阶常系数线性微分方程、欧拉方程.ppt

6.6 二阶常系数线性微分方程与Euler方程,在二阶线性微分方程,非齐次线性微分方程。而称方程,（6.49）,则称（6.49）为二阶常系数,（6.50）,为与方程（6.49）对应的齐次线性微分方程。,6.6.1 二阶常系数齐次线性微分方程,形如,的方程，称为二阶常系数齐线性微分方程，,即,二阶常系数齐线性微分方程,的特征方程为,是方程(1)的两个线性无关的解，故方程(1)的通解为,二阶常系数齐线性微分方程,的特征方程为,由求根公式,由刘维尔公式求另一个解：,于是，当特征方程有重实根时，方程(1)的通解为,二阶常系数齐线性微分方程,的特征方程为,3)特征方程有一对共轭复根：,是方程(1)的两个线性无关的解，其通解为,由线性方程解的性质：,均为方程(1)的解，且它们是线性无关的：,故当特征方程有一对共轭复根,时，原方程的通解可表示为,二阶常系数齐线性微分方程,特征方程,特 征 根,通 解 形 式,解,解,解,故所求特解为,解,（略）,解,取 x 轴如如图所示。,由力学的虎克定理，有,（恢复力与运动方向相反）,由牛顿第二定律，得,记拉长后，突然放手的时刻为,我们要找的规律是下列初值问题的解：,从而，所求运动规律为,n 阶常系数齐线性微分方程,形如,的方程，称为 n 阶常系数齐线性微分方程，,n 阶常系数齐线性微分方程的特征方程为,特 征 根,通 解 中 的 对 应 项,解,例6.50,求下列方程的通解：,解,故原方程的通解为,故原方程的通解为,二阶常系数非齐线性微分方程,形如,的方程，称为二阶常系数非齐线性微分方程，,它对应的齐方程为,我们只讨论函数 f(x)的几种简单情形下，(2)的特解。,方程(2)对应的齐方程(1)的特征方程及特征根为,单根,二重根,一对共轭复根,假设方程,有下列形式的特解：,则,代入方程(2)，得,即,由方程(3)及多项式求导的特点可知，应有,方程(2)有下列形式的特解:,由多项式求导的特点可知，应有,方程(2)有下列形式的特解:,由多项式求导的特点可知，应有,方程(2)有下列形式的特解:,当二阶常系数非齐线性方程,它有下列形式的特解：,其中：,解,对应的齐方程的特征方程为,特征根为,对应的齐方程的通解为,将它代入原方程，得,比较两边同类项的系数，得,故原方程有一特解为,综上所述，原方程的通解为,解,对应的齐方程的特征方程为,特征根为,对应的齐方程的通解为,将它代入原方程，得,上式即,故原方程有一特解为,综上所述，原方程的通解为,解,综上所述，原方程的通解为,例6.54,解,代入原方程得,所以,故原方程的通解为,例6.55,解,根据定理6.7（P315），原方程的特解由,代入原方程得,故原方程的特解为,故原方程的通解为,例6.56,解,代入原方程得,于是,故原方程的通解为,故原方程满足初始条件的特解为,解,代入上述方程，得,从而，原方程有一特解为,解,代入上述方程，得,比较系数，得,从而，原方程有一特解为,故,解,由上面两个例题立即可得,解,对应的齐次方程的通解为,将它代入此方程中，得,从而，原方程有一特解为,故原方程的通解为,例6.59,解,原方程可化为,两端对x 求导得,整理得,两端再对x 求导得,此为常系数线性微分方程，其对应的齐次方程为,特征方程为,故齐次方程通解为,故，自由项为,1 时原方程的特解可设为,代入原方程得,由此得,注意到由方程（5-69）、（5-70）有,所以有,解之得,5.5.3 欧拉方程（略）,形如,的方程，称为 n 阶欧拉方程，其中,关于变量 t 的常系数线性微分方程。,引入算子记号：,由数学归纳法可以证明：,解,这是三阶欧拉方程，,作代数运算后，得,即,这是一个三阶常系数线性非齐微分方程，且,方程(1)对应的齐方程的通解为,为方程(1)特解形式，代入方程(1)中，得,从而,故原欧拉方程的通解为,