高等代数第八章7第七节矩阵的有理标准形.ppt

第七节*矩阵的有理标准形,返回,前一节中证明了复数域上任一矩阵A都可相似于一个若当形矩阵.这一节将对任意数域P来讨论类似的问题.我们证明P上任一矩阵必相似于一个有理标准形矩阵.,返回,定义8 对数域P上的一个多项式,d()=n+a1n-1+an,称矩阵,(1),为多项式d()的伴侣阵.,容易证明，A的不变因子(即E-A的不变因子)是,(见习题3),返回,定义9 下列准对角矩阵,(2),其中Ai分别是数域P上某些多项式 di()(i=1,2,s)的伴侣阵，且满足d1()|d2()|ds()，A就称为P上的一个有理标准形矩阵.,返回,引理(2)中矩阵的不变因子为 1,1,1,d1(),d2(),ds()，其中 1 的个数等于 d1(),d2(),ds()的次数之和n减去s.,证明 因为,返回,进而用初等变换将E-A变成,由于每个Ei-Ai的不变因子为1,1,1,di()，故可用初等变换把它变成,返回,(3),返回,在矩阵(3)上再进行一些行或列互换，则可变成,由于 d1()|d2()|ds()，故它是E-A的标准形，而1,1,1,d1(),d2(),ds()是它的不变因子.,返回,定理14 数域P上nn方阵A在P上相似于唯一的一个有理标准形矩阵，称为A的有理标准形.,证明 设A的(E-A的)不变因子为 1,1,1,d1(),d2(),ds()，其中d1(),d2(),ds()的次数1，且1的个数d1(),d2(),ds()的次数之和减去s，设di()的伴侣阵是Bi，则作,返回,如引理所述，B的不变因子与A的不变因子完全相同，故B相似于A，即B是A的有理标准形矩阵.又B是由A的不变因子唯一决定，故B由A唯一决定.证毕.,返回,定理15 设A是数域P上n维线性空间V的线性变换，则在V中存在一组基，使A在该基下的矩阵是有理标准形，并且这个有理标准形由A唯一决定的，称为线性变换A的有理标准形.,把定理14的结论变成线性变换形式的结论就成为,返回,例 设33矩阵A的初等因子为(-1)2,(-1)，则它的不变因子是1,(-1),(-1)2，它的有理标准形为,