概率及古典概型.ppt
第三节频率和概率,事,率,件,概,的,研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪些事件，更重要的是想知道事件出现的可能性大小，也就是,事件A的概率(probability of A)记为P(A),概率一词英文是probability,Probable 意指可能-ility 意指程度(large or small?)因此，probability可认为是“可能性的大小”，翻译成中文就是概率，但也有不同时期或者不同的资料翻译成或然率或者几率的。而在不同的学科中又有不同的称呼，如产品合格率，犯罪率，出生率，离婚率，命中率，成功率，患病率，有效率，痊愈率，及格率等等。,一、频率,2.频率的性质(1)非负性：0fn(A);(2)规范性：fn(S)=1;(3)有限可加性:设A1，A2，.Am两两互不相容，则有,1.频率的定义 在相同条件下，将实验进行了n次，在这n次实验中，事件A发生的次数nA称为事件A的频数，比值nA/n称为事件A发生的频率，并记为fn(A)。,问题1、能否直接用fn(A)作为P(A)？,不能。P(A):客观，与试验无关。fn(A):与试验有关波动性：,问题2、能否借助fn(A）得到P(A)？如何得到？,可以。fn(A)的统计规律性,实例 将一枚硬币抛掷 5 次、50 次、500 次,各做7 遍,观察正面出现的次数及频率.,波动最小,随n的增大,频率 f 呈现出稳定性,经验表明：只要试验是在相同的条件下进行的，则随机事件出现的频率稳定于一个固定的常数，常数是事件本身所固有的，是不随人们的意志而改变的一种客观属性，它是对事件出现的可能性大小进行度量的客观基础为了理论研究的需要，从频率的稳定性和频率的性质得到启发，给出如下度量事件发生可能性大小的概率的定义.,二、概率,1.定义 设E 是随机试验，S是它的样本空间.对于E 的每一 事件A 赋于一个实数，记为P(A),称为事件A的概率,如果 集合函数 P()满足下列条件:,1 非负性：对于每一个事件A，有 P(A)0；2 规范性:对于必然事件S,有 P(S)=1；3 可列可加性:设A1,A2,是两两互不相容的事件，即对于 则有 P(A1A2)=P(A1)+P(A2)+,(2)(有限可加性)若A1,A2,An是两两互不相容的事件,则 P(A1A2An)=P(A1)+P(A2)+P(An),2.性质,(1)P()=0（反之？）,(3)设A,B是两个事件,若A B,则有 P(B A)=P(B)P(A);P(B)P(A).,(4)对于任一事件A，有P(A)1.,推论:对于任意事件A,B有 P(B A)=P(B)P(AB).,(6)(加法公式)对于任意两事件A,B 有 P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB),推论1:设A1,A2,A3为任意三个事件，则有：P(A1A2A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)-P(A1A2)-P(A1A3)-P(A2A3)+P(A1A2A3),推论2:对于任意n个事件A1,A2,，An，则有：P(A1A2 An)=,证明,由概率的可列可加性得,概率性质,证明,由概率的可列可加性得,证明,证明,(4)对于任一事件A，有0 P(A)1.,又由性质3 得,因此得,由图可得,证明,推广 三个事件和的情况,n 个事件和的情况一般加法公式,右端共有 项.,推论：概率具有次可加性,解,例1,例2 已知P(AB)=P(AB),P(A)=p,求P(B).,解:,第四节 等可能概型（古典概型）,若试验E满足（1）有限样本空间：样本点总数有限；（2）等可能性：各基本事件发生的可能性 相同 则称试验E为古典概型（或有限等可能概型）,一、古典概型,设试验E是古典概型,其样本空间S 由n个样本点组成,事件A由m个样本点组成.则定义事件A的概率为：,称此概率为古典概率.,二、古典概率,如何计算古典概率?,求古典概率的问题实际上就是计数问题.,排列组合是计算古典概率的重要工具.,计算要点：1、确定样本点并计算其总数；2、计算事件所含样本点数。,这里我们先简要复习一下计算古典概率所用到的,1.加法原理,设完成一件事有m种方式，,第一种方式有n1种方法，,第二种方式有n2种方法,；,第m种方式有nm种方法,无论通过哪种方法都可以完成这件事，,则完成这件事总共有n1+n2+nm 种方法.,2.乘法原理,设完成一件事有m个步骤，,第一个步骤有n1种方法，,第二个步骤有n2种方法,必须通过每一步骤,才算完成这件事，,1、排列:从n个不同元素取 k个（1 k n)的不同排列总数为：,k=n时称全排列,排列、组合的几个简单公式,从n个不同元素取 k个（允许重复）（1 k n)的不同排列总数为：,例如：从装有4张卡片的盒中有放回地摸取3张,共有4.4.4=43种可能取法,2、组合:从n个不同元素取 k个（1 k n)的不同组合总数为：,3、组合系数与二项式展开的关系,4、n个不同元素分为k组，各组元素数目分别为r1,r2,rk的分法总数为,n个元素,因为,解,古典概型的典型例题:例2：取球问题,(1)无放回地摸球(不放回抽样),问题1 设袋中有5个白球和3个黑球,现从袋中无放回地依次摸出3个球,求恰有2个球是白球的概率.,解,基本事件总数为,A 所包含基本事件的个数为,(2)有放回地摸球,问题2 设袋中有4个红球和6个黑球,现从袋中有放回地依次摸球3次,求前2次摸到黑球、第3次摸到红球的概率.,解,第1次摸球,6种,第1次摸到黑球,4种,第3次摸到红球,基本事件总数为,A 所包含基本事件的个数为,(3)一次取球,问题3 设袋中有5个白球和3个黑球,现从袋中任取3球,求恰有2个球是白球的概率.,解,基本事件总数为,A 所包含基本事件的个数为,在 N 件产品中抽取n件,其中恰有k 件次品的取法共有,于是所求的概率为,解,在N件产品中抽取n件的所有可能取法共有,这是无放回取球（一次取球）模型.,在12000的整数中随机地取一个数,问取到的整数能被6整除的概率是多少?取到的整数既能被6整除,又能被8整除的概率是多少?,设 A 为事件“取到的数能被6整除”,B为事件“取到的数能被8整除”，则所求概率为,解,例3（取数问题）,将15 名新生随机地平均分配到三个班级中去,这15名新生中有3名是优秀生.问(1)每一个班级各分配到一名优秀生的概率是多少?(2)3 名优秀生分配在同一个班级的概率是多少?,例4（分组问题）,因此所求概率为,(2)将3名优秀生分配在同一个班级的分法共有3种,对于每一种分法,其余12名新生的分法有,因此3名优秀生分配在同一个班级的分法共有,因此所求概率为,设有 k 个不同的球,每个球等可能地落入 N 个盒子中（）,设每个盒子容球数无限,求下列事件的概率:,（1）某指定的 k 个盒子中各有一球；,（4）恰有 k 个盒子中各有一球；,（3）某指定的一个盒子没有球；,（2）某指定的一个盒子恰有 m 个球(),（5）至少有两个球在同一盒子中；,（6）每个盒子至多有一个球.,例5（分球 模型）,解,设(1)(6)的各事件分别为,则,例5的“分球模型”可应用于很多类似场合,信封,信,钥匙,门锁,女舞伴,生日,人,男舞伴,（实际推断原理）某接待站在某一周曾接待过 12次来访,已知所有这 12 次接待都是在周二和周四进行的,问是否可以推断接待时间是有规定的.,假设接待站的接待时间没有规定，且各来访者在一周的任一天中去接待站是等可能的.,解,周一,周二,周三,周四,周五,周六,周日,故一周内接待 12 次来访共有,例6,小概率事件在实际中几乎是不可能发生的（实际推断原理）,从而可知接待时间是有规定的.,周一,周二,周三,周四,周五,周六,周日,周二,周四,12 次接待都是在周二和周四进行的共有,故12 次接待都是在周二和周四进行的概率为,几何概型,例1.公共汽车站每隔5min有一辆公共汽车到站，乘客到达汽车站的时刻是任意的，求一个乘客候车时间不超过3min的概率。,例2.一长度为a的线段任意截成3段，求构成三角形的概率。,例3.（会面问题）某码头只能容纳1只船卸货。现预知某日将独立来到2只船，且在24小时内各时刻来到的可能性是等可能的，如果甲、乙两船需要卸货的时间分别为3h和4h，试求有一船在江中等待的概率。,（1）AB是不可能事件（2）AB未必是不可能事件（3）A、B互不相容（4）,例：已知，下列正确的是,练习 某城市的电话号码由5个数字组成，每个数字可能是从0-9这十个数字中的任一个，求电话号码由五个不同数字组成的概率.,解：,=0.3024,问：,错在何处？,从10个不同数字中取5个的排列,允许重复的排列,计算样本空间样本点总数和所求事件所含样本点数计数方法不同.,保持计数法则的一致性！,1、在应用古典概型时必须注意“等可能性”的条件.,需要注意的是：,在许多场合，由对称性和均衡性，我们就可以认为基本事件是等可能的并在此基础上计算事件的概率.,2、在用排列组合公式计算古典概率时，必须注意不要重复计数，也不要遗漏.,例如：从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中“至少有两只配成一双”（事件A）的概率是多少？,下面的算法错在哪里？,错在同样的“4只配成两双”重复计算了.,从5双中取1双，从剩下的 8只中取2只,正确的答案是：,还有其它解法吗？,作 业,第25-26页,3.（1）、（3）；5，7，12，13,共计6个题,
