微商及解析函数.ppt

Wuhan University,1.3 微商及解析函数,1.3 微商及解析函数,f(z)=lim,lim0 z,=lim,=lim,=lim,z 0,f,z,x z 0 z,z 0,z 0,Re z z,Re(z+z)Re z z,1.3 微商及解析函数,一、微商及微分：而在复变函数中：fz 0 ze.g f(z)=Rez,注意：（2）可导必然连续，反之则未必；如f(z)=Re z=x在“复平面”中处处连续，但却处处不可导。（3）可导与连续不同，由实部与虚部在某一点连续，可以断定复变函数连续，但是由实部与虚部在某点可导，并不能判断函数可导；e.g f(z)=Re z,1.3 微商及解析函数,一、微商及微分：,Wuhan University,记,1.3 微商及解析函数,一、微商及微分：2.微分,dw=f(z)dzor df=f(z)dz,-微分,则,),dfdz,dwdz,(=,f(z)=,-微商,w=f(z),若,pn(z)=a0+a1 z+a2 z+L an z,L L,Wuhan University,n,2,e.g,p,n(z)=a1+2a2 z+L+nan z n 1,1.3 微商及解析函数,一、微商及微分：,3.求导、微分法则：实函中求导、微分法则在此 皆实用。f1(z)f 2(z)=f1(z)f 2(z)f1(z)f 2(z)=f1(z)f 2(z)+f1(z)f 2(z),1.3 微商及解析函数,一、微商及微分：4.可导的必要条件,注意:（1）C-R条件只是可导的必要条件，不是充分条件（2）C-R条件的极坐标形式为：,1.3 微商及解析函数,一、微商及微分：,1.3 微商及解析函数,一、微商及微分：,问：(1)可否用这四个公式来判断函数是否可导？(2)可否用求导公式判断函数是否存在？,1.3 微商及解析函数,一、微商及微分：注：由C-R条件可得：,f(z)H(),引入记号,表示f(z)在区域内解析。,1.3 微商及解析函数,二、解析函数：,1.定义：若w=f(z)在z0 点及 N(z0,）可导，则称w=f(z)在z0点解析。若w=f(z)在区域内处处可导，则称w=f(z)在区域内解析。,（,注：1）凡说解析都是指在某点或某区域解析（2）函数在某点解析是比在某点可导严格得多的条件，两者并不等价。,(3)f(z)在区域内解析和可导是完全等价的。(4)f(z)的不解析之点称为奇点。(5)解析函数又称为正则函数或全纯函数。,1.3 微商及解析函数,e.g.,f(z)=z,在z=0点可导却不解析。,二、解析函数：,证明：f(z)=e(cos y+i sin y)在复平面,2.必要条件：由解析定义和可导必要条件可得：3.充分条件：由解析定义和可导充分条件可得：,1.3 微商及解析函数,二、解析函数：,x,解析，且f(z)=f(z).,例,若,f(z)=u+iv H(),1.3 微商及解析函数,二、解析函数：4.解析函数的部分性质,=0,v=0,则（1）u,且由C-R连系着,（2）u v=0（3）已知u 或v 均可求出解析函数（4）解析函数的和、差、积、商仍为解析函数,dy=dx dy,vx,dx,vy,dy=,uy,dx+,ux,du=,u=d(x y)+c=x y+c,例 已知 v(x,y)=x+y,求解析函数 f(z)=u+iv（1）用全微分法,（2）用积分微分求,1.3 微商及解析函数,二、解析函数：,1.3 微商及解析函数,二、解析函数：,x,y,5.解析函数的物理解释：以平面静电场为例（也适合于其他标量场）：电势(x,y)在平面的无源即无电荷区域满足二维拉氏方程,=0,+,22,22,=,则由解析函数的性质，可由一解析函数f(z)=u+iv来描绘该电场称为复势。Wuhan University,1.3 微商及解析函数,二、解析函数：,解析函数图例,1.3 微商及解析函数,1.3 微商及解析函数,1.3 微商及解析函数,f(z)=lim,小结,一、微商及微分：,fz 0 z,1、微商：2、微分：,dw=f(z)dz,v y u y,=,u x v x,3、求导、微分法则：4.可导的必要条件5.可导的充分条件：,C-R条件,1.3 微商及解析函数,小结,1.3 微商及解析函数,小结,二、解析函数：1.定义：2.必要条件：3.充分条件：4、解析函数的部分性质若 f(z)=u+iv H()则（1）u=0,v=0 且由C-R连系着（2）u v=0（3）已知U（或V）均可求出解析函数,1.3 微商及解析函数,本节作业,习题1.3：,2(2);,4(3);,1.3 微商及解析函数,