线性空间V的基，,（3）设T1，T2是n维线性空间V的两个线性变换，,T1，T2在该基,下的矩阵为,（5）设 是纯量多项式，T,为V中的线性变换，且对V的基 有,则V的线性变换f(T)在该基下的矩阵为：,其中f(A)称为矩阵A的多项式。,例1、试确定在多项式空间Pn x上的求导运算T分别在下列两组基下的表示矩阵,说明：同一线性变换在不同基下的表示矩阵一般是不同的，它们之间的关系是相似矩阵。,例2、在R3中线性变换T将基 变为基,其中,（1）求T在基 下的表示矩阵；,（2）求向量 及,在基 下的坐标,解（1）依题意,则,（2）设,则,证明,定理：T在基 下的矩阵为A，,在基 下的矩阵为B，,从基 到基 的过渡矩阵为P，则,再由 线性无关可得：,从而有,相似矩阵,矩阵的相似关系是一个等价关系，可以利用这一关系将n阶矩阵划分为若干等价类.进而得出1 n维线性空间V的同一线性变换在不同基下的矩阵是相似的。2 n维线性空间V的一个线性变换与n阶矩阵的一个等价类一一对应。,设,如果存在可逆矩阵P，使得,已知A与B相似，则,为纯量多项式,则,例3、设T是 的线性变换，,有,求T在基,下的表示矩阵。,解法一：直接法（同例1）,解法二：利用同一线性变换在不同基下的表示矩阵是相似矩阵这一结论。,选取一组简单基：,基,到基的过渡矩阵为,基,在T下的象为：,T在基 下的表示矩阵为：,则T在基 下的表示矩阵为：,定义 设T是n维线性空间V的一个线性变换,对于数，如果存在非零向量，使得，,（2）特征值 的全体特征向量及零向量组成的集合是一线性空间，记为,则称 是T的特征值，是T的属于 的特征向量，简称特征向量。,称为V的特征子空间,性质（1）若 是对应于特征值 的特征向量，则 也是对应于特征值 的特征向量；,下面讨论确定线性变换特征值与特征向量的方法,三、线性变换的特征值与特征向量,设 是n维线性空间V的一组基,线性变换T在这组基下的矩阵为,令 是T的特征值，是T的属于 的特征向量。,设 关于基的坐标为,关于基的坐标分别为,则,从而有,因此 满足,矩阵的特征值,定义矩阵A的特征多项式为,X是A属于 的特征向量。,则称 是A的特征值，,设A是n阶矩阵，,给定一个n阶矩阵A,为A的特征矩阵。,称,为矩阵A的特征方程。,称,例,计算A的特征值与特征向量。,计算过程,A的特征向量,矩阵A的特征多项式为,A的特征值为,对于,解方程组(-I-A)X=0,得特征向量x1=(1,0,-1)T,X2=(0,1,-1)T,对于,解方程组(5I-A)X=0,得特征向量x3=(1,1,1)T,从以上的讨论可知：欲求线性变换T的特征值和特征向量，只要求出T的矩阵A的特征值和特征向量。,T的特征值就是A的特征值，而T的特征向量在线性空间V的基下的坐标与A的特征向量一致。,例：设线性变换T在线性空间V中的一组基 下的矩阵为,求T的特征值和特征向量,计算过程,的特征向量,矩阵A的特征多项式为,T的特征值为,对于,解方程组(-I-A)X=0,得基础解系：x1=(1,0,-1)T,X2=(0,1,-1)T,解方程组(5I-A)X=0,得基础解系x3=(1,1,1)T,对于,T的属于,T的全体特征向量为,(1)特征多项式相等，即(2)行列式相等，迹相等(3)秩相等(4)特征值相同。,相似矩阵的性质,例 设A与B相似,求参数a及b,解 依相似矩阵的性质,可得方程组：,特征值性质,设矩阵A=(a ij)的特征多项式为,矩阵的谱,称m i 是特征值 的代数重复度。,设A是n阶矩阵，A的相异特征值的集合,称为矩阵A的谱.,设矩阵A的特征多项式为,A的特征子空间,称n i 为 的几何重复度。,设A是n阶矩阵,定义A的相应于特征值 的特征子空间为,定理 n阶矩阵A的任一特征值的几何重复度不大于代数重复度。,定理 n阶矩阵A的任一特征值的几何重复度不大于代数重复度。,证明 设A是线性空间C n的线性变换T在某组基下的表示矩阵，m i，n i是特征值 的代数重复度与几何重复度，对于特征子空间W,存在补空间V,使得,则T在此基下的表示矩阵为,取W与V的一组基，不妨记做,因为A与B相似，故,所以，的代数重复度不小于n i,定义 设V,W是数域F上的两个线性空间，T是从V到W的一个线性映射，如果T是1-1映射，则称T是从V到W的一个同构映射；并称线性空间V,W是同构的。,线性空间V,W是同构的意义在于它们有相同的代数性质,定理 设T是从V到W的一个同构变换，则,T将V的线性无关组变换为W的线性无关组;,T将V的基变换为W的基;,(1),(2),(3),(4),例 R上的任意n维线性空间V与n维向量空间 是同构的；n维线性空间V的所有线性变换形成的 维线性空间 与 阶矩阵形成的线性空间同构。,设T是n维线性空间V的一个线性变换，S是V的一个子空间，称S是V的一个关于T的不变子空间，如果,四、不变子空间,（1）T的值空间R(T)与核空间N(T)都是T的不变子空间。（2）T的特征子空间是T的不变子空间。,例 设T是n维线性空间V的一个线性变换，,
