高数下册第9章空间解析几何与向量代数.ppt

数量关系,第九章,第一部分 向量代数,第二部分 空间解析几何,在三维空间中:,空间形式 点,线,面,基本方法 坐标法;向量法,坐标,方程（组）,空间解析几何与向量代数,四、利用坐标作向量的线性运算,第一节,一、向量的概念,二、向量的线性运算,三、空间直角坐标系,五、向量的模、方向角、投影,向量及其线性运算,第九章,表示法:,向量的模:,向量的大小,一、向量的概念,向量:,(又称矢量).,既有大小,又有方向的量称为向量,向径(矢径):,自由向量:,与起点无关的向量.,起点为原点的向量.,单位向量:,模为 1 的向量,零向量:,模为 0 的向量,有向线段 M1 M2,或 a,规定:零向量与任何向量平行;,记作,因平行向量可平移到同一直线上,故两向量平行又称,两向量共线.,若 k(3)个向量经平移可移到同一平面上,则称此 k,个向量共面.,二、向量的线性运算,1.向量的加法,三角形法则:,平行四边形法则:,运算规律:,交换律,结合律,三角形法则可推广到多个向量相加.,2.向量的减法,三角不等式,3.向量与数的乘法,是一个数,规定:,可见,总之:,运算律:,结合律,分配律,因此,定理1.,设 a 为非零向量,则,(为唯一实数),取,且,再证数 的唯一性.,则,取正号,反向时取负号,则,注：定理1是建立数轴的理论依据。,因给定一个点及一个单位向量就确定了一条数轴,三、空间直角坐标系,由三条互相垂直的数轴按右手规则,组成一个空间直角坐标系.,坐标原点,坐标轴,x轴(横轴),y轴(纵轴),z 轴(竖轴),过空间一定点 o,坐标面,卦限(八个),zox面,1.空间直角坐标系的基本概念,向径,在直角坐标系下,坐标轴上的点 P,Q,R;,坐标面上的点 A,B,C,点 M,特殊点的坐标:,有序数组,(称为点 M 的坐标),原点 O(0,0,0);,坐标轴:,坐标面:,2.向量的坐标表示,在空间直角坐标系下,设点 M,则,沿三个坐标轴方向的分向量.,的坐标为,四、利用坐标作向量的线性运算,设,则,平行向量对应坐标成比例:,例1.已知两点,在AB直线上求一点 M,使,解:设 M 的坐标为,如图所示,及实数,得,即,说明:由,得定比分点公式:,点 M 为 AB 的中点,于是得,中点公式:,五、向量的模、方向角、投影,1.向量的模与两点间的距离公式,则有,由勾股定理得,因,得两点间的距离公式:,对两点,与,例2.在 z 轴上求与两点,等距,解:设该点为,解得,故所求点为,及,离的点.,2.方向角与方向余弦,设有两非零向量,任取空间一点 O,称=AOB(0)为向量,的夹角.,类似可定义向量与轴,轴与轴的夹角.,与三坐标轴的夹角,为其方向角.,方向角的余弦称为其方向余弦.,方向余弦的性质:,例3.已知两点,和,的模、方向余弦和方向角.,解:,计算向量,例4.设点 A 位于第一卦限,解:已知,角依次为,求点 A 的坐标.,则,因点 A 在第一卦限,故,于是,故点 A 的坐标为,向径 OA 与 x 轴 y 轴的夹,3.向量在轴上的投影,如图所示：,则向量,性质：,称为向量r在u轴上的分向量.,解:因,例5.设,求向量,在 x 轴上的投影及在 y轴上,的分向量.,在 y 轴上的分向量为,故在 x 轴上的投影为,*三、向量的混合积,第二节,一、两向量的数量积,二、两向量的向量积,数量积 向量积*混合积,第九章,一、两向量的数量积,沿与力夹角为,的直线移动,1.定义,设向量,的夹角为,称,数量积,(点积).,故,2.性质,为两个非零向量,则有,3.运算律,(1)交换律,(2)结合律,(3)分配律,事实上,当,时,显然成立;,例1.证明三角形余弦定理,证:,则,如图.设,4.数量积的坐标表示,设,则,当,为非零向量时,由于,两向量的夹角公式,得,例2.已知三点,AMB.,解:,则,求,故,二、两向量的向量积,引例.设O 为杠杆L 的支点,有一个与杠杆夹角为,符合右手规则,1.定义,定义,向量,方向:,(叉积),记作,且符合右手规则,模:,向量积,引例中的力矩,思考:右图三角形面积,S,2.性质,为非零向量,则,3.运算律,(2)分配律,(3)结合律,(证明略),证明:,4.向量积的坐标表示式,设,则,向量积的行列式计算法,例1.已知三点,角形 ABC 的面积,解:如图所示,求三,证明:由三角形面积公式,所以,因,练习,一点 M 的线速度,例3.设刚体以等角速度 绕 l 轴旋转,导出刚体上,的表示式.,解:在轴 l 上引进一个角速度向量,使,其,在 l 上任取一点 O,作,它与,则,点 M离开转轴的距离,且,符合右手法则,的夹角为,方向与旋转方向符合右手法则,向径,*三、向量的混合积,1.定义,已知三向量,称数量,混合积.,几何意义,为棱作平行六面体,底面积,高,故平行六面体体积为,则其,2.混合积的坐标表示,设,3.性质,(1)三个非零向量,共面的充要条件是,(2)轮换对称性:,(可用三阶行列式推出),例1.已知一四面体的顶点,4),求该四面体体积.,解:已知四面体的体积等于以向量,为棱的平行六面体体积的,故,例2.证明四点,共面.,解:因,故 A,B,C,D 四点共面.,四、二次曲面,第三节,一、曲面方程的概念,二、旋转曲面,三、柱面,曲面及其方程,第九章,一、曲面方程的概念,求到两定点A(2,1,3)和B1,-1,2)等距离的点的,化简得,即,说明:动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面.,引例:,显然在此平面上的点的坐标都满足此方程,不在此平面上的点的坐标不满足此方程.,解:设轨迹上的动点为,轨迹方程.,定义1.,如果曲面 S 与方程 F(x,y,z)=0 有下述关系:,(1)曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程;,则 F(x,y,z)=0 叫做曲面 S 的方程,曲面 S 叫做方程 F(x,y,z)=0 的图形.,两个基本问题:,(1)已知一曲面作为点的几何轨迹时,(2)不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程,求曲面方程.,(2)已知方程时,研究它所表示的几何形状,(必要时需作图).,故所求方程为,例1.求动点到定点,方程.,特别,当M0在原点时,球面方程为,解:设轨迹上动点为,即,依题意,距离为 R 的轨迹,表示上(下)球面.,例2.研究方程,解:配方得,此方程表示:,说明:,如下形式的三元二次方程(A 0),都可通过配方研究它的图形.,其图形可能是,表示怎样的曲面。,半径为,的球面.,球心为,一个球面,或点,或虚轨迹.,定义2.一条平面曲线,二、旋转曲面,绕其平面上一条定直线旋转,一周,所形成的曲面叫做旋转曲面.,该定直线称为旋转,轴.旋转曲线叫母线,例如:,确定旋转曲面方程的方法:,故旋转曲面方程为,当绕 z 轴旋转时,若点,Eg:给定 yoz 面上曲线 C:,则有,则有,该点转到,思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？,例1.试建立顶点在原点,旋转轴为z 轴,半顶角为,的圆锥面方程.,解:在yoz面上直线L 的方程为,绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为,两边平方,例2.求坐标面 xoz 上的双曲线,分别绕 x,轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.,解:绕 x 轴旋转,绕 z 轴旋转,这两种曲面都叫做旋转双曲面.,所成曲面方程为,所成曲面方程为,三、柱面,引例.分析方程,表示怎样的曲面.,的坐标也满足方程,解:在 xoy 面上，,表示圆C,沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆,故在空间,过此点作,柱面.,对任意 z,平行 z 轴的直线 l,表示圆柱面,在圆C上任取一点,其上所有点的坐标都满足此方程,定义3.,一般的，动直线 L 沿定曲线 C 平行移动所成的,的轨迹叫做柱面.,表示抛物柱面,母线平行于 z 轴;,准线为xoy 面上的抛物线.,z 轴的椭圆柱面.,z 轴的平面.,表示母线平行于,(且 z 轴在平面上),表示母线平行于,C 叫做准线,动直线L 叫做母线.,一般地,在三维空间,柱面,柱面,平行于 x 轴;,平行于 y 轴;,平行于 z 轴;,准线 xoz 面上的曲线 l3.,母线,柱面,准线 xoy 面上的曲线 l1.,母线,准线 yoz 面上的曲线 l2.,母线,四、二次曲面,三元二次方程,适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅,就几种常见标准型的特点进行介绍.,研究二次曲面特性的基本方法:截痕法,其基本类型有:,锥面、椭球面、双曲面、抛物面、柱面,的图形通常为二次曲面.,(二次项系数不全为 0),1.椭圆锥面,椭圆,在平面 x0 或 y0 上的截痕为过原点的直线.,2.椭球面,椭球面与三个坐标面的交线：,3.单叶双曲面,椭圆.,时,截痕为,双曲线:,y,o,z,双曲线:,3),x,4.双叶双曲面,双曲线,椭圆,双曲线,(1)与平面 的交线为椭圆.,（2）用坐标面 与曲面相截截得抛物线,与平面 y=k的交线为抛物线,x,y,z,o,5.椭圆抛物面,（3）用坐标面 与曲面相截,截得抛物线.,椭圆抛物面的图形如下：,特殊地：当 a=b时，方程变为,旋转抛物面,6.双曲抛物面（马鞍面）,o,5.12.13,3.4.10,6.9,作业：,第九章,一、空间曲线的一般方程,二、空间曲线的参数方程,三、空间曲线在坐标面上的投影,第四节,空间曲线及其方程,一、空间曲线的一般方程,空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组,例如,方程组,表示圆柱面与平面的交线 C.,又如,方程组,表示上半球面与圆柱面的交线C.,二、空间曲线的参数方程,将曲线C上的动点坐标x,y,z表示成参数t 的函数:,称它为空间曲线的参数方程.,例如,圆柱螺旋线,的参数方程为,上升高度,称为螺距.,例1.将下列曲线化为参数方程表示:,解:(1),根据第一方程引入参数,(2)将第二方程变形为,故所求为,得所求为,例2.求空间曲线:,绕 z 轴旋转,时的旋转曲面方程.,解:,点 M1绕 z 轴旋转,转过角度 后到点,则,这就是旋转曲面满足的参数方程.,例如,直线,绕 z 轴旋转所得旋转曲面方程为,消去 t 和,得旋转曲面方程为,绕 z 轴旋转所得旋转曲面(即球面)方程为,又如,xoz 面上的半圆周,说明:一般曲面的参数方程含两个参数,形如,三、空间曲线在坐标面上的投影,设空间曲线 C 的一般方程为,消去 z 得柱面,以曲线C为准线，母线平行于z轴的柱面叫做曲线C关于xoy面的投影柱面。,投影柱面与xoy面的交线叫做曲线C在xoy面上的投影曲线（投影）。,同理，消x,y等情形！,例1.求曲线,在xoy 面上的投影柱面方程及投影曲线方程。,析：,例2.,所围的立体在 xoy 面上的投影区域为:,上半球面,和锥面,在 xoy 面上的投影曲线,二者交线,所围圆域:,二者交线在,xoy 面上的投影曲线所围之域.,第五节,一、平面的点法式方程,二、平面的一般方程,三、两平面的夹角,平面及其方程,第九章,一、平面的点法式方程,设一平面通过已知点,且垂直于非零向,称式为平面的点法式方程,求该平面的方程.,法线向量.,量,则有,故,例1.求过三点,即,解:取该平面 的法向量为,的平面 的方程.,利用点法式得平面 的方程,一般情况:,过三点,的平面方程为,特别,当平面与三坐标轴的交点分别为,此式称为平面的截距式方程.,时,平面方程为,分析:利用三点式,按第一行展开得,即,二、平面的一般方程,设有三元一次方程,以上两式相减,得平面的点法式方程,此方程称为平面的一般,任取一组满足上述方程的数,则,显然方程与此点法式方程同解,的平面,因此方程的图形是,法向量为,方程.,特殊情形,当 D=0 时,A x+B y+C z=0 表示,通过原点的平面;,当 A=0 时,B y+C z+D=0 的法向量,平面平行于 x 轴;,A x+C z+D=0 表示,A x+B y+D=0 表示,C z+D=0 表示,A x+D=0 表示,B y+D=0 表示,平行于 y 轴的平面;,平行于 z 轴的平面;,平行于 xoy 面 的平面;,平行于 yoz 面 的平面；,平行于 zox 面 的平面.,例2.求通过 y 轴和点(2,1,1)的平面方程.,例3.用平面的一般式方程导出平面的截距式方程.,解:,因平面通过 y 轴,设所求平面方程为,代入已知点,得,化简,得所求平面方程,三、两平面的夹角,设平面1的法向量为,平面2的法向量为,则两平面夹角 的余弦为,即,两平面法线向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角.,特别有下列结论：,因此有,例4.一平面通过两点,垂直于平面:x+y+z=1,求其方程.,解:设所求平面的法向量为,即,的法向量,约去C,得,即,和,则所求平面,故,方程为,且,外一点,求,例5.设,解:设平面法向量为,在平面上取一点,是平面,到平面的距离d.,则P0 到平面的距离为,(点到平面的距离公式),第六节,一、空间直线的一般式方程,二、空间直线的对称式、参数方程,空间直线及其方程,第九章,三、两直线的夹角,四、直线与平面的夹角,五、线面综合题,一、空间直线的一般式方程,因此空间直线的一般方程：,直线可看作两平面交线，,二、空间直线的对称式、参数方程,故有,说明:某些分母为零时,其分子也理解为零.,设直线上的动点为,则,此式称为直线的对称式方程(也称为点向式方程),直线方程为,已知直线上一点,例如,当,和它的方向向量,参数式方程,设,得直线的参数方程:,例1.用对称式方程及参数方程表示直线,解:先在直线上找一点.,再求直线的方向向量,令 x=1,解方程组,得,交已知直线的两平面的法向量为,是直线上一点.,故所给直线的对称式方程为,参数式方程为,三、两直线的夹角,则两直线夹角 满足,设直线,两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角),的方向向量分别为,特别有:,例2.求以下两直线的夹角,解:直线,直线,二直线夹角 的余弦为,从而,的方向向量为,的方向向量为,当直线与平面垂直时,规定其夹角,线所夹锐角 称为直线与平面间的夹角;,四、直线与平面的夹角,当直线与平面不垂直时,设直线 L 的方向向量为,平面 的法向量为,则直线与平面夹角 满足,直线和它在平面上的投影直,特别有:,解:取已知平面的法向量,则直线的对称式方程为,直的直线方程.,为所求直线的方向向量.,垂,例3.求过点(1,2,3)且与平面,五、线面综合题,例4.,例5.,例6.,例7.,4.5.8,5.6.8,3.5.9.15,作业：,