开关电容网络分析.ppt

第一章 开关电容网络的基本原理,本章主要内容1.1 开关电容网络简介1.2 开关电容等效电阻的原理1.3 开关电容积分器1.4 开关电容网络的基本电路,1.1 开关电容网络简介,1.什么是开关电容网络 开关电容网络是指由电容、运算放大器和受时钟控制的开关组成的网络。2.为什么要研究开关电容网络(1)有源RC滤波器及其缺点 开关电容网络最先是在高质量单片集成滤波器的研究中受到重视和得到应用的。早期的滤波器是用无源RLC电路实现的，但由于电感难以集成，在六十年代，随着集成有源器件和集成运算放大器的发展，人们开始致力于用有源器件取代电感。由此导致了有源RC滤波器的发展。,有源RC滤波器的缺点是：不便于用MOS工艺直接集成。RC有源滤波器可以用混合集成技术集成，但这种技术不能同目前的主流集成工艺即MOS集成工艺兼容。因此，自七十年代起，追求用MOS工艺技术单片集成高性能滤波器就成为滤波器研究的主要方向。,体积较大，需占用较大空间。在MOS工艺中，为了不占用过大的芯片面积，很少能将MOS电容做到大于100pF。对音频(04kHz)滤波器，时间常数RC通常具有10-4的数量级。假设电容已做到10pF，电阻仍具有107的数量级，用MOS工艺实现这样一个电阻，需要106m2的芯片面积。这大约是整个芯片的十分之一。因此，这种做法是不实际的。,元件的精度不高 用MOS工艺集成电阻和电容时，都会有5-10的误差。这两种误差又是不相关的，这样就会造成整个滤波器的时间常数RC有高达20的误差，而且这种误差还会随着温度和信号电平而改变。,(2)开关电容网络及其优点 为了克服RC滤波器的缺点，人们设法在MOS电路中用开关和电容取代电阻。这就是开关电容电路。这种取代的意义正如六十年代用有源器件取代电感一样重要，它是电路设计和制造中的又一次革命。,用开关和电容取代电阻后，电路的组成只有MOS开关、MOS电容和MOS运放。电路的特性只取决定于电容比。在稳定的MOS工艺条件下，虽然电容仍有5-10的制造误差，但电容比的制造精度可以做到。,用开关和电容还可以很方便地实现大电阻，这样由开关电容电路实现的滤波器不仅有MOS电路的许多优点，还克服了有源RC滤波器集成时的许多不足。目前，凡是使用有源RC滤波器的场合均可以用开关电容滤波器代替。,3.开关电容滤波器的设计方法 开关电容滤波器的设计方一般可以分为两类：类是变换设计法一类是直接设计法。变换法充分继承了以往模拟滤波器的研究成果，在设计模拟滤波器的基础上，通过一定的变换，如双线性变换、无耗离散积分器变换等，将模拟滤波器转化为开关电容滤波器。直接法则直接从滤波器的z域传输函数出发，基于对开关电容滤波器双二阶节和各种开关电容网络功能块的研究，通过级联法、信号流图等直接综合z域传输函数，得到所需要的开关电容滤波器。,4.开关电容网络的分析方法 开关电容网络的分析是开关电容网络研究中另一个受到普遍关注的问题。由于开关电容网络中存在周期开闭的开关，所以开关电容网络的拓扑是随时间而变的，它是周期时变网络。分析周期时变网络比分析非时变网络困难得多。在需要进行精确分析的场合，通常采用计算机辅助分析。这方面有许多新方法，目前占主流的是改进节点法、状态变量法和等效电路法等。,5.开关电容网络的应用 开关电容网络在滤波领域的应用 开关电容网络的一个重要应用领域就是开关电容滤波器。前面已经讨论过，由开关电容电路实现的滤波器克服了有源RC滤波器集成时的许多不足。它不但可以利用CMOS工艺直接集成实现，而且具有很高的精度，能够实现高性能的滤波器。目前，凡是使用有源RC滤波器的场合均可以用开关电容滤波器代替。,开关电容网络在非滤波领域的应用 在开关电容滤波器发展的同时，开关电容网络在非滤波领域也获得到了广泛应用。主要有：开关电容AD转换器，开关电容DA转换器；开关电容振荡器；开关电容放大器；开关电容调制器；开关电容锁相环等多种非滤波电路。,开关电容英文为Switched Capacitor，简称为SC。为表示简洁，本书中也将开关容电网络简称为SC网络或SCN。,1.2 开关电容等效电阻的原理,1开关电容等效电阻的电路 用一个开关和一个小电容等效一个大电阻的开关电容等效电阻的电路原理如图1.1所示。称为SC并联等效电阻。,(a)(b)图1.1 开关电容等效电阻电路,图中，开关是由MOS管T1、T2实现的。它们分别由相位相反的两相时钟信号 e 和 o控制的。,t2,t1+T,2开关电容等效电阻的原理分析 设初始时刻为t1。这时e为高电平,o为低电平。在这两个信号的作用下，MOS管T1导通，T2截止。电压V1通过T1给电容C充电。C上的电荷为CV1.在t2时刻，o为高电平，e为低电平。MOS管T2导通，T1截止。电容C通过MOS管T2放电。C上的电荷为CV2.这样在一个时钟周期内，由V1端向V2端传送的电荷为,若定义平均电流 为一个周期T内流动的电荷Q，则有,从上式可以看出，V1和V2之间的伏安关系可以等效为一个电阻，电阻的阻值为,上式中，fc是开关的时钟频率。,3.开关电容等效电阻的讨论(1)在以上分析过程中，我们假设V1和V2在开关导通时是不变的.实际上这个假设只是一个近似。但是，只要时钟频率远远大于信号频率，这个假设就可以基本满足。(2)从R的表达式可以看出，SC等效电阻的大小与电容值和时钟频率成反比。如果电容取1 pF，时钟频率取100kHz，这时SC等效电阻具有10M的阻值。这样实现的电阻所占的芯片面积仅相当于直接利用MOS工艺实现该电阻所占的芯片面积的大约400分之一。(3)用开关和电容构成的电路取代电阻，其原理和电路都很简单，但其意义却非常重大。,5.5开关电容滤波器的设计,随着通信和VLSI技术的发展，滤波器的理论和应用发展很快，而SC网络理论的发展则是与滤波器理论的发展紧密相关的。SC网络最早的应用领域就是滤波器领域，并且很快进入了实用化和商品化阶段。电路理论工作者和集成电路设计者对用SC网络设计滤波器的方法进行了大量的研究，提出了许多设计方法，在本章我们只介绍几种最常用和主要的设汁方法。,滤波器是一种信息选择网络，它对某一些(有用的)信息进行选取，同时抑制另一些（无用的）信息的传输。滤波器可以有许多种分类方法。按照它所选择的物理量分：有频率选择、幅度选择(如电视中的调幅信号)、时间选择(如PCM调制中的话路信号)等。,根据滤波器的幅度特性分：有巴特沃兹、契比雪夫、椭圆、反契比雪夫等。,根据信号处理的类型分：有模拟滤波 器、数字滤波器和取样数据滤波器等。,根据滤波器实现方法分：有机械滤波器、无源滤波器、有源滤波器、电荷转移器件（CTD）滤波器、开关电容滤波器和数字滤波器等。,按频域功能划分：有低通、高低、带通、带阻、幅度均衡和相位均衡等。开关电容滤波器的分类：通常，开关电容滤波器(SCF)的输入是取样保持信号，故SC滤波器也就划归为取样数据滤波器。有些情况下也将SC滤波器划归为模拟滤波器，这时SC滤波器输入为模拟信号。用SC滤波器可以实现低通、带通、带阻、幅度均衡和相位均衡等各种功能,设计SC滤波器的框图如图5.5.l.,图5.5.1 SC滤波器的设计步骤,SC滤波器的设计可分为间接实现和直接实现两种。间接实现法的实现步骤如下：（1）给出所要设计的滤波器的指标要设计一个SC滤波器，首先要给出所要设计的滤波器的指标。如最大衰减、最小衰减、通带截止频率、阻带截止频率等。,（2）选择合适的逼近函数有了滤波器指标后，可以选择合适的逼近函数，如巴特沃兹函数、契比雪夫函数、椭圆或反椭圆函数等，来逼近滤波器特性，得到s域的传输函数H(s)。,（3）实现s域滤波器 在s域有些滤波器(如无源RLC、RC等)，可以直接由指标通过查手册同时解决逼近和实现问题。（4）通过变换的方法实现SCF 获得符合要求的s域滤波器电路以后，再依据s域与z域的变换关系，将s域滤波器电路变换为z域的滤波器电路，从而实现SCF。这类设计方法也称为SCF的变换设计法。,s域与z域的变换关系有多种，如阶跃不变法、冲激不变法、双线性变换法、LDI变换法等等。由不同的变换法，可以导出不同的SCF的设计方法。变换法之所以受到重视的原因有两点：一是由于人们对s域滤波器性能了解和研究的很深入，s域设计方法很成熟。在s域设计无源RLC、LC或有源RC滤波器非常容易。还有另一原因，就是SCF可以比较容易地通过对s域滤波器进行变换来实现，以达到集成的目的。,直接实现法的前两步与间接实现法的一样。其实现步骤如下：（1）给出所要设计的滤波器的指标；（2）选择合适的逼近函数，得到s域的传输函数H(s)；（3）对传输函数H(s)进行变换，得到z域传输函数H(z)有了s域的传输函数H(s)以后，对传输函数H(s)进行变换，将其变换到z域，求得z域传输函数H(z)。（4）对H(z)进行综合，实现SCF,一般的实现方法是用双二阶SC结构对传输函数H(z)进行综合，得出SCF。这类设计方法的重点主要在各种SC功能块的研究上，利用这些基本的SC功能块可以设计各种高阶SCF.I 本章只考虑图3.1虚线以下的设计过程。在实际的SCF设计中，要考虑的问题很多。除了要保证SCF的结构对大量的杂散电容不灵敏之外，还要求占用硅片面积小、所用元件少、功耗低、布线合理、动态范围大、噪声低等等，同时还要考虑时钟的控制方案、运放和电容的复用可能性等等。其中，杂散电容的灵敏度、运放的有限增益带宽对性能的影响，噪声分析和抑制，是SCF设计中最受重视的问题。,用开关电容等效电阻概念设计开关电容滤波器 在本书的第一节，我们介绍了开关电容与电阻等效的概念和几种电路，SC电路等效电阻概念的提出，是SC网络理论研究中的一次飞跃。1972年，Fried首次考虑设计MOS SC电路时，并没有意识到SC等效电阻的概念，仅将他听没计的电路称之为模拟取样数据滤波器。1977年单片SCF的研制成功和SC与电阻等效概念的正式提出，使SC网络的研究进入了一个新阶段。,利用SC等效电阻电路，将有源RC滤波器中的电阻用SC等效电阻取代，就可以得到SCF。这是很自然的想法。也是SCF设计中最方便、最直观的方法。由于有源RC滤波器已比较成熟，各种有效的有源结构都可以被转换为SCF。,我们着重介绍用这种方法设计时要注意的问题。在第章导出SC电路与电阻等效的概念时，曾假设电路的两端是电压源，即电路是由电压驱动的。为了讨论方便，将SC串联和并联等效电阻重画如图5.5.2，该电路等效为一个阻值为R的电阻.,R=T/C.,图5.5.2 SC等效电阻电路,如果等效电阻不是双端电压驱动，而是由单端电压驱动时，又会怎样呢?我们看一个例子。图5.5.3（a）是一个简单的无源RC电路。如果用串联SC等效电阻取代原RC电路中的电阻R，则如图5.5.3（b）所示。时钟如图5.5.3(c)所示。一般的RC电路如图5.5.3（d）所示。,图5.5.3 RC电路及其等效电阻电路,下面研究图5.5.3(b)的传递函数，从而讨论有源 RC电路中的电阻直接用SC电阻等效代换以后所产生的问题。对于图5.5.3(a)电路，从时刻t1到时刻t2，由电压源传输到电容的静电荷为,图5.5.3(b)的电路，在一个时钟周期内传输的电荷为,由电路的电荷守恒方程，可以得到输出电压Vo,将上式表示为,代入（）式可以得,这里，nT和(n-1)T分别对应t1和t2时刻，T=t2-t1.由于图5.5.3（a）与图5.5.3(b)互相等效，故由图（b）SC网络获得的等效电阻为,式（5.5.7）的等效电阻表达式与式(5.5.1)的等效电阻表达式是不一样的，当CCR，时，两式近似相等.用同样的方法可导出并联电阻的表达式，它也可以用(5.5.6)和(5.5.7)两式描述，不同的只是有一附加输入时延.,对于更一般的情况，如图5.5.3（d）所示。可以导出串联等效电阻为:,并联SC等效电阻为:,图（d）的电路中，如果还有别的电容连接到电阻的节点上，式（5.5.8 a）和（5.5.8 b）都要作相应的修正。连接到电阻节点上的电容越多，修正公式越复杂，其结果与式（）的差别也越大。由此可以看出，在用SC等效电阻的概念设计SCF时，由于电阻两端不是接电压源，将产生等效误差。为了减少这种误差，需要选择合适的有源RC滤波器的结构，尽量使该电路中要用SC电路取代的电阻是双端或单端电压驱动的。实际有源RC滤波器中的电阻，在大多数情况下都是双端和单端电压驱动的。这就使得大多数实际有源RC滤波器都可以通过SC等效电阻的方法去设计相应的SCF。,5.5.3 跳耦型开关电容滤波器设计 1966年，Orchard证明了一个非常有用的定理，即双端RLC梯形滤波器与绝大多数其他拓扑结构的滤波器相比，它在通带内由元件值的变化而引起的滤波器特性的变化要小的多。也就是说RLC梯形滤波器具有较低的灵敏度。于是这种结构的滤波器受到了特别重视。人们常常以RLC梯型滤波器作为原型滤波器，然后通过适当的方法将它变换为新型滤波器。,在研究有源RC滤波器时，人们提出了由RLC梯型结构变换到有源RC滤波器的设计方法，这种方法基于状态变量法，常称为有源RC滤波器的跳耦设计法。在SCF的设计中，人们也用态变量法，由RLC梯型结构，导出SCF。由于这种方法与有源RC滤波器的跳耦设计法相似，所以称之为跳耦型开关电容滤波器设计法。,5.5.3.1 梯形结构滤波器的状态变量表示和流图双端RLC梯型滤波器电路的一般结构如图5.5.4所示。,图5.5.4 RLC梯形结构滤波器电路,如果选择该电路的串臂电流和并臂电压为状态变量，可以列出电路的状态方程为式（5.5.9）如下：,根据式(5.522)的状态方程可以画出梯型结构RLC的信号流图如图5.5.5。,图5.5.5 梯形结构RLC滤波器信号流图,由于SC电路是压控电路，所以为了实现图的信号流图，需要将图中的电流变量先转换成电压变量。为此可以对式(5.5.9)进行变形，将式(5.5.9)重新写为式（5.5.10）如下：,上述将状态方程中的电流变量转换成电压变量的过程称为归一化。所谓归一化，实际上就是将状态方程中的端电阻RS归一化为1。具体实现过程是：将方程中的所有电容乘以归一化电阻RS，将所有的电感值和电阻值除以归一化电阻RS.实行归一化以后的结果，就是将端电阻RS归一化为1，将电阻RL归一化为电阻RL/RS,而将电容C归一化为CRS，将电感L归一化为L/RS.设归一化的变量,则归一化的信号流图如图5.5.6所示。,图5.5.6 梯形结构RLC滤波器归一化信号流图,由图的信号流图可以看出，梯形结构RLC滤波器可以用SC积分器 1/sa和有耗积分器 1/(sa+b)构成。其中的加减功能可以由差压SC积分器来完成。,5.5.3.2 跳耦型开关电容滤波器基本节设计跳耦型开关电容滤波器基本节 跳耦型开关电容滤波器是利用双端RLC梯形滤波器实现的。将RLC梯形结构中的一个典型节用SC电路实现，就得到开关电容滤波器的基本节。RLC梯形结构中的一个典型节如图所示。,图5.5.7 梯形结构中的典型节,这节电路的状态方程为:,上述两个方程的功能可以用第章中介绍过的SC差压积分器实现。将SC差压积分器重画于图。,图5.5.8 SC差压积分器,它的等效积分电阻为:,积分器的带宽为:,由上式可见，积分器的带宽是由电容比确定的，所以集成实现时可以获得高的稳定性和精确度.,用SC差压积分器实现方程（5.5.11）的具体实现电路如图5.5.9所示。,图5.5.9 梯形结构中的典型节的SC实现电路,为了确定图5.5.9的SC电路中电容的参数，只需令该电路中每节积分器的带宽或时间常数与式(5.5.11 a)和(5.5.11 b)的相同，就可以导出：,如果RLC梯形结构是归一化的原型，即端电阻Rs归一化为1，截止频率0归一化为1rad/s,则电路的电容按下式计算,2开关相位的配置在设计跳耦型开关电容滤波器时，除了要设计SC基本节的构造和参数选取之外，还要考虑开关相位的配置问题。注意,图中开关相位使得积分器的取样输出与取样输入不在同一相，而是有T/2的时延。其设计原则是将相邻的两个积分器的开关设置成反相。下面讨论这样设计的原因。,我们在第章已导出图的差压积分器的传递函数为:,设 z=exp(jcT),将其代入式(5.5.16)和（5.5.17)得:,在式（）和(5.5.19)中，括号外的项-o/j表示的是连续积分器的传递函数。而括号中的项，表示的是由取样保持所引入的偏差。该项所引入的偏差对积分器的幅度和灵敏度的影响如下：该偏差对积分器的幅度影响很小.而且通过提高时钟频率，可以进一步减小这种影响。,该偏差对积分器的灵敏度影响较大。1975年Brukon在分析数字梯型滤波器时发现，仅有半周期时延的离散时间积分器（如Ho,e(z)与连续时间积分器具有相同的相移.这表明由式(5.5.30)表示的积分器的传输函数与连续积分器传输函数之间有附加相移偏差.,当用式(5.5.18)表示的积分器来构造有源梯形结构时，所产生的额外相位偏移可以等效为引入了一个模拟电感或一个模拟电容所产生的损耗。不过，这种损耗与实际电路中的由于分布电容所引起的损耗不一样，它不是使频城响应下降，而是产生个峰值。,在大多数情况下，这种峰值是不希望的。所以一般选用传输函数为（）的积分器，即偶相输入、奇相输出的积分器。图（）就是具有式（）传输函数的两个积分器的梯型节。在理想元件的条件下，只要第个运放的输入电容Cu接到运放上，则输出就有效。这时，第二个积分器的开关必须放在立即将这个输出取样的位置，如图（）所示。所以，邻近两积分器的开关设置要反相。,梯型结构有限传输极点和传输零点的实现 有限传输极点和传输零点在滤波器的设计中有很重要的意义.它可以由梯型结构中的电感和电容的串联或并联获得.具有限传输极点和传输零点的RLC梯型结构滤波器如图5.5.10(a)和5.5.10(b)所示。,图具有有限传输极点和零点的梯型结构滤波器,（a）具有有限传输极点的梯型结构滤波器,.(b)具有有限传输零点的梯型结构滤波器,具有有限传输极点的梯型结构滤波器的SC实现对图5.5.10(a)的电路，取并臂电压V1、V3,串臂电流Io、I2、I4为状态变量，可以写出状态方程为,将上式归一化后,有:,根据式(5.5.21)的状态方程，可以画出其的信号流图如图5.5.11所示,从图的信号流图可以看出，该流图完全可以用前面介绍的方法和SC基本节来实现，这时，需要用四个积分器。,图5.5.11 式(5.5.35)的信号流图,2.具有有限传输零点的梯型结构滤波器的SC实现 如果用与前面相同的分析方法，可以得到相应的状态方程和流图，这时实现该电路需用四个运放。但是，通过适当的等效或巧列状态方程，可使得该电路的SC实现仅需用三个运放。,跳耦型开关电容滤波器的设计步骤与设计实例 1跳耦型开关电容滤波器的设计步骤从前面的介绍可以归纳出跳耦型SCF的设计步骤：给定滤波器指标，如已有设计好的梯型滤波器则转。根据设计指标设计RLC梯型滤波器(可以查表直接得到RLC梯型原型的电路参数)。取RLC梯型滤波器电路中串臂电流和并臂电压为状态变量，列出状态方程。对状态方程归一化。画山出积分器、有耗积分器、比例器，、积分求和器等构成的信号流图。,用积分器、有耗积分器、比例器、积分求和器等SC结构综合该信号流图。如已有设计好的RLC梯型滤波器，则用(5.5.14a)和（5.5.14b)两式计算SCF中的电容值。如是归一化原型RLC梯型滤波器，则用(5.5.25a)和(5.5.25b)两式确定SCF中的电容值。集成实现SCF。在设计跳耦型SCF时，状态变量的选取和状态方程的建立，对设计优劣的影响至关重要。特别是通过对状态方程的适当整理往往会使设计出的SCF电路简化。在整理状态方程时，尽可能地将方程整理成可以由积分器实现的形式，以便于电路实观。实际上在有了一组状态方程后，熟练的设计者就可以直接设计SCF，而并不一定要画出信号流图。,跳耦型开关电容滤波器的设计实例 例5.5-2 现有一个五阶全极点RLC梯型低通滤波器如图3.12所示。电路中电感和电容的数值均为已知，并设RS=SL=1用跳耦型法设计设计相应的开关电容滤波器。,图五阶全极点RLC梯型低通滤波器,设计步骤如下：SC电路的实现取电路的串臂电流和并臂电压为状态变量，列出电路的状态方程为,因为RS=SL=1，对上式进行归一化，得,对式（）进行整理，将其中的第一式带入第二式，两式合并为,根据式（）和（），可以画出信号流图如下,图五阶RLC梯型低通滤波器的信号流图,根据上述信号流图，可以得到其SC实现电路如图所示。,该电路的第一节是有耗积分器，其它各节的开关都是按每节有半个周期的延时配置的。,图5.5.14 五阶SC低通滤波器,2元件参数的求得因为原电路和所得到的信号流图都不是归一化的，所以这时求电容比的公式为:,其中，fc为所设计的SCF的时钟频率。,至此，S CF的设计过程结束。如果要对设计好的SCF进行进一步调整，则可以调整每节的增益以使电路获得最大动态范围。同时可以用计算机模拟程序对电路进行模拟，以利于进步改进。跳耦型SCF能保持原来的梯型结构的低灵敏度特点，设计方法简单，驱动时钟仅需同频反相的双相时钟，这种时钟易于产生。鉴于上述优点，SCF的跳耦设计法受到普遍重视。用跳耦法设计的SCF产品种类多，应用范围广。用跳耦法设计的SCF的不足之处是所需运放较多，其数目通常要大于等于滤波器的阶数。,5.54 用双线性变换法设计开关电容滤波器5.5.4.1 由模拟域（S域）到离散域(Z域)的变换 在图31中可以看出，当有了滤波器S域的传输函数H(S)或已经设计好了模拟滤波器以后，都需要通过某种变换使连续模拟域(S域)的传输函数变换到离散复频域(z域)，或者将模拟滤波器变换为SCF。变换的方法有多种，但合适的变换究竟需要什么条件呢?它必须要保证：,1)变换到z域以后的滤波器的稳态响应特性与原S域滤波器的稳态响应特性一致。2)变换到z域后的滤波器特性仍然是稳定的。将这两个条件用s域和z域的映射关系表示可以描述为 条件l:s平面上的虚轴映射为z平面上的单位圆上。条件2:s平面左半平面映射到z平面单位圆内。实现由模拟域到离散域的变换的方法有多种，后面我们将介绍常用的双线性变换和LDI变换。其中，双线性变换是能够比较理想地实现上述两个条件的变换。本节先介绍双线性变换。,双线性变换 下面推导双线性变换的关系。推导的方法是将模拟系统的微分方程直接积分，然后通过求其数值近似逼近的方法得到的。推导是从最简单的一阶常系数微分方程开始。S域传输函数H(S)设模拟滤波器的微分方程为：,对上式求拉氏变换，即得传递函数：,2相应的z域传输函数H(z)根据积分定理，可以写出,对信号y(t)和x(t)以周期T进行采样，并应用梯形近似求定积分，则上式逼近为：,即,上面的过程说明，在模拟域与离散域之间进行的变换，总可以用一种对应的数值计算方法来描述。对于双线性变换，实际上是用梯形积分法做如下的描述：,它实际上是用后向欧拉法将相邻两取样点上导数的取平均值，并把它作为该区间的导数值。,式（）中的微商可有由（）求得：,对上式取微商得：,将上式代入式（）得:,若用y(n)、x(n)、y(n-1)、x(n-1)代替各取样值，则得：,对上式取z变换,得:,得到z域传递函数为:,（3）双线性变换关系:,将上式与式（）逐项比较，可以看出，由S域传递函数H(s)得到相应的z域传递函数H（z)的变换关系是将H(s)中的S用,来代替，表示为,这种变换称为双线性变换。式（）实际上是一对变换和反变换式。由于它们都是线性分式变换，而且这种变换是双向的，所以称为双线性变换。,双线性变换满足映射关系的讨论（1）稳态响应 为了研究稳态响应，将s=j代入式（）得,其中，为模拟滤波器的角频率。式（）的模和幅角为,由此可以看到，z的模与角频率无关。所以，当变化时，z始终在单位圆上。也就是说，通过这种变换，可以保证s平面上的虚轴映射到z平面的单位圆上。因此，通过双线性变换以后，变换到z域的滤波器的稳态响应特性与原S域滤波器的稳态响应特性一致。（2）变换以后的稳定性为了研究变换以后的稳定性，需要研究s左半平面的映射情况，令s=+j,由式（）得,在s左半平面，为负值，由式（）可知，这时|z|恒小于1。这就说明s平面上的左半平面映射到z平面的单位圆内部。因此，通过双线性变换以后，变换到z域的滤波器特性仍然是稳定的。（3）变换的非线性 设稳态时模拟滤波器角频率变量为，离散域SCF的角频率变量为。将s=j和z=e-j代入式（），可以导出,双线性变换中与的关系如图所示。,可见，双线性变换不是线性变换，而是非线性变换。,图5.5.15 双线性变换中与的关系,它使得频率轴发生畸变。式(5.5.42)表示稳态时模拟滤波器与SCF之间频率的畸变关系。减小这种畸变效应的影响的方法有两个方面：一方面，可以将T减小，即提高采样频率，使线性范围变宽。另一方面，可以在设计SCF时要先进行预畸变。即首先根据离散域的频率特性要求，通过式(5.5.42)求出连续域的频率特性，然后按这些要求设计模拟滤波器，最后再将模拟滤波器变换为SCF。结论 式（）的关系称为双线性变换。双线性变换具有一一对应的函数关系，即z平面上的每一点恰好与s平面上的一个点对应，反之也是这样。这种唯一性的结果，使得双线性变换法不会产生混迭效应，并且完全保留了模拟滤波器原型的频率特性和稳定性。这是双线性变换的优点。（3）在双线性变换中，模拟频率与数字频率之间不是线性关系，它使得频率轴发生畸变。这是双线性变换的缺点。,5.5.4.4 基本电路元件的双线性模型 前面研究了双线性变换的基本原理，下面利用这些基本原理导出基本电路元件电阻、电感、电容和LC并联谐振回路的SC双线性模型。导出这些基本模型之后，就可以通过将连续模拟滤波器中的这些元件用相应的SC模型取代，从而得到SC滤波器。这就是双线性设计法。双线性变换的阻抗关系设模拟滤波器第m条支路的电压用Vm(s)表示,电流用Im(s)表示，电荷用Qn(s)表示。在开关电容网络中，因为主要是电荷传输，为了方便，多采用V(s)和Q(s)作为变量进行分析。,下面先讨论R、L、C元件在s域中电压和电荷变化量之间的关系：对于连续信号，电荷与电流的关系为:,在s域，电荷与电流的关系为:,在s域，对于任一支路i，支路两端的电压Vi(s)与流过该支路的电荷Qi(s)以及支路阻抗Xi之间的关系为:,电压Vi(s)与电流Ii(s)的关系为:,上述关系如表所示:,下面讨论R、L、C元件在z域中电压和电荷变化量之间的关系。根据s域和z域的映射关系s=f(z)，与式（相仿，对于任一支路i，其电荷Q(z)与电压Vi(z)之间的关系为,由于在SCF中电荷的变化是瞬间完成的，为了方便SCF的综合，常讨论电荷的变化量与电压的关系，并以此作为设计公式(或综合公式)。,对于离散信号，从nT-T到nT的电荷增量为:,对上式取z变换得:,将z变换的关系式（）和电荷增量的表达式（）代入式（）。得:,上述关系如表3。1所示。表3。1 双线性变换阻抗关系,从表中电容的 V(s)/Q(s)和V(z)/Q(z)关系可以看出，在模拟s域和离散z域，电容支路都是一个电容。所以电容元件经双线性变换后不改变其值和拓扑关系。但是电阻和电感的关系却改变了。我们下面的工作是导出电阻和电感的双线性SC模型。,（2）电阻的双线性SC模型双线性变换阻抗关系襄 为了导出电阻和电感的双线性SC模型，可以从表3.1中最后得出的综合公式Q(z)/V(z)出发,将式(5.5.49)中电阻表示式在离散域表示为:,在第一章曾讨论过一个SC等效电阻如图所示。,图5.516 SC等效电阻,该电路的电荷差与电压的关系为,这个公式与式(5.5.64)在形式上完全一样，所以该电路实现了双线性SC电阻。将式(5.5.50)和(5.5.51)进行比较，可以得到图双线性SC等效电阻为,因为在SC开关驱动脉冲采用同频反相脉冲时，开关在每个采样周期T动作两次，即开关周期Tc=2T,所以,（3）电感的双线性SC模型 由表5.5.1 可知，如果要利用一个SC网络实现双线性等效电感，则该网络的库伏特性应满足下列关系,上式也可以写成:,利用图5.5.17 的方框图可以实现式（）,图5.5.17 实现SC双线性等效电感的方框图,该网络的库伏特性为:,选择合适的传递函数Hi=Vi(z)/V(z),(i=0,1,2)，可以使式（）与式（）相同，就得到了实现SC双线性等效电感的具体电路。因为是根据网络的表达式综合具体电路，能满足这一要求的具体电路很多，图 5.5.18 就是其中的一个。,图 5.5.18 实现SC双线性等效电感的具体电路,图中，1，2，3，4代表四相时钟脉冲。四相时钟脉冲序列如图。,图5.5.19 四相时钟脉冲序列图中，用SC积分器代替了方框图3.17中的H1,于是有:,由式（）可见，只要把H1(z)延迟z-1，就可以得到H2(z)。这是通过采用两个电容c2并采用四相互不重叠的时钟脉冲达到此目的的。H2(z)的表达式为:,将式（）至（）代入式（）得,比较式（）与（）中z的系数，得,为了使电容的分布范围为最小，设c0=c1,求得各电容值为,由图可见，偶相时钟脉冲作用时，电容c0、c1、c2全部接在输入端，与运算放大器的接端子没有连接。而在奇相时钟脉冲作用时，电容c0、c1、c2全部接在运算放大器上，输入端是开路的。因此，该图实现的是SC双线性浮地电感。,用开关电容双线性元件模型设计开关电容滤波器 1设计SC滤波器的步骤如果将连续模拟滤波器中小的电阻、电感用前面导出的相应的SC双线性模型替代，则可以获得与原模拟滤波器相对应的SC滤波器。用双线性变换法设计SC滤波器的步骤如下（1）首先将离散域的滤波器指标经过式（5.5.38)变换到连续域，即进行预畸变。（2）依据连续域的指标综合设计出RLC梯型或有源RC型模拟滤波器。（3）用电阻、电感的SC双线性模型替代原模拟滤波器中的R、L元件。（4）计算出所有电容的值。（5）集成实现SCF。,2设计举例下面通过一个例子来说明用双线性变换法设计SCF的过程。假设已有一设计好的满足指标的有源RC滤波器如图所示。现在要以它为原型设计相应的SCF。设计过程：（1）因为该电路中只有电阻，所以只要用SC双线性电阻的模型取代图中的电阻，即可得到所要求的电路如图所示。,（2）电容值按式(5.5.53)计算，取sC电路开关时钟频率为50kHz。计算出的电容值如图中所示。,图5.5.20 有源RC滤波器,图5.5.21 用SC双线性电阻实现的SCF,用双线性变换法设计SCF的优缺点优点：（1）设计方法简单、方便。（2）所设计的SCF与原模拟滤波器拓扑结构相同，能保持原滤波器的低灵敏度特性。（3）运放的个数与原模拟滤波器中电感的个数相同。这比用跳耦法设计的SCF所用运放个数少一半。所以可以减小芯片面积，降低功耗，并且易于集成。（4）对时钟没有严格要求。不要求f1/T，有利于设计高频电路。,缺点：（1）所设计的电路不能保证对分布电容不敏感。（2）通常需要四相时钟。（3）因为电容值正比于T2，故当时钟频率很高时，电容值变得很小。,5.5.5 用LDI变换法设计开关电容滤波器 5.5.5.1 为什么要研究LDI变换 前节介绍了用双线性变换法设计SCF的方法，采用双线性变换法设计的SCF在具体集成实现时会遇到一些问题。如当时钟频率较高时，电容值太小、电容比偏大。另外在用双线性变换法设计SCF时，所用电阻、电感和并联LC谐振回路等的SC等效电路均存在浮地电容，这种电容的顶板极到衬底的寄生电容将严重影响滤波器的性能。,我们知道从S域到z域的变换有多种，这一节我们介绍用LDI(无耗离散积分器)变换来设计SCF的方法。这种方法可以使从原型模拟滤波器导出的SC滤波器保持原模拟滤波器的特性，且导出的SCF阻抗等效电路对分布电容是不灵敏的，具有较合适的电容,5.5.5.2 LDI的变换 LDI的变换公式为:,下面推导LDI变换的公式。推导的方法与推导双线性变换公式一样。就是将模拟系统的微分方程直接积分，然后通过求其数值近似逼近的方法得到的。不过，双线性变换公式是通过梯形积分公式导出，而LDI变换的公式是通过中点积分公式导出。在双线性变换中。,而在LDI变换中，,。,一个物理可实现的模拟网络，可用下面的常系数线性微分方程表示,式中x(t)、y(t)分别为输入和输出信号的时域表达式，ck、dr为常数。推导是从最简单的一阶常系数微分方程开始。设描述模拟滤波器的一阶微分方程为：,对上式求拉氏变换，即得传递函数：,下面求相应的z域传输函数H(z),根据积分定理，可以写出,对信号y(t)和x(t)以周期T进行采样，并应用梯形近似求定积分，则上式逼近为：,上式中的定积分可用中值积分法求解，即将定积分的值视为如图所示的梯形面积，,图5.5.22 中值积分法,图中所示的梯形面积等于中位线乘以高，即,将上式代入式（）得,再对式（）以周期T进行采样，并将采样点数取为（nT-3 T/2）,(nT-T/2),nT+T/2,可求得式（）的微商为：,将上式代入式（5.5.70）得:,若用y(n)、y(n-1)、y(n-1/2)、x(n-1/2)表示各取样值，则得：,对上式取z变换，求得z域传递函数为:,将上式与式（）逐项比较，可以得到:,或,这种变换称为LDI变换。,5.5.5.3 LDI变换满足映射关系的讨论（1）稳态响应对于LDI变换，如果设离散系统的角频率，则当|z|=1时，z平面上的单位圆可表示为z=ejT。可以证明，LDI变换只能将s平面的虚轴的一部分(-2/T)(2/T)映射到z 平面的单位圆内，不能完全满足映射的条件1，只能近似地满足这一条件。近似的条件是采样频率远远大于信号的最高频率。在这一条件下，通过双线性变换以后，变换到z域的滤波器的稳态响应特性与原S域滤波器的稳态响应特性一致。一般的开关电容电路都满足这一条件。,（2）变换以后的稳定性 为了研究变换以后的稳定性，需要研究s左半平面的映射情况。设z平面单位圆内任一点的极坐标方程为,将上式代如入LDI变换的表示式（3.76）得,上式取实部,可以看出，只有当,即,条件成立时，才有0。即s左半平面的点映射为z平面的单位圆内部。因此，只要模拟系统是稳定的，则经LDI变换所设计的离散系统也是稳定的。由于LDI变换是在nT-3T/2,nT-t/2,nT+t/2.点采样的，因此也称这种方法为中点积分法。,（3）变换的非线性 设稳态时模拟滤波器角频率变量为，离散域SCF的角频率变量为。将z=ejT代入式（）得,如果再设s=+j,为模拟滤波器的角频率。则由式（）可得,从上式可以看出，对应于z平面单位圆上的z值，=0，即s平面的虚轴映射为z平面的单位圆上。但由于|sin(T/2)|1,于是有,或,上式表明，当T从0到-变化时，对应的取值范围为0到2/T和从0到-2/T，其对应关系如图5.5.23 所示,由式（）所表示的连续时间频率和离散时间频率之间的关系可见，LDI变换也存在频率轴畸变效应。在用这种方法设计开关电容滤波器时，首先要根据该式对模拟域指标进行预畸变。,图5.5.23 LED变换中与T的关系,基本电路元件的LDI模型（1）基本关系 和双线性变换一样，通过LDI变换可以将连续域的阻抗转换为离敞域的阻抗。因此式(5.5.44)一(5.5.46)仍然成立，将式(5.5.45)中的s用（z1/2-z-1/2）/T代替，可以得到z域相应的支路电荷与电压关系，对于任一支路i，其电荷Q(z)与电压Vi(z)之间的关系为,将式(5.5.46)中的s用（z1/2-z-1/2）/T代替，可以得到z域相应的支路电流与电压关系，对于任一支路i，其电荷Q(z)与电流Ii(z)之间的关系为,电荷差Q(z)与电压Vi(z)之间的关系为:,上述关系如表3.2所示:,表5.5.2 LDI变换阻抗关系,从表中电容的 V(s)/Q(s)和V(z)/Q(z)关系可以看出，在模拟s域和离散z域，电容支路都是一个电容。所以电容元件经双线性变换后不改变其值和拓扑关系。但是电阻和电感的关系却改变了。我