麦克斯韦速率分布函数.ppt

麦克斯韦速率分布函数及其约化形式,一、麦克斯韦速率分布函数,f(v)=4m/(2kT)3/2 expmv2/(2kT)v2=4-1/2m/(2kT)3/2 expmv2/(2kT)v2.,f(v)称为麦克斯韦速率分布函数，式中的T 为气体的热力学温度，m为气体分子质量。,二、麦克斯韦速率分布函数的约化形式,令vp=(2kT/m)1/2，x=v/vp.f(v)dv=41/2m/(2kT)3/2 expmv2/(2kT)v2dv=41/2vp-3 exp(v2/vp2)v2dv.,f(v)dv=41/2x2 exp(x2)dx=F(x)dx.但要特别注意:F(x)=41/2x2exp(x2)f(v).,三、速率分布函数类比质点运动中的时间分布函数,类比法是一种在物理学研究中常用的逻辑推理方法。使用类比法时，根据两类对象之间在某些方面的相似或相同，来推出它们在其他方面也可能相似或相同.,为了描述处于平衡态下的气体的分子数在不同的速率间隔内的分布情况，可以取分子速率 v 为横坐标值，画出速率取值在v至vv间隔内的分子数 N 占总分子数 N 的比率的直方图（条形统计图）。,条形的水平宽度为v，条形的面积为 N/N，因此，条形的竖直高度（纵坐标值）则为N/(Nv).显然，此高度与条形所在处速率的取值有关，是 v的函数。,为了更精确地描述气体分子的速率分布情况，令v 0，此时直方图的上沿由折线变为光滑连续曲线，而 N/(Nv)dN/(Ndv)，它当然仍是速率v的函数，记为f(v)，即 f(v)=dN/(Ndv).(1),这就是分子数对于速率的分布函数，或者称为速率分布函数；(1)式的图像就是速率分布曲线。,f(v)表示在速率v 附近的dv间隔内，平均每单位速率间隔内的分子数占总分子数的比率。有时为了叙述的简便，在不致引起误解的前提下，常常就说f(v)表示在速率v 附近的单位速率间隔内的分子数占总分子数的比率。,速率分布函数给出了气体分子数对于速率取值的分布情况的具体图像。与上述情况类似，质点在运动过程中的各个相同的时间间隔内所通过的路程往往并不相同。,为了描述质点在运动过程中所通过的路程对于时间的分布情况的具体图像，则可以取时间为横坐标值，画出在t至 tt 间隔内质点运动所通过的路程 S 的直方图（条形统计图）。,条形的水平宽度为 t，条形的面积为S，因此，条形的竖直高度（纵坐标值）则为 S/t，它就是质点在 t至 tt间隔内的平均速率。显然，此高度与条形所在处时间的取值有关，是t的函数。,为了更精确地描述质点运动的时间分布情况，令 t 0，此时直方图的上沿由折线变为光滑连续曲线，而S/t dS/dt，它当然仍是时间 t 的函数，记为f(t)，即 f(t)=dS/dt.(2),这就是质点在运动中所通过的路程对于时间的分布函数，或者称为时间分布函数；(2)式的图像就是时间分布曲线。,f(t)表示在时间 t 附近的dt间隔内，平均每单位时间间隔内质点在运动中所通过的路程。有时为了叙述的简便，在不致引起误解的前提下，常常就说f(t)表示在时间 t 附近的单位时间间隔内质点在运动中所通过的路程。,时间分布函数给出了质点在运动过程中所通过的路程对于时间的分布情况的具体图像。由此可见，f(t)其实就是质点运动在t时刻的瞬时速率，因而 f(t)t 这条时间分布曲线正是力学中熟知的速率时间曲线。,通过以上的讨论可以看出，热学中的速率分布曲线与力学中质点运动的速率时间曲线之间存在着颇为相似的情况。,因此，如果在热学中学习速率分布函数时，类比力学中的速率时间函数，就能够比较容易地认识到其物理意义。,不仅如此，用 f(v)类比f(t)，还利于正确理解为什么说“不应该问速率刚好等于特定值 v 的分子有多少个？如果非要这样问，那这种分子其实一个都没有。”,前已指出，质点在t时刻附近的t 间隔内运动的平均速率为S/t，在dt 间隔内运动的平均速率（也就是t时刻的瞬时速率）为dS/dt.,但是我们不应该问在 t 时刻质点通过了多少路程，因为质点只有在经历了一定的时间间隔后才会通过一段路程；如果非要问在 t 时刻质点通过了多少路程，那只能说它通过的路程等于零。,考虑到这种情况，就可以用 f(v)类比 f(t).既然 f(v)表示在速率 v 附近的dv间隔内，平均每单位速率间隔内的分子数占总分子数的比率，,那我们同样也不应该问速率恰好等于特定值 v 的分子数占总分子数的比率是多少，因为此时速率间隔等于零；如果非要问速率恰好等于 v 的分子数占总分子数的比率有多少，那就只能说这样的比率等于零。,看来，把热学中的速率分布函数与力学中的速率时间函数（即质点在运动中所通过的路程对于时间的分布函数）进行类比，确实有助于正确理解和掌握速率分布函数的概念，应该可以收到良好的效果。,应该注意，类比推理是一种或然性的推理方法，通过类比推理所得到的结论正确与否，当然还必须经过实践的检验和证明。没有经过检验和证明的类比推理只是合理的猜想。,但是，在物理学的教学中介绍早已被检验证明过的科学知识时，直接使用类比推理的方法却是好处良多的。我们应该通过一些实例来掌握这种行之有效的逻辑推理方法。,四、随机事件与概率,随机现象：有可能出现多种结果的现象。随机事件：随机现象的每一表现或结果。,频率：某事件出现次数对总次数的比率。概率：某事件频率在总次数趋于无限大时的极限。,不可能事件的概率为零。必然事件的概率为一。,概率加法定理：互不相容（互斥）事件出现的概率的和等于出现其中任一事件的概率。,概率乘法定理：互相独立事件同时出现的概率等于各事件单独出现时概率的积。,五、麦克斯韦速率分布曲线出现极大值的点的轨迹,f(v)=41/2m/(2kT)3/2 expmv2/(2kT)v2.将vp=(2kT/m)1/2代入f(v)可得：,f(vp)=41/2m/(2kT)3/2 expmvp2/(2kT)vp2=41/2expvp2-2vp-3+2=41/2e1vp-1.,由此可得：vpf(vp)=41/2e1=常量。这是一条双曲线的方程。,用麦克斯韦速率分布函数的约化形式来求速率分布曲线出现极大值的点的轨迹，似乎更简便。,x=v/vp，dx/dv=1/vp.f(v)=F(x)dx/dv=F(x)/vp=41/2x2 exp(x2)/vp.,f(vp)=F(1)/vp=41/2e1/vp.即vpf(vp)=41/2e-1=常量.这是一条双曲线的方程。,六、误差函数 erf(x),如果气体分子的总数为 N，应该怎样计算出速率取值在从 0 到某一给定值 v 之间的分子数 N0v 呢？这时就需要用到误差函数erf(x)。,N0v=0vNf(v)dv=N0 xF(x)dx=N0 x41/2 exp(x2)x2dx=21/2N 0 xexp(x2)2x2dx,=21/2N0 xexp(x2)xdx2=21/2N0 xxdexp(x2)=21/2Nxexp(x2)|0 x+0 xexp(x2)dx,=N21/2xexp(x2)+21/20 xexp(x2)dx.定义误差函数erf(x)为 erf(x)=21/20 xexp(x2)dx,则上述结果可表示为N0v=Nerf(x)21/2x exp(x2).此式也可化为N0v/N=erf(x)21/2x exp(x2).,erf(x)的数值见教科书104页的“附录3-2 误差函数简表”。王竹溪著统计物理学导论的附录三是较详细的“误差函数表”。,若把erf(x)中的exp(x2)展开为幂级数后再逐项积分，可以得到其足够精确的数值，但计算起来比较麻烦。例如，如果想要求得erf(1)0.84270，此时幂级数至少要取10项。,当 x 很大时，可以使用教科书 105 页给出的渐近展开式进行计算，但要注意式中的(x)1/2 有误，应该改为1/2x后再计算。,七、在计算分子通量的公式中应用类比法的实例,类比法是一种在科学研究中常用的逻辑推理方法。使用类比法时，根据两类对象之间在某些方面的相似或相同，来推出它们在其他方面也可能相似或相同。,实际上，对于物理学中的某些现象，描述它们的数学表述式有时可能极为相似，此时应用类比推理方法，常常可以绕开复杂的、有时甚至是烦琐的数学演算步骤，比较快捷地得出明晰的物理结果。,设玻尔兹曼常量为 k，气体的热力学温度为 T，分子质量为 m，根据麦克斯韦速度分布律，在平衡态下，气体分子速度分量 vx的分布函数 f(vx)为 f(vx)=m/(2kT)1/2 expmvx2/(2kT).(1),因此，速度分量 vx取值在 vx至 vx+dvx 间隔内的气体分子数占总分子数的比率为 f(vx)dvx.如果气体分子数密度为 n，那速度分量 vx取值在 vx至 vx+dvx间隔内的气体分子在单位时间内对单位面积器壁的碰撞次数将等于nvxf(vx)dvx1。,而把 nvxf(vx)dvx 在从 0到 的区间内积分，就能够得到具有各种速率的全部气体分子在单位时间内对单位面积器壁的碰撞次数（即分子通量）J为,J=0nvxf(vx)dvx=0nm/(2kT)1/2vx expmvx2/(2kT)dvx=nkT/(2m)1/2.(2),可是根据麦克斯韦速率分布律，在平衡态下，气体分子速率 v 的分布函数f(v)为 f(v)=4m/(2kT)3/2v2 expmv2/(2kT).(3),由(3)式可知气体分子的平均速率 u 为 u=0vf(v)dv=04m/(2kT)3/2v3 expmv2/(2kT)dv=8kT/(m)1/2.(4),利用(4)式可以把(2)式化为 J=(n/4)u=(n/4)0vf(v)dv=0(n/4)vf(v)dv.(5),由(2)和(5)式可得0nvxf(vx)dvx=J=0(n/4)vf(v)dv.(6),在以上导出(2)式的过程中，nvxf(vx)dvx 表示速度分量 vx 取值在 vx 至 vx+dvx 间隔内的气体分子在单位时间内对单位面积器壁的碰撞次数，把nvxf(vx)dvx在从0到的区间内积分，就能得到分子通量J.,而从(6)式可以看出：式中的两个积分内的被积函数nvxf(vx)dvx和(n/4)vf(v)dv的地位相当，它们的物理意义相似，因而在这两者之间可以进行类比推理。,现在既然(n/4)vf(v)dv在从0到的区间内积分，也能得到分子通量 J.可见(n/4)vf(v)dv就表示速率取值在 v到 v+dv间隔内的气体分子在单位时间内对单位面积器壁的碰撞次数。据此处理某些相关问题，有时往往会比较简捷。,例如，如果需要计算在平衡态下，速率大于任意一个给定值 v 的气体分子在单位时间内对单位面积器壁的碰撞次数（即速率大于任意一个给定值 v 的分子通量）Jv 时，首先,需要导出速率取值在 v到 v+dv 间隔内的气体分子在单位时间内对单位面积器壁的碰撞次数等于(n/4)vf(v)dv，相关的推导步骤比较多。,可是如果将(n/4)vf(v)dv与nvxf(vx)dvx进行类比，那就无需再去逐步推导，可以直接写出(n/4)vf(v)dv，认为它正是速率取值在v到v+dv 间隔内的气体分子在,单位时间内对单位面积器壁的碰撞次数，而只需要把它在从 v 到 的区间内积分就行了，即 Jv=v(n/4)vf(v)dv.(7),将(3)式代入(7)式计算，就能得到 Jv=v(n/4)4 m/(2kT)3/2v3 expmv2/(2kT)dv=nkT/(2m)1/2 1+mv2/(2kT)expmv2/(2kT).(8),又如，可以导出利用分子泻流现象产生的分子束（分子射线）里的气体分子的速率分布函数 fb(v)的具体形式。实际上，分子泻流现象产生的分子束，在同位素分离技术和许多著名的物理实验里都有重要的应用2。,若容器内贮有处于平衡态下的气体（例如常用金属蒸汽），容器外抽成高真空，当满足分子泻流存在的条件（气体分子的平均自由程远大于容器壁上的泻流小孔的线度）时，气体分子就能从小孔中逸出，形成分子束。,虽然在作为分子源的容器内的气体分子服从麦克斯韦速率分布律，其速率分布函数可以用(3)式表示。但是，分子束里的气体分子的速率分布函数 fb(v)却不能用(3)式来代表。此 fb(v)的具体形式可以用以下的方法导出。,既然通过将(n/4)vf(v)dv与 nvxf(vx)dvx 进行类比，能够得知(n/4)vf(v)dv就是速率取值在v到 v+dv 间隔内的气体分子在单位时间内对单位面积器壁的碰撞次数，如果容器壁上的泻,流小孔的面积为dS，则在分子源里的速率取值在v 到v+dv 间隔内的气体分子在单位时间内从小孔中逸出的分子数应为(n/4)vf(v)dvdS.,然而根据(5)式又可知，在分子源里的各种速率的气体分子在单位时间内从小孔中逸出的分子数则应该为(n/4)udS.,因此，按照速率分布函数的定义就能得到：在分子束里速率取值在v到 v+dv 间隔内的气体分子数占总分子数的比率 dNvv+dv/N 就应当是,dNvv+dv/N=fb(v)dv=(n/4)vf(v)dvdS/(n/4)udS=(v/u)f(v)dv.(9),于是，由(9)、(3)和(4)式可得fb(v)=vf(v)/u=2m/(2kT)2v3 expmv2/(2kT).(10),(10)式有时被称为麦克斯韦发射分布（Maxwelltransmissiondistribution）3。,如果在平衡态下的气体分子的最概然速率为 vp，因为vp=(2kT/m)1/2，故在引入无量纲量 x=v/vp后，也可以将fb(v)dv 化为以 x表示的约化形式Fb(x)dx.由此可得 Fb(x)=fb(v)dv/dx=2x3exp(x2).(11),利用(11)或(10)式，还能进而求得分子束里的气体分子的最概然速率 vb.p 和平均速率 ub分别为 vb.p=(3kT/m)1/2，(12)ub=9kT/(8m)1/2.(13),