阶微分方程及其建模方法.ppt

微分方程基础及其数学模型,一阶微分方程和微元分析法二阶微分方程基础常见微分方程模型,解,一、微分方程的基本概念,解,代入条件后知,故,开始制动到列车完全停住共需,微分方程:凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.,例,实质:联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.,2、微分方程的定义,微分方程的阶:微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称之.,分类1:常微分方程,偏微分方程.,一阶微分方程,高阶(n)微分方程,分类2:,分类3:线性与非线性微分方程.,分类4:单个微分方程与微分方程组.,微分方程的解:代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之.,微分方程的解的分类：,3、主要问题-求方程的解,(1)通解:微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同.,(2)特解:确定了通解中任意常数以后的解.,解的图象:微分方程的积分曲线.,通解的图象:积分曲线族.,初始条件:用来确定任意常数的条件.,过定点的积分曲线;,一阶:,二阶:,过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.,初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题.,解,所求特解为,补充:,微分方程的初等解法:初等积分法.,求解微分方程,求积分,(通解可用初等函数或积分表示出来),可分离变量的微分方程.,解法,为微分方程的解.,分离变量法,1、可分离变量的微分方程,二、一阶微分方程的求解,例1 求解微分方程,解,分离变量,两端积分,解,由题设条件,衰变规律,整理可得：,的微分方程称为齐次方程.,(2).解法,作变量代换,代入原式,可分离变量的方程,(1).定义,2、齐次方程,例 1 求解微分方程,微分方程的解为,解,例 2 求解微分方程,解,微分方程的解为,一阶线性微分方程的标准形式:,上方程称为齐次的.,上方程称为非齐次的.,例如,线性的;,非线性的.,3、一阶线性方程,齐次方程的通解为,(1).线性齐次方程,一阶线性微分方程的解法,(使用分离变量法),(2).线性非齐次方程,常数变易法,把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.,实质:未知函数的变量代换.,作变换,积分得,一阶线性非齐次微分方程的通解为:,对应齐次方程通解,非齐次方程特解,解,例1,微元分析法举例及其特点湖水污染和净化化学反应动力学模型,三、微元分析建模方法,如图所示，一容器内，原有100毫升盐水，其中含盐50g，现以流速3毫升/分钟的速度向容器注入盐水，每毫升含盐量为2g。假定流入的盐水和容器内的盐水因搅拌而能瞬时混合均匀，并以同样的速度流出。建立微分方程，描述容器中含盐量的变化过程，由此计算半小时后容器内剩多少公斤盐？,微元分析法举例,解：设t时刻对应的含盐量为y(t)，y(0)=50，（单位：g）在任意一段时间内，都有平衡式：容器内的盐的改变量=流进的盐量流出的盐量。在tt+t时间段考虑容器内含盐量变化情况：对应的盐的改变量=y=y(t+t)-y(t)；流进盐量流出盐量=3 t 2 3 t y(t)/100；所以 y=6-3 y(t)/100 t，y/t=6-3 y(t)/100，令t0，得微分方程 y=63y/100，且y(0)=50 利用分离变量法，可求出通解为 y=200 c e3t/100，由初始条件y(0)=50，代入得c=150，所以容器含盐量的变化规律为：y=200 150 e-3t/100，当t=30分钟，y(30)=139克。？上述过程中，为什么要令t0？,微元分析法的建模特点 在建立关于函数y=y(t)的微分方程时，常常让自变量在t,t+t的微小区间内活动（区间长度t也可记作dt，称为微元），而方程两端通常用来描述函数y从t t+t 的改变量：左=y=y(t+t)y(t)-函数增量 右=f(t,y(t)t-利用问题所涉及的相关知识，将函数值在t,t+t 内的改变量 用t的一次形式近似表示出来。则 y/t=f(t,y(t)，令t 0，得微分方程 d y/d t=f(t,y(t).,由于我们描述的函数常常以时间为自变量，因此，用微元分析法建立的微分方程的左端项d y/d t 的实际含义通常可理解为“速率”（即函数相对于时间的变化率），如：移动速率；温度的冷却速率；化学反应速率；繁殖速率等等。在这个意义上，微元分析法建立的微分方程又称“速率”方程。如上例中，可直接建立盐量改变的速率方程：左=盐量的变化速率=dy/dt；右=盐量的流入速率-流出速率 则有：y=6-3y/100。,一热水瓶内装有100摄氏度的热水，放在约20摄氏度的房间内，在24小时后，测得瓶内温度为50摄氏度。假定冷却的速率与温差成正比，试描述热水瓶温度的变化过程，并求出3小时后温度为多少？,热水的冷却过程,解：设t时刻热水瓶内对应的温度为y(t)，y(0)=100，（单位：摄氏度）由冷却定律，t 时刻的冷却速率和 当时热水瓶内温度与室内温度差成正比，设比例常数为k，则 dy/dt=k(y 20)易求得通解 y(t)=c e kt+20.由条件y(0)=100，得c=80，和y(24）=50，得k=-0.0409，所以y(t)=20+80 e-0.0409t.当t=3小时，y(3)=90.,y(t)=20+80 e-0.0409t,小时,摄氏度,湖水污染与净化 某工厂常年向一河流排污，该河流径直流过附近的一个很大湖泊，湖泊的容积q约为1015升，且湖泊的水位几乎终年保持不变。在给出合理的假设条件下，回答下列问题：（1）现环保部门在检测湖水质量时，发现湖水污染物的浓度p=0.03mol/升，并呈逐年上升趋势。而该工厂声称其每年向河流中排放污染物为m=1.01012mol/年，且开工至今以来从未改变，已知河流的流v为1.91014升/年。假设该声称属实，并且该河流为湖泊唯一水源，试推测该河流中还有其他未知污染源吗？（2）若该工厂是湖泊的唯一污染源，按环保要求，湖水的污染物浓度不得超过0.001mol/升，则关闭该工厂，通过自然净化，至少需要多少年湖水才可能达到环保要求？,模型的建立假设：(i)流经湖泊的河流只有一条，湖水的水位终年不变，且不考虑蒸发、渗漏等因素，即流入水速和流出水速大致相等。(iii)污染物易溶于水，且流入湖后，与湖水混合均匀所需的时间较短，本模型忽略不计。记号：q-湖泊容积；v-河水流速；p-环保部门测定的污染物浓度；,m-工厂排污的速率；M-向湖泊排污的速率,包括工厂排污和其它排污(若有的话).设t时刻对应的污染物为y(t)，记环保部门测定污染物浓度的时刻t=0，y(0)=p q(污染物含量单位：mol）则建立微分方程为d y/d t=Mv(y/q)且y(0)=p q.,模型求解并分析求解微分方程可简化为d y/d t=M k y，且y(0)=y0.其中k=v/q；y0=p q.利用变量分离法，可求得通解 y(t)=M/k c ekt，由初始条件y(0)=y0，代入 c=M/k-p q,所以湖水的污染物含量为y(t)=M/k（M/k-p q）ekt.问题1的回答 假定没有其它污染源，且工厂的声明属实，M=m.代入m,v,q,p的具体数值，得y(t)=5.31012+2.51013 e0.19t 其函数图象如右，,很显然，湖中污染物的含量将呈逐年下降的趋势，这与环保部门监测结果矛盾。所以，没有其它污染源和工厂的声明属实的假定，二者至少有一不真。若工厂的声明属实，则有其它污染源。,问题2的回答若已知该工厂是湖泊的唯一污染源，则其声称有假。为了达到湖水的污染物浓度不得超过0.01mol/升，则关闭该工厂对湖水进行自然净化。,下面我们描述在自然净化的情况下，湖水污染物含量y(t).即上述模型中，M=0的情形，方程变为:d y/d t=k y，且y(0)=pq.其解为：y(t)=p q ekt，即y(t)=31013 e0.19t.要达到环保部门要求，31013 e0.19t/1015 0.001解不等式：t18年.可见污染容易，净化较难。(左图为浓度变化曲线),年份,浓度,p(t)=0.03 e0.19t.,化学反应动力学模型 在化学反应过程中，通常存在各化学成份的质的变化和量的变化。一般化学学科着重研究各化学成份性质的变化规律；而化学动力学则侧重于研究各化学成份数量的变化过程。一个非常有效的手段就是建立该化学反应的微分方程，其中涉及到化学反应的速率问题，不难理解：参加化学反应的各物质浓度越大，反应速度将越快。常见的如正比速度化学反应模型（即假定化学反应速度与各反应物的浓度成正比）1.一级反应 由一分子反应物A生成一分子产物 p 的反应：Ap.设t时刻A的浓度为y(t)，由正比速度反应的假定，其方程为 d y/d t=k x，x(0)=x0(初始浓度）。其解为：x(t)=x0 ekt。其中k称作反应速度常数，它决定各反应速度的快慢，是化学动力学研究的重要参数。,2.二级反应 由两分子反应物A、B生成一分子产物 p 的反应：A+B p.设t时刻 A和B 的浓度分别为x(t)、y(t)，由正比速度反应的假定，可建立关于函数x(t)、y(t)的微分方程组：d x/d t=k x y，x(0)=x0 dy/dt=k x y，y(0)=y0 其解的 性态应不难讨论（略）.特别地，A与B相同时，其反应式：2A p.设t时刻 A的浓度分别为y(t)，满足：dy/dt=k y2，y(0)=y0，其解为：y(t)=y0/(1+k y0 t).多级反应，以此类推。,3.零级反应若化学反应速度与反应物的浓度无关，即以恒速进行。当反应物的浓度很大时，通常会出现零级反应，其反应物的浓度y(t)的微分方程为：d y/dt=k，y(0)=y0.其解为：y(t)=y0kt。经过一段时间，随着浓度减小，零级反应会变成一级或多级反应。注：化学反应速度也可用反应物浓度变化来刻划。,问 题 讨 论 在一容器内进行酸碱中和反应（或其它化学反应）NaOH+HCl=NaCl+H2O 利用上面介绍的原理和建模方法，在合理的假设条件下，请你设计一套可行的试验方案，来描述各化学成份数量随时间的变化过程，并给出该试验条件下，其化学反应速度系数 k计算方法。若有试验条件，试验证你的结论。,