连续信号与系统的频域分析.ppt
第3章 连续信号与系统的频域分析,3.1 引言3.2 信号分解为正交函数组合3.3 周期信号的分解傅立叶级数3.4 非周期信号的分解傅里叶变换3.5 付里叶变换的性质3.6 傅里叶变换的应用,分析线性系统的基本任务在于求解系统对于输入信号的响应。在第2章里读者已经看到，连续信号可以表示为基本信号如阶跃函数或冲激函数的线性组合。在时域分析中，就是以冲激函数为基本信号，把任意信号分解为一系列加权的冲激信号之和，而系统的零状态响应是输入信号与冲激响应的卷积。基本信号的选择并不是唯一的，除单位冲激信号外，单位阶跃信号，单位三角函数 和，单位复指数信号 等都可作为基本信号。由于三角函数是单频信号，复指数信号据欧拉公式可表示为，也是单频的。因此若选择三角函数或指数函数作为基本信号，那就意味着把输入信号在频率域上进行分解。,3.1 引言,下一页,返回,利用这种方法来分析信号和系统，称为信号和系统的频域分析。频域分析法不但简化了对系统响应的求解，而且揭示了信号与系统的频域性质，为人们提供了在频域上进行分析、设计系统的另一途径。,3.1 引言,返回,上一页,1 函数（信号）正交定义式任意两个实函数 和，满足关系式则、在时间区间（）正交。若、是复函数，且满足关系式 则称、在时间区间（）正交。其中、分别是、的共轭函数。2.正交函数集实函数集合 中如果存在,3.2 信号分解为正交函数组合,下一页,返回,则称此实函数集合在区间（）的正交函数集合。如果K=1，称此实函数集合为归一化正交函数集合。复函数集合 如果是在区间 正交的，则应满足关系式3.完备正交函数集如果在正交实函数集 之外，不再存在函数x(t)，此函数符合且满足条件,3.2 信号分解为正交函数组合,下一页,返回,上一页,则称 为完备正交实函数集或闭合正交实函数集。一般完备正交函数集包含无穷多个函数。,3.2 信号分解为正交函数组合,返回,上一页,将任意周期信号在三角函数或复指数函数组成的完备正交函数集 或 分解而得到的级数统称为傅立叶级数3.3.1 三角函数形式的傅里叶级数 1一种三角函数形式的傅里叶级数设f(t)为任意周期信号(周期,角频率)则其可展开为三角函数形式的傅立叶级数,3.3 周期信号的分解傅立叶级数,下一页,返回,2另一种三角函数形式的傅里叶级数 f(t)展开为常用形式或3傅立叶级数存在的充分条件傅立叶级数存在的充分条件周期信号f(t)须满足“狄利赫利”条件，即1）一个周期内仅有有限个间断点；2）一个周期内仅有有限个极值；3）一个周期内绝对可积，即,3.3 周期信号的分解傅立叶级数,下一页,返回,上一页,4基波、谐波 通常把频率为 称为基波或一次谐波，或 称为基波分量。同理，频率 称为n次谐波其对应的 或 称为n次谐波波分量。5幅度谱、相位谱 用一些长度不同的线段来分别代表基波、二次谐波、三次谐波等等的振幅，然后将这些线段按照频率高低依次排列起来如图3-1所示，这种图就称为频谱图。图中每一条谱线代表一个谐波分量，谱线的高度代表这一正弦分量的振幅，谱线所在的横坐标的位置代表这一正弦分量的频率，这种频谱，因为它只表示出了各分量的振幅，所以称为振幅频谱。,3.3 周期信号的分解傅立叶级数,下一页,返回,上一页,有时把分量的相位的用一个个线段代表并且排列成谱状，这样的频谱就称为相位频谱。下面以周期矩形脉冲信号的频谱图为例说明。周期信号的特点，具有离散性、谐波性、收敛性.3.3.2 指数形式的傅里叶级数1指数形式的傅里叶级数设f(t)为任意周期信号（周期，角频率）则其可展开为指数形式的傅立叶级数。,3.3 周期信号的分解傅立叶级数,下一页,返回,上一页,2指数形式表示的信号频谱-复数频谱下面以周期性矩形脉冲的幅度频谱和相位频谱为例来看看它的特点。由于Fn一般是复函数，所以称这种频谱为复数频谱。3.3.3 三角函数形式的傅立叶级数与指数形式傅立叶级数的关系三角函数与虚指数函数有密切的关系，根据欧拉公式，有,3.3 周期信号的分解傅立叶级数,下一页,返回,上一页,故三角型傅立叶级数和指数型傅立叶级数实质上是同一种级数的两种不同的表现形式故3.3.4 函数的对称性与傅里叶系数的关系1函数的对称性要将信号f(t)展开为傅里叶级数，如果f(t)是实函数，且它波形满足某种对称性，则在其傅里叶级数中有些项为0，留下的各项系数的表示式也比较简单。,3.3 周期信号的分解傅立叶级数,下一页,返回,上一页,2傅里叶级数的系数求解1)偶函数信号(f(t)=f(-t)2）奇函数信号(f(t)=-f(-t)3）奇谐函数信号奇谐函数信号：若波形沿时间轴平移半个周期并相对于该轴上下反转，此时波形并不发生变化，即满足：,3.3 周期信号的分解傅立叶级数,下一页,返回,上一页,n为偶数 n为奇数其傅立叶级数三角展开式中仅含基波和奇次谐波。4）偶谐函数信号偶谐函数也是周期性函数，它的任意半个周期的波形与前半个周期的波形完全相同，这种函数中只包含偶次谐波分量。,3.3 周期信号的分解傅立叶级数,返回,上一页,3.4.1 从傅里叶级数到傅里叶变换上式方括号中的部分是参变量 的函数，记为，即代入上式这就是著名的傅里叶变换。常记作 3.4.2 频谱密度函数Fn是信号的频谱函数，则称为信号的频谱密度函数。,3.4 非周期信号的分解傅里叶变换,下一页,返回,3.4.3 傅里叶变换的存在性非周期信号f(t)是否存在傅立叶变换，仍应满足类似于傅立叶级数的狄里赫利条件，不同之处仅仅在于一个周期的范围为，即要求信号f(t)在区间绝对可积，则有3.4.4 常用信号的傅里叶变换1实指数函数的傅里叶变换 由定义式可算出 的频谱密度函数,3.4 非周期信号的分解傅里叶变换,下一页,返回,上一页,2双边指数信号的傅里叶变换 偶双边指数：其傅里叶变换为：,3.4 非周期信号的分解傅里叶变换,下一页,返回,上一页,3矩形脉冲信号的傅里叶变换 4符号函数的傅里叶变换 符号函数：因此它的傅立叶变换为,3.4 非周期信号的分解傅里叶变换,下一页,返回,上一页,5冲激函数的傅里叶变换 单位冲激函数 是一个实偶函数，其付氏变换也应该是一个实偶函数。6直流信号如图3-21所示，设f(t)=1的付氏变换为，则由其反变换定义式有 考虑到 是偶函数，则可得,3.4 非周期信号的分解傅里叶变换,下一页,返回,上一页,7虚指数函数虚指数函数 是具有虚指数 的无时限信号，由傅里叶变换定义式可知，8高斯脉冲高斯脉冲或称钟形脉冲它的表达式为其,3.4 非周期信号的分解傅里叶变换,下一页,返回,上一页,9阶跃信号单位阶跃信号 可用直流信号和符号函数表示如下由此可确定其频谱密度函数为,3.4 非周期信号的分解傅里叶变换,返回,上一页,3.5.1 线性性质若 则3.5.2 对称性若则3.5.3 尺度变换若 则,3.5 付里叶变换的性质,下一页,返回,3.5.4 时移性质若则3.5.5 频移性质若则3.5.6 卷积定理这个性质讨论两个信号在时域作卷积运算时在频域对应什么运算。反之，在频域作卷积运算会在时域对应什么运算。,3.5 付里叶变换的性质,下一页,返回,上一页,1时域卷积定理若则2频域卷积定理若则3.5.7 时域微、积分性质1时域微分若,3.5 付里叶变换的性质,下一页,返回,上一页,则推广至2时域积分若则3利用微、积分性质计算傅立叶变换设因此,3.5 付里叶变换的性质,下一页,返回,上一页,3.5.8 频域微分性质若则,3.5 付里叶变换的性质,返回,上一页,3.6.1 周期信号的傅里叶变换周期信号不满足绝对可积条件，但在允许冲激函数存在并认为它有意义的前提下，绝对可积条件就成为不必要的限制，也就有了周期信号的傅里叶变换。其目的是把周期信号与非周期信号的分析方法统一起来，使傅里叶变换得到广泛应用。1正弦、余弦周期信号的傅里叶变换 因为 又,3.6 傅里叶变换的应用,下一页,返回,余弦信号正弦信号2一般周期信号的傅里叶变换 令周期信号f(t)的周期为，角频率为，周期信号其中 3频率响应的求解方法设LTI系统的单位冲激响应为h(t)。当激励为x(t)时，系统的零状态响应为,3.6 傅里叶变换的应用,下一页,返回,上一页,若则根据时域卷积定理可得其中 为系统函数，或称系统频率响应。3.6.2 无失真传输及其条件1时域无失真传输的条件无失真传输是指线性系统输出响应y(t)的波形与输入激励x(t)的波形完全相同，其幅度大小可以不同，时间前后有所差异，即：,3.6 傅里叶变换的应用,下一页,返回,上一页,2频域无失真传输的条件对上式两边取傅里叶变换，并利用时移性质，可得 所以无失真传输系统的系统函数为：由此可得，系统无失真传输的条件为：,3.6 傅里叶变换的应用,下一页,返回,上一页,3.6.3 理想低通滤波器1理想低通滤波器的幅频性质理想低通滤波器的幅频性质是一个门函数，其相频性质与频率成正比。因此理想低通滤波器的频率性质函数可写为其中 称为滤波器的截止频率。在-的频带内输入信号顺利通过，称为滤波器的通带；在|的频率范围内，输入信号被完全滤除，称为滤波器的阻带。通常和阻带之间没有渐变的过渡带，而是突变的，,3.6 傅里叶变换的应用,下一页,返回,上一页,故称为理想滤波器。又叫滤波器的延迟时间。2理想低通滤波器的冲激响应由于系统函数 为系统冲激响应h(t)的傅里叶变换，因而，理想低通滤波器的冲激响应为：3理想低通滤波器的阶跃响应若理想低通滤波器的输入是一个单位阶跃信号，则其响应为阶跃响应g(t)。,3.6 傅里叶变换的应用,下一页,返回,上一页,根据时域分析可知，阶跃响应可以通过对冲激响应的积分而得到，即：3.6.4 抽样、抽样信号的概念1抽样 抽样：利用抽样脉冲序列p(t)从连续信号f(t)中“抽取”一系列的离散样值的过程，称之为抽样。抽样也称为“采样”或“取样”。,3.6 傅里叶变换的应用,下一页,返回,上一页,2抽样信号 抽样信号：经抽取后的一系列的离散信号称之为抽样信号。请注意区别：抽样信号与抽样函数 是完全不同的两个含义。,3.6 傅里叶变换的应用,返回,上一页,图3-1信号的幅度谱,返回,图3-21 直流信号及其频谱,返回,
