连续函数的运算与性质.ppt

高等数学,连续函数的运算与性质,2023/10/5,函数与极限,2/26,一、连续函数的和、差、积、商的 连续性,定理1,例如,2023/10/5,函数与极限,3/26,二、反函数与复合函数的连续性,定理2,例如,2023/10/5,函数与极限,4/26,定理3,证,反三角函数在其定义域内皆连续.,2023/10/5,函数与极限,5/26,将上两步合起来:,2023/10/5,函数与极限,6/26,意义,1.极限符号可以与函数符号互换;,例1,解,2023/10/5,函数与极限,7/26,例2,解,同理可得,2023/10/5,函数与极限,8/26,定理4,注意定理4是定理3的特殊情况.,例如,2023/10/5,函数与极限,9/26,三、初等函数的连续性,三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.,2023/10/5,函数与极限,10/26,定理5 基本初等函数在定义域内是连续的.,(均在其定义域内连续),定理6 一切初等函数在其定义区间内都是连续的.,定义区间是指包含在定义域内的区间.,2023/10/5,函数与极限,11/26,初等函数仅在其定义区间内连续,在其定义域内不一定连续;,例如,这些孤立点的邻域内没有定义.,在0点的邻域内没有定义.,注意1,注意2 初等函数求极限的方法代入法.,2023/10/5,函数与极限,12/26,例3,例4,解,解,2023/10/5,函数与极限,13/26,四、最大值和最小值定理,定义,例如,函数在闭区间上连续的定义.,2023/10/5,函数与极限,14/26,定理7(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数 在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最 小值.,2023/10/5,函数与极限,15/26,注意:1.若区间是开区间,定理不一定成立;,2.若区间内有间断点,定理不一定成立.,2023/10/5,函数与极限,16/26,五、介值定理,定义,2023/10/5,函数与极限,17/26,几何解释:,2023/10/5,函数与极限,18/26,几何解释:,证,由零点定理,2023/10/5,函数与极限,19/26,推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 与最小值 之间的任何值.,例5,证,由零点定理,2023/10/5,函数与极限,20/26,例6,证,由零点定理,2023/10/5,函数与极限,21/26,六、小结,1.连续函数的和差积商的连续性.,复合函数的连续性.,初等函数的连续性.,定义区间与定义域的区别;求极限的又一种方法.,两个定理;两点意义.,反函数的连续性.,有界性定理;最值定理;介值定理;根的存在性定理.,注意1闭区间；2连续函数 这两点不满足上述定理不一定成立,2.四个定理,2023/10/5,函数与极限,22/26,思考题,2023/10/5,函数与极限,23/26,思考题解答,是它的可去间断点,1.,2023/10/5,函数与极限,24/26,不正确.,例函数,2.,2023/10/5,函数与极限,25/26,思考题,2023/10/5,函数与极限,26/26,作业 P70 3,4,6 P75 9，10,