高等数学微分方程的基本概念教学ppt.ppt

第六章 常微分方程,第一节 微分方程的基本概念,第二节 一阶微分方程,第三节 可降阶的高阶微分方程,第四节 二阶线性微分方程解的结构,第五节 二阶常系数线性齐次微分方程,第一节 微分方程的基本概念,一.问题引入,二.微分方程的定义,本节主要内容:,三.求微分方程的解,在力学、物理学及工程技术等领域中为了对客观事物运动的规律性进行研究，往往需要寻求变量间的函数关系，但根据问题的性质，常常只能得到待求函数的导数或微分的关系式，这种关系式在数学上称之为微分方程。,例1 一曲线过点(0,0)，且曲线上各点处的切线斜率等于该点横坐标的平方，求此曲线方程,解 设所求曲线的方程为y=y(x),(x,y)为曲线上的任意点，在该点曲线的切线的斜率为y,依题意有：,两边积分，得,(2),(1),一、问题引入,上式表示的是曲线上任意一点的切线的斜率为x2的所有曲线但要求的是过点(0,0)的曲线，即,将(3)式代入(2)式，得C=0，所以,为所求的曲线方程,例2 一物体由静止开始从高处自由下落，已知物体下落时的重力加速度是g，求物体下落的位置与时间之间的函数关系。,解 设物体的质量为m,由于下落过程中只受重力作用,故物体所受之力为,F=mg，,所以,及加速度,又根据牛顿第二定律，F=ma,两端积分得,(6),现在来求s与t之间的函数关系，对(5)式,由题意知 t=0 时，,(8),这里C1，C2都是任意的常数,(7),再两端积分，得,C1=0,C2=0.故(7)式为,把(8)式分别代入(6)，(7)式，得,(9),这就是初速度为0的物体垂直下落时距离,s与时间t之间的函数关系,微分方程:凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.,例,实质:联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.,二、微分方程的定义,分类1:按自变量的个数，分为常微分方程和偏微分方程.,都是常微分方程；,如 y=x2,y+xy2=0,如果其中的未知函数只与一个自变量有关，就称为常微分方程。,就是偏微分方程；,如果未知函数是两个或两个以上自变量的函数，并且在方程中出现偏导数,如,本章我们只介绍常微分方程。,微分方程的阶:微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数.,都是二阶微分方程.,都是一阶微分方程；,如 y=x2,y+xy2=0,xdy+ydx=0,是四阶微分方程；等等,二阶及二阶以上的微分方程称为高阶微分方程.,分类2:按方程中未知函数导数的最高阶数，分为一阶、二阶和高阶微分方程,一阶微分方程,高阶(n)微分方程,微分方程的解:代入微分方程能使方程成为恒等式的函数.,微分方程的解的分类：,(1)通解:微分方程的解中含有任意常数,且独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同.,三、主要问题求方程的解,含有几个任意常数的表达式，如果它们不能合并而使得任意常数的个数减少，则称这表达式中的几个任意常数相互独立,不能合并的，即C1，C2是相互独立的,例如y=C1x+C2x+1 与 y=Cx+1(C1,C2，,C都是任意常数）所表示的函数族是相同的，,因此y=C1x+C2x+1中的C1，C2是不独立的；,而 中的任意常数C1，C2是,(2)特解:确定了通解中任意常数以后的解.,初始条件:确定任意常数取固定值的条件.,解的图象:微分方程的积分曲线.,通解的图象:积分曲线族.,初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题,二阶微分方程的定解条件通常是x=x0时，y=y0、y=y0或写成,或,本章讨论的一阶微分方程，f(x,y)表示x,y的关系式），它的定解条件通常是x=x0时，y=y0或写成,把y和y代入微分方程左端得,解,又,例3 验证 是微分方程 的通解并求此方程满足初始条件,的特解。,是该微分方程的通解.,是二阶的，所以,方程,代入初始条件,得,中含有两个独立的常数，而,是该微分方程的特解.,所以,故,23,内容小结,本节基本概念：,微分方程；,微分方程的阶；,微分方程的解；,通解，初始条件；,特解；,初值问题；,积分曲线,