二阶、三阶行列式及n阶行列式的概念.ppt

第一章 行列式和线性方程组的求解,1.1 二阶,三阶行列式 1.2 n 阶行列式的概念,2011.9.19,设二元一次线性方程组为,其中,行列式是一种算式,是根据线性方程组求解的需要引进的.,二阶和三阶行列式,对方程组用加减消元法求出解:,此解不易记忆，因此有必要引进新的符号“行列式”来表示解,如果定义二阶行列式如下(对角线法则）：,当系数行列式 D 0时,则方程组有唯一解,其解可表示为:,解,则方程组的解为,例1 求解方程组,由于,如果定义三阶行列式如下(对角线法则）：,那么对三元一次方程组,其中,例2,在系数行列式 D 0 时,方程组有唯一解,其解可表示为:,问题：4 阶行列式应如何定义?,用对角线法则可以吗？,问题：怎样定义n阶行列式?,定义 由1,2,n 组成的有序数组称 为一个 n阶(全)排列,一般记为:,例如 自然数1,2,3 的排列共有六种.,例如 12 n 是一个n阶排列,叫自然排列.,全排列的逆序数、对换,在一个排列 中,如果一个大,数排在小数的前面,则称这两个数构成一个逆序.一个排列的逆序总数称为逆序数,表示为,如果,为偶数,则称为偶排列.,为奇数,则称为奇排列.,定义,如果,例3,因为,所以 23541 是一个奇排列.,例4,对换:在一个排列中互换两个数位置的 变动(其它数不动).,对换改变排列的奇偶性.,需要进行 2s+1 次相邻对换.,证,(1)相邻对换,(2)不相邻对换,定理1,所以对换改变排列的奇偶性.,奇排列s个,偶排列t个,(1,2)对换,(1,2)对换,证,全部 n(2)阶排列中奇偶排列各占一半.,定理2,用排列观点总结三阶行列式:,n 阶行列式的定义,为 3！项代数和;每项为取自不同行列的3个元素之积;行按自然顺序取时,每项符号由列标排 列的奇偶性决定.,定义,n阶行列式定义:,为 n!项代数和;每项为取自不同行列的n个元素之积;行按自然顺序取时,每项符号由列标排 列的奇偶性决定.,归纳如下：,注 用定义只能计算一些简单的行列式.,1.一阶行列式,2.二、三阶行列式,不是绝对值！,注意,对角线法则,3.四阶行列式,计算上三角形行列式,例5,计算行列式,例6,例7 在下面的四阶行列式中，求4 和3 的系数。,问题:如何决定下面一般项的符号?,根据这个结论,也可以把行列式表示为:,行列式还有其它的定义方式 一般行列式不用定义来求值 主要利用行列式性质求值,注,