高等数学第十章曲线积分.ppt
第十章 曲 线 积 分,对弧长的曲线积分（第一型曲线积分）,一、对弧长的曲线积分的概念,1定义,2物理意义,表示线密度为 的弧段 的质量.,二、对弧长的曲线积分的性质,1线性性质：,若,则,5.奇偶对称性：,2可加性：,3 的弧长：,4.单调性：,设在上，则,三、对弧长的曲线积分的计算方法,方法：化为定积分计算（注：下限上限）,（1）参数方程：若 则,（2）直角坐标：若 则,（3）极坐标：若;则,“描述代入”法,（4）参数方程：若 则,注：被积函数可用积分曲线方程化简！,四、对弧长的曲线积分的应用,1几何应用 求曲线的弧长,2物理应用,质量,质心,转动惯量,一、对坐标的曲线积分的概念,1定义,2物理意义,变力 沿 所作的功.,对坐标的曲线积分（第二型曲线积分）,二、对坐标的曲线积分的性质,若（方向不变），则,设 是 的反向曲线弧，则,2.方向性：,1可加性：,3.奇偶对称性：,三、对坐标的曲线积分的计算方法,（化为定积分计算）,（1）参数方程：,1直接计算法：,设 从 变到;则,设;从 变到;则,“描述代入”法,设 从 变到;则,（2）直角坐标：,设 从 变到;则,注:下限 起点 上限 终点,3利用积分与路径无关的条件计算法,与路径无关,单连域.,单连域.,2格林（Green）公式计算法,（注意使用条件！）,（这里 为区域 的正向边界曲线),，为区域内任意闭曲线.,四、两类曲线积分之间的联系,其中 为有向曲线弧 在点 处的切向量的方向角.,五、对坐标的曲线积分的解题方法,No,积分与路径无关,封闭,取特殊曲线,转化为定积分,积分与路径有关,封闭,确定D,应用Green公式,对L补上特殊曲线,在封闭曲线 上应用Green公式,转化为定积分,Yes,No,Yes,No,Yes,解题方法流程图,由上图可以看出，计算第二型曲线积分时，首先要找出函数,及积分曲线 然后判断等式 是否,成立？若上述等式成立，则曲线积分在单连域 内与积分路径,无关.此时的计算方法是，看积分曲线 是否封闭.若 为封闭,曲线,则利用积分与路径无关的等价命题，便可知所求积分为零;,若上式不成立，则曲线积分与积分路径有关。此时的计算方,法是，看积分曲线 是否封闭.若 为封闭曲线,则直接利用,若 不是封闭曲线,通常采用取特殊路径的方法（如取平行于,坐标轴的折线)来计算所给积分，即,Green公式计算所给积分，即,若 不是封闭曲线,则计算方法一般有两种,一种是将曲线,再计算 最后将两式相减便得原曲线积分的值,即,积分化为定积分来计算；另一方法是通过补特殊路径,使,与 构成封闭曲线，然后在封闭曲线 上应用Green,公式,即,六、对坐标的曲线积分的物理应用,求变力沿曲线所作的功：.,五、对弧长的曲线积分典型例题,分析由于本题积分曲线 的方程为参数形式，从计算方法框图上看，我们可采用线路2的方法计算.,解：由于 而,故,解：圆周 在极坐标下的方程为,则 故,分析由于本题积分曲线 的方程可化为 或 的,形式,故从计算方法框图上看,我们可采用线路1的方法计算。,但考虑到化为以 为积分变量的定积分计算比较困难,故本题,解:由于 所以,积分曲线 应采用 的形式.,分析 由于积分曲线 为闭曲线,由三段组成,故应根据每段曲线的特点，选择不同的计算方法.在 与,上可用框图中线路1的方法计算，在 上可用线路3的方,法计算。,解：积分曲线 为闭曲线（如图）,其中,故,可分解为,分析 由于积分曲线 可恒等变形为,而被积函数 中又含有 故可将,代入，从而简化被积函数，然后再计算；对于积分,由于 关于 轴对称,函数 关于 为奇函数,故有,解：由奇偶对称性可知 所以,注：由于被积函数 定义在曲线 上,故 满足曲线,的方程。因此，计算第一型曲线积分时应首先需要利用曲线方程化简被积函数，这是计算曲线积分的一个重要知识点.,【例6】*求,其中,解:,解：所求的转动惯量为 而,故,六、对坐标对曲线积分典型例题,分析 由于 故曲线积分与路径有关.又因为曲线,不是封闭的，按解题方法流程图，计算本题有两种方法：一是将第二型曲线积分直接转化为定积分计算；二是采用补特殊路径，然后应用Green公式计算。本题采用第一种方法计算比较简便，这里应首先将积分曲线 的方程改写为,再代入被积函数中计算。,解：由于 所以,分析 本题为沿空间曲线的积分，从所给曲线来看，可采用参数法转化为定积分来计算，这里关键是要正确写出积分曲线的参数方程。考虑到本题为沿空间平面闭曲线的积分，故又可利用斯托克斯（Stokes）公式将曲线积分转化为曲面积分计算。,解法1：化为定积分计算.由于,(如图)，这里,所以,从 变到。,从 变到。,从 变到。,从而,解法2：利用斯托克斯公式计算.,设 为平面 上 所围成部分的上侧，,由Stokes公式，得,为 在坐标面 上的投影区域，则,分析 由于,故曲线积分与路径有关。,又因 为封闭曲线（如图）。,且、在 所围区域上满足格林公式的条件，故本题可采用格林公式方法来计算，即采用框图中线路221的方法。,解:令，.则,即 由于,故利用格林公式，得,解法1：化为定积分计算。,的参数方程为：,从 变到.则,解法2：利用格林公式计算。,设 由所围区域为,则;于是,分析 由例3的分析可知，曲线积分与路径有关，又因积分曲,接计算法，即转化为定积分的方法计算，不难看出沿着路径,的积分，被积函数中含有 和 的项,积分的计算将是非常困难的。因此，本题采用补特殊路径，然后应用Green公式的方法计算本题，即采用框图中线路222计算。,线 不是封闭的，按框图，计算本题有两种方法；但若利用直,解:补直线段:,从 变到;并设曲线,所围区域为（如图），则由Green公式，得：,又,故,分析 因,则,由于 与 在原点 处不连续,因此：,（1）若给定的曲线 所围成的闭区域不包括原点,则在,此区域内曲线积分与路径无关；（2）若给定的曲线 所围成,的闭区域包括原点,那么、在 所围成的闭区域上不,满足格林公式（积分与路径无关的条件）。此时，我们可取,Green公式,由此将 上的曲线积分转化为 上的曲线积分.,一条包围点 的特殊的封闭光滑曲线,在 上应用,解：因,则,故.,（1）若给定的曲线 围成的闭区域不包括原点.由,知曲线积分 与路径无关,故.,（2）若给定的曲线 所围成的闭区域包括原点,则取一条,特殊的有向曲线(充分小),规定 的方向为,逆时针（如图所示）。,设 所围成的区域为,则在 上应用Green 公式，得,所以.而,故,或利用参数方程计算：令:,从 到.,所以,解：记,.则由于,则所给积分与路径无关。现取,从 变到;,则有,【例8】设位于点 的质点 对质点 的引力大小为,（为常数,为质点 对质点 之间的距离),质点,沿曲线自 运动到.求在此运动过程,分析 设质点 对质点 的引力.,因此，问题的关键是写出引力 的表达式.,中质点 对质点 的引力所作的功.,则所求的功为,解：作图如右图所示，可知,引力 的方向与 一致,故,于是,分析 由于场力沿路径所作的功为,所以证明场力所作的功与所取的路径无关的问题，实质上就是证明上述曲线积分与路径无关的问题。,证明：场力沿路径所作的功为,令,;则,由于右半平面为单连通区域，且,所以场力所作的功,与所取的路径无关。,
