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第五章 线性系统的频域分析法,第五章,一、频率特性,1、频率特性,考察一个系统的好坏，通常用阶跃信号输入下系统的阶跃响应来分析系统的动态性能和稳态性能。,有时也用正弦信号输入时系统的响应来分析，但这种响应并不是单看某一个频率的正弦信号输入时的瞬态响应，而是考察频率由低到高无数个正弦信号输入下所对应的每个输出的稳态响应。因此，这种响应也叫频率响应。,频率响应的概念,【问题】：对于线性定常系统，输入是正弦信号，输出信号的稳态值？,在正弦信号作用下，系统响应特性,在不同频率正弦信号作用下，系统响应特性,频率特性的概念：,线性定常系统，当输入为正弦信号时，其输出的稳态分量一定是同频率的正弦信号。当然，正弦信号的幅值和相位会有所不同，且幅值比与相位差均是频率的函数。,定义：对于线性定常系统，在正弦信号的作用下，输出的稳态分量与输入的复数比，称为系统的频率特性。,讨论正弦信号作用下系统响应的一般规律。先看一个熟悉的例子：,请注意输入输出信号之间幅值与相位的关系，并将之与传递函数对照。,不难发现：输出的稳态信号与输入信号相比,传递函数：,输入：,输出的稳态：,问题：这一结论是巧合还是必然？结论是肯定的,另一方面，令传递函数中 则,幅值比（放大倍数）,相位差（超前角）,证明：设稳定线性定常系统的传递函数 当系统输入为谐波信号 即 系统输出的拉氏变换为 其中sk(k=3,4,)的实部为负数，且：因为系统稳定，输出响应稳态分量为,证明（去掉中间过程）：设稳定线性定常系统的传递函数为 当系统输入为谐波信号 系统输出响应稳态分量为 两相对照立即可得于是，依定义，系统的频率特性是这就是要证的结论,频率特性的傅氏定义:,稳定系统的频率特性等于输出和输入的傅氏变换之比。,【性质】,G(j)是G(s)中令s=j所得的复向量；,频率特性也是一种数学模型；,频率特性的三种表示方法：指数形式、三角式、代数式,U()G(j)的实部，实频特性V()G(j)的虚部，虚频特性,频率特性物理意义明确,在工程应用中很广泛。获 取方便：试验方法。,频率特性是从正弦的稳态相应求出的，但表示的是系统的动态特性。频率特性是指 时的频率响应，在某一频率下的响应不能表示系统的动态特性。从稳态响应测频率特性，给试验获取频率特性提供了方便，但不稳定系统频率特性是观察不到的。,微分方程、传递函数、脉冲响应函数和频率特性之间的关系如下：,结论：当传递函数中的复变量s用jw 代替时，传递函数就转变为频率特性。反之亦然。,例子：设传递函数为：,微分方程为：,频率特性为：,频率特性可以写成复数形式：，也可以写成指数形式：。其中，为实频特性，为虚频特性；为幅频特性，为相频特性。,在控制工程中，频率分析法常常是用图解法进行分析和设计的，因此有必要介绍常用的频率特性的四种图解表示。,幅频特性、相频特性曲线 极坐标频率特性曲线（又称奈魁斯特Nyquist曲线）对数频率特性曲线（又称波德Bode图）对数幅相特性曲线（又称尼柯尔斯Nichols图）,2、频率特性的几何表示法,1）幅频特性、相频特性曲线,2）极坐标频率特性曲线（又称奈魁斯特曲线）,它是在复平面上用一条曲线表示 由 时的频率特性。即用矢量 的端点轨迹形成的图形。是参变量。在曲线的上的任意一点可以确定实频、虚频、幅频和相频特性。,极坐标图是以开环频率特性的实部为直角坐标横坐标，以其虚部为纵坐标，以w为参变量画出幅值与相位之间的关系。,根据频率特性和传递函数的关系，可知：频率特性曲线是S平面上变量s沿正虚轴变化时在G(s)平面上的映射。,由于幅频特性是w的偶函数，而相频特性是w的奇函数，所以当w从0 的频率特性曲线和w从0的频率特性曲线是对称于实轴的。,极坐标图的优点是可在一张图上绘出整个频率域的频率响应特性；缺点是不能明显地表示出开环传递函数中每个典型环节的作用。,3）对数频率特性曲线（波德图，Bode图）,Bode图由对数幅频特性和对数相频特性两条曲线组成。,波德图坐标(横坐标是频率，纵坐标是幅值和相角)的分度：,横坐标(称为频率轴)分度：它是以频率w 的对数值 logw 进行线性分度的。但为了便于观察仍标以w 的值，因此对w 而言是非线性刻度。w 每变化十倍，横坐标变化一个单位长度，称为十倍频程(或十倍频)，用dec表示。类似地，频率w 的数值变化一倍，横坐标就变化0.301单位长度，称为“倍频程”，用oct表示。如下图所示：,由于w 以对数分度，所以零频率点在处。,更详细的刻度如下图所示,纵坐标分度：对数幅频特性曲线的纵坐标以 L(w)=20logA(w)表示。其单位为分贝(dB)。直接将 20logA(w)值标注在纵坐标上。,相频特性曲线的纵坐标以度或弧度为单位进行线性分度。,一般将幅频特性和相频特性画在一张图上，使用同一个横坐标（频率轴）。,当幅制特性值用分贝值表示时，通常将它称为增益。幅值和增益的关系为：增益=20log(幅值),使用对数坐标图的优点,可以展宽频带；频率是以10倍频表示的，因此可以清楚的表示出低频、中频和高频段的幅频和相频特性。可以将乘法运算转化为加法运算。,所有的典型环节的频率特性都可以用分段直线(渐近线)近似表示。对实验所得的频率特性用对数坐标表示，并用分段直线近似的方法，可以很容易的写出它的频率特性表达式。,RC网络中取，其对数频率特性曲线如图所示。,一阶RC网络的伯德图,4）对数幅相特性曲线（又称尼柯尔斯图）,尼柯尔斯图是将对数幅频特性和相频特性两条曲线合并成一条曲线。横坐标为相角特性，单位度或弧度。纵坐标为对数幅频特性，单位分贝。横、纵坐标都是线性分度。,二、典型环节与开环系统 频率特性,典型环节,惯性环节：1/(Ts+1)，式中T0 一阶微分环节：(Ts+1)，式中T0,振荡环节：1/(s/n)2+2s/n+1;式中n0，01,比例环节：K（K0）积分环节：1/s纯微分环节：s,二阶微分环节：(s/n)2+2s/n+1;式中n0，01,最小相位环节：零、极点在源点或S平面左半平面,最小相位系统非与最小相位系统,最小相位传递函数,非最小相位传递函数,在右半s平面内既无极点也无零点的传递函数,在右半s平面内有极点和（或）零点的传递函数,最小相位系统,非最小相位系统,具有最小相位传递函数的系统,具有非最小相位传递函数的系统,非最小相位环节,比例环节：K（K0 一阶微分环节：(-Ts+1)，式中T0振荡环节：1/(s/n)2-2s/n+1;式中n0，00，01延迟环节：,K,1）比例环节：,1、典型环节的极坐标图,比例环节的极坐标图为实轴上的K点。,频率特性：,2）积分环节的频率特性：,积分环节的极坐标图为负虚轴。频率w从0+特性曲线由虚轴的趋向原点。,若考虑负频率部分，当频率w从 0，特性曲线由虚轴的原点趋向+。,3）惯性环节的频率特性：,极坐标图是一个圆，对称于实轴。证明如下：,整理得：,下半个圆对应于正频率部分，而上半个圆对应于负频率部分。,实频、虚频、幅频和相频特性分别为：,讨论 时的情况。当K=1时，频率特性为：,4）振荡环节的频率特性：,当 时，曲线在3，4象限；当 时，与之对称于实轴。,实际曲线还与阻尼系数有关。,由图可见无论是欠阻尼还是过阻尼系统，其图形的基本形状是相同的。,当 时，有谐振峰值。,微分环节有三种：纯微分、一阶微分和二阶微分。传递函数分别为：,频率特性分别为：,5）微分环节的频率特性：,纯微分环节：,微分环节的极坐标图为正虚轴。频率w从0特性曲线由原点趋向虚轴的+。,一阶微分：,一阶微分环节的极坐标图为平行于虚轴的直线。频率w从0特性曲线相当于纯微分环节的特性曲线向右平移一个单位。,二阶微分环节：,幅频和相频特性为：,极坐标图是一个圆心在原点，半径为1的圆。,6）延迟环节的频率特性：,传递函数：,频率特性：,幅频特性：,相频特性：,2、开环系统极坐标频率特性的绘制（绘制奈氏图）,设系统开环传递函数由若干典型环节串联,开环频率特性,系统开环幅频和相频分别为,系统的开环极坐标图是当 从 变化，频率特性 向量端点的运行轨迹。绘制极坐标图当然可以选一些频率点，逐点计算 的幅值和相角，然后用光滑曲线连接起来，然而，这样作极坐标图非常麻烦，且没有必要，事实上，只需要作概略图即可。,作极坐标概略图的基本方法步骤：,1）确定起始点 和终止点；,极坐标图与负实轴的交点至关重要，与虚轴和正实轴的交点则不那么重要，甚至可以不求。,2）确定极坐标图与实轴和虚轴的交点；,3）确定角度变化范围。,例1:系统的开环传递函数为：要求绘制它的幅相曲线。,解：系统的开环频率特性为：,开环幅相曲线的终点为:,1）开环幅相曲线的起点为：,2）与实轴交点，令虚部等于零得到：,与虚轴交点，令实部等于零得到：,3）确定角度变化范围：,解：系统的开环频率特性为：,开环幅相曲线的终点为:,1）开环幅相曲线的起点为：,例:2 某零型控制系统，开环传递函数为：试概略绘制系统开环幅相图。,2）与实轴交点，令虚部等于零得到：,与虚轴交点，令实部等于零得到：,3）确定角度变化范围：,例3：某单位反馈系统，其开环传递函数为：试概略绘制系统的开环幅相曲线。,解：系统的开环频率特性为：,开环幅相曲线的终点为:,1）开环幅相曲线的起点为：,2）与实轴交点，令虚部等于零得到：,3）确定角度变化范围：,例4：系统的开环传递函数为：要求绘制它的幅相曲线。,解：系统的开环频率特性为：,开环幅相曲线的终点为:,1）开环幅相曲线的起点为：,2）与实轴的交点：,变化范围：,开环幅相曲线位于第象限或第与第象限。,开环幅相曲线位于第与第象限。,3）确定角度 变化范围：,对数幅频特性：,相频特性：,3、典型环节的波德图,频率特性：,可见斜率为20dB/dec,2）积分环节的频率特性：,对数幅频特性：，为了图示简单，采用分段直线近似表示。方法如下：,低频段：当 时，称为低频渐近线。,高频段：当 时，称为高频渐近线。这是一条斜率为-20dB/Dec的直线（表示 每增加10倍频程下降20分贝）。,当 时，对数幅频曲线趋近于低频渐近线，当 时，趋近于高频渐近线。,低频高频渐近线的交点为：，得：，称为转折频率或交换频率。,可以用这两段渐近线近似的表示惯性环节的对数幅频特性。,3）惯性环节的频率特性：,图中，红、绿线分别是低频、高频渐近线，蓝线是实际曲线。,波德图误差分析（实际频率特性和渐近线之间的误差）：,当 时，误差为：,当 时，误差为：,最大误差发生在 处，为,相频特性：,作图时先计算几个特殊点：,由图不难看出相频特性曲线在半对数坐标系中对于(w0,45)点是斜对称的，这是对数相频特性的一个特点。,当时间常数T 变化时，对数幅频特性和对数相频特性的形状都不变，仅仅是根据转折频率1/T 的大小整条曲线向左或向右平移即可。而当增益改变时，相频特性不变，幅频特性上下平移。,4）振荡环节的频率特性：,讨论 时的情况。频率特性为：,幅频特性为：,相频特性为：,对数幅频特性为：,低频段渐近线：,高频段渐近线：,两渐近线的交点 称为转折频率。ww0后斜率为-40dB/Dec。,由图可见：对数幅频特性曲线有峰值。,对 求导并令等于零，可解得 的极值对应的频率。,该频率称为谐振峰值频率。可见，谐振峰值频率与阻尼系数z有关，当 时，；当 时，无谐振峰值；当 时，有谐振峰值。,当，。,因此在转折频率附近的渐近线依不同阻尼系数与实际曲线可能有很大的误差。,由幅频特性,幅值 与 的关系：,左图是不同阻尼系数情况下的对数幅频特性和对数相频特性图。上图是不同阻尼系数情况下的对数幅频特性实际曲线与渐近线之间的误差曲线。,当0.3z0.8，误差约为4dB,相频特性：,几个特征点：,相频特性曲线在半对数坐标中关于(w0,90)点是斜对称的。,这里要说明的是当 时，,当 时，。此时若根据相频特性的表达式用计算器来计算只能求出90之间的值(tg-1函数的主值范围)，也就是说当 时，用计算器计算的结果要经过转换才能得到。即当 时，用计算器计算的结果要减180才能得到。或用下式计算,5）微分环节的频率特性：,微分环节有三种：纯微分、一阶微分和二阶微分。传递函数分别为：,频率特性分别为：,纯微分：,一阶微分：,这是斜率为+20dB/Dec的直线。低、高频渐近线的交点为,相频特性：几个特殊点如下,相角的变化范围从0到。,一阶微分环节的波德图,惯性环节的波德图,幅频和相频特性为：,二阶微分环节：,低频渐近线：,高频渐近线：,转折频率为：，高频段的斜率+40dB/Dec。,6）延迟环节的频率特性：,传递函数：,频率特性：,幅频特性：,相频特性：,对数幅频特性：,4、开环系统对数坐标频率特性的绘制（绘制波德图）,开环系统频率特性为：（写成时间常数形式）,幅频特性：,相频特性：,由以上的分析可得到开环系统对数频率特性曲线的绘制方法：先画出每一个典型环节的波德图，然后各图相加。,例：开环系统传递函数为：，试画出该系统的波德图。,解：该系统由四个典型环节组成。一个比例环节，一个积分环 节两个惯性环节。手工将它们分别画在一张图上。,然后，在图上相加。,实际上，画波德图不用如此麻烦。注意到：幅频曲线由 折线（渐进线）组成，在转折频率处改变斜率。,确定 和各转折频率，并将这些频率按小大顺序依次标注在频率轴上；,确定低频渐进线：，就是第一条折线，其斜率为，过点（1，20logk）。实际上是k和积分 的曲线。,具体步骤如下：,将频率特性写为时间常数形式。,高频渐进线的斜率为：-20(n-m)dB/dec。,相频特性还是需要点点相加，才可画出。,2、低频渐进线：斜率为，过点（1，20）,3、波德图如下：,红线为渐进线，兰线为实际曲线。,解：1、,2、低频渐进线斜率为，过（1，-60）点。,4、画出波德图如下页：,3、高频渐进线斜率为：,红线为渐进线，兰线为实际曲线。,例 具有延迟环节的开环频率特性为：，试画出波德图。,解：,可见，加入了延迟环节的系统其幅频特性不变，相位特性滞后了。,例 已知，画出其对数坐标图。,解：将传函写成时间常数形式,这可以看作是由五个典型环节构成的,求 20lgK=20dB,注意转折频率是时间常数的倒数,列表,w,w,L(w),j(w),200,相频特性,最小相角系统的幅频特性和相频特性一一对应，只要根据其对数幅频曲线就能写出系统的传递函数。如：,最小相位系统对数幅频渐近特性如图所示，请确定系统的传递函数。,解：由图知在低频段渐近线斜率为0，故系统为0型系统。渐近特性为分段线性函数，在各交接频率处，渐近特性斜率发生变化。在=0.1处，斜率从0 dB/dec变为20dB/dec，属于一阶微分环节。在=1处，斜率从20 dB/dec 变为0 dB/dec，属于惯性环节。在=2处，斜率从0 dB/dec变为20 dB/dec，属于惯性环节。在=3处，斜率从20 dB/dec变为40 dB/dec，属于惯性环节。在=4处，斜率从40 dB/dec变为60 dB/dec，属于惯性环节。,因此系统的传递函数具有下述形式,式中K，1，2，3，4待定。由20lgK=30得K=31.62。确定1：,确定4：,4=82.54,确定2：,于是，所求的传递函数为,1=0.316,确定3：,3=34.81,2=3.481,三、频域稳定判据,1、引言,闭环稳定性,劳斯判据,稳定程度？,奈氏判据,用开环频率特性 判断闭环稳定,稳定度动态性能,奈魁斯特稳定判据是用开环频率特性判别闭环系统的稳定性。不仅能判断系统的绝对稳定性，而且可根据相对稳定的概念，讨论闭环系统的瞬态性能，指出改善系统性能的途径。,设 F(s)为单值连续的复变函数,幅角原理,F(s)曲线从B点开始，绕原点顺时针方向转了一圈。,F(s),B,在 s 平面上任选一点 A 通过映射F(s)平面上F(A)。设s只包围zi，不包围也不通过任何极点和其他零点。从A点出发顺时针转一周回到A,S平面封闭曲线顺时针包围F(s)个极点 F(s)平面F(s)曲线逆时针围绕原点转 周,S平面封闭曲线顺时针包围F(s)个零点 F(s)平面 F(s)曲线顺时针围绕原点转 周,一,一,n,n,S平面曲线顺时针包围F(s)P个极点,Z个零点，F(s)平面F(s)曲线逆时针围绕原点的周数 N=P-Z,一,一,n,n,映射定理,当复变量s沿封闭曲线顺时针移动一周，在F(s)平面上的映射曲线逆时针包围坐标 原点 P-Z 周。,设F(s)是复变量s的一个单值解析函数，s平面上的封闭曲线包围了F(s)的P个极点和Z个零点，且此曲线不经过F(s)的任一零点和极点。,闭环极点与开环极点的关系,设负反馈系统的开环传递函数为：，其中：为前向通道传递函数，为反馈通道传递函数。,闭环传递函数为：，如下图所示：,令：,显然，辅助方程即是闭环特征方程。其阶数为n阶，且分子分母同阶。则辅助方程可写成以下形式：,。式中，为F(s)的零、极点。,由(a)、(b)及(c)式可以看出：F(s)的极点为开环传递函数的极点；F(s)的零点为闭环传递函数的极点。,建立了系统的开环极点和闭环极点与F(s)的零极点之间的直接联系,2、奈魁斯特稳定判据,对于一个控制系统，若其特征根处于s右半平面，则系统是不稳定的。对于上面讨论的辅助方程，其零点恰好是闭环系统的极点。因此，只要搞清F(s)的的零点在s右半平面的个数，就可以给出稳定性结论。如果F(s)的右半零点个数为零，则闭环系统是稳定的。,我们这里是应用开环频率特性研究闭环系统的稳定性，因此开环频率特性是已知的，辅助方程也已知。设想：如果有一个s平面的封闭曲线能包围整个s右半平面，则根据柯西幅角原理知：该封闭曲线在F(s)平面上的映射包围原点的次数应为：N=F(s)的右半极点数F(s)的右半零点数=开环系统右半极点数闭环系统右半极点数,当已知开环右半极点数时，便可由N判断闭环右极点数,1）G(s)H(s)在虚轴上没有零、极点的情况,闭环系统稳定,按顺时针方向做一条曲线 包围整个s右半平面，这条封闭曲线称为奈奎斯特路径。如下图所示，分为三部分：,正虚轴：,GH即Nyquist图,负虚轴：,该段GH与Nyquist图关于实轴对称,右半平面上半径为无穷大的半圆：,负号表示顺时针。,当 时，GH映射为一点（不用单独画出）,奈奎斯特稳定判据（Nyquist）,1）系统稳定 当s沿s顺时针旋转一圈时，s在GH平面上的映射曲线GH（当）不经过（-1，j0）点，且GH绕（-1，j0）点逆时针旋转的圈数R等于系统在S右半平面内的开环极点个数P。,2）当系统不稳定时，右半平面的闭环极点个数为Z=P-R。,例开环传递函数为：，试用奈氏判据判断闭环系统的稳定性。,解：开环系统的奈氏图如右。在s右半平面的极点数为0，绕(-1,j0)点的圈数N=0，则闭环系统在s右半平面的个数：。故闭环系统是稳定的。,作为对比可求出闭环传递函数特征方程为：,由劳斯赫尔维茨判据知闭环系统是稳定的。,例设开环系统传递函数为：，试用奈氏判据判断闭环系统的稳定性。,解：开环极点为-1,-1 j2，都在s左半平面，所以。奈氏图如右。从图中可以看出：奈氏图顺时针围绕(-1,j0)点2圈。所以闭环系统在s右半极点数为：所以闭环系统是不稳定的。,例设开环系统传递函数为：，试用奈氏稳定性判据确定闭环系统稳定时k的取值范围。,解：,与实轴的交点,当K=52时，开环极点为1，1j2，都在s左半平面，所以P=0。奈氏图如右。从图中可以看出：奈氏图顺时针围绕(1，j0)点2圈。所以闭环系统在s右半极点数为：Z=N+P=2，闭环系统是不稳定的。,若要系统稳定，则：,即K 16时，奈氏图不围绕(1，j0)点。,当K 1，则要求K 5。,于是系统稳定的条件为5 K 16。,上述结论同样可由劳思赫尔维茨判据得到。,劳斯阵：,要使系统稳定，则第一列都大于0,于是得：5 K 16。,解：系统的频率特性如下：,解：开环系统奈氏图是一个半径为k/2，圆心在(k/2,0)的圆。显然，k=1时，包围(-1,j0)点，k1时不包围(-1,j0)点。,由图中看出：当k1时，奈氏曲线逆时针包围(-1,j0)点一圈，N=-1，而，则 闭环系统是稳定的。,当K=1时，奈氏曲线通过(1，j0)点，属临界稳定状态。,当K1时，奈氏曲线不包围(1，j0)点，N=0，P=1，所以Z=N+P=1，闭环系统不稳定。,2）G(s)H(s)在虚轴上有积分环节的情况,从Nyquist曲线起点处逆时针补画一个四分之一圆弧,从Nyquist曲线起点处逆时针补画两个四分之一圆弧,例设型系统的开环频率特性如下图所示。开环系统在s右半平面没有极点，试用奈氏判据判断闭环系统稳定性。,解：显然这是型系统。先根据奈氏路径画出完整的映射曲线。,从图上看出：映射曲线顺时针包围(-1,j0)一圈，逆时针包围(-1,j0)一圈，所以N=1-1=0，而，故，闭环系统是稳定的。,例某型系统的开环频率特性如下图所示，且s右半平面无极点，试用奈氏判据判断闭环系统稳定性。,解：首先画出完整的奈氏曲线的映射曲线。如右图：,从图上可以看出：映射曲线顺时针包围(-1,j0)两圈。因，所以，闭环系统是不稳定的。,奈奎斯特稳定判据的应用步骤,确定开环右极点数P；画出开环系统奈奎斯特图（包括正负频率及s平面中 特定路径在Gk(s)平面的映射）；确定N；计算Z=P-N，当Z=0时闭环系统稳定，当Z0时闭环 系统不稳定，当Z0时计算有误。,Nyquist判据的另一种形式,四、在对数坐标图上判断系统的稳定性：,开环系统的极坐标图（奈氏图）和对数坐标图（波德图）有如下的对应关系：1、奈氏图上单位圆对应于对数坐标图上的零分贝线；。2、奈氏图上的负实轴对应于对数坐标图上的-180度相位线。,奈氏图频率特性曲线在 上的正负穿越在对数坐标图上的对应关系：在对数坐标图上 的范围内，当 增加时，相频特性曲线从下向上穿过-180度相位线称为正穿越。因为相角值增加了。反之称为负穿越。,对照图如下：,对数坐标图上奈氏稳定判据如下：,设开环频率特性 在s右半平面的极点数为P，则闭环系统稳定的充要条件是：对数坐标图上幅频特性 的所有频段内，当频率增加时，对数相频特性对-180度线的正负穿越次数差为P/2。闭环系统右半s极点数为：，式中 为正负穿越次数差。若Z=0，闭环系统稳定；若Z0，闭环系统不稳定。,5.4 频域稳定裕度,当频率特性曲线穿过(-1,j0)点时，系统处于临界稳定状态。这时：。对于最小相位系统，可以用 和 来表示频率特性曲线接近(-1,j0)点的程度，或称为稳定裕度。稳定裕度越大，稳定性越好。,稳定裕度的定义,稳定裕度的定义,幅值裕度,相角裕度,显然，当 时，即 和 时，闭环系统是稳定的；否则是不稳定的。对于最小相位系统，和 是同时发生或同时不发生的，所以经常只用一种稳定裕度来表示系统的稳定裕度。常用相角裕度。,幅值稳定裕度物理意义：稳定系统在相角穿越频率处将幅值增加 倍（奈氏图）或增加 分贝（波德图），则系统处于临界状态。若增加的倍数大于 倍（或 分贝），则系统变为不稳定。,比如，若增加开环放大系数K，则对数幅频特性曲线将上升，而相角特性曲线不变。可见，开环放大系数太大，容易引起系统的不稳定。,相位稳定裕度的物理意义：稳定系统在幅值穿越频率 处将相角减小 度，则系统变为临界稳定；再减小，就会变为不稳定。,解：相位稳定裕度和幅值裕度可以很容易地从波德图中求得。,当k=10时，开环系统波德图如右所示。这时系统的相位稳定裕度和幅值裕度大约是8dB和21度。因此系统在不稳定之前，增益可以增加8dB.,精确值：g=25.389,相位裕度和幅值裕度的计算：,相位裕度：先求穿越频率,在穿越频率处，所以，解此方程较困难，可采用近似解法。由于 较小（小于2），所以：,精确值：wc=1.227,幅值裕度：先求相角穿越频率,相角穿越频率处 的相角为：,得：,所以，幅值裕度为：,当增益从k=10增大到k=100时，幅值特性曲线上移20dB，相位特性曲线不变。这时系统的相位稳定裕度和幅值裕度分别是-12dB和-30度。因此系统在k=10时是稳定的，在k=100时是不稳定的。,解：当k=10时，开环传递函数为：,手工绘制波德图步骤：1、确定转折频率：10、40，在(1,20log200)点画斜率为-20的斜线至；2、在 之间画斜率为-40的斜线；3、后画斜率为-60的斜线。,上图蓝线为原始波德图。，显然 闭环系统是不稳定的。为了使相位稳定裕度达到30度，可将幅频曲线向下平移。即将开环放大系数减小，这时相频特性不变。截止频率左移至，移到哪里？,所以当开环放大系数下降到15时，闭环系统的相位稳定裕度是30度，这时的幅频稳定裕度为：由图中看出，所以,设新的开环放大系数为，原始的开环放大系数为k=200，则有（讨论 时较明显）。解得：,稳定裕度概念使用时应注意：1、在高阶系统中，奈氏图中幅值为的点或相角为-180度的点可能不止一个，这时使用幅值和相位稳定裕度可能会出现歧义；2、非最小相位系统也可以使用稳定裕度的定义，但其幅值裕度和相角裕度有时符号相反。据此判断系统的稳定性时，应两者同为正系统方稳定；3、有时幅值和相位稳定裕度都满足，但仍有部分曲线很靠近(-1,j0)点，这时闭环系统的稳定性依然不好。见下图：,作业：5-13,5-14。5-12,5-16（选做）,【例】已知单位反馈系统的开环传递函数是,求增益裕度和相角裕度。,解：（1）计算增益裕度，写出系统的频率特性,Nyquist曲线在g处穿过负实轴，此时频率特性为纯实数，G()虚部为零。,解得,增益裕度为,系统稳定,（2）计算相角裕度，,根据增益截止频率的定义,解之得,相角裕度为,