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第一章空间解析几何与向量代数第01讲空间直角坐标系（一）本章重难点与考点分析重点：1 .向量的各种运算2 .平面、直线、柱面、旋转面及一些常见二次曲面的标准方程及其图形难点：1 .向量的运算2 .空间曲线在坐标面上的投影考点：选择题、计算题，分值在10分左右学习目标：本章内容既是学习多元微积分的预备知识，同时其自身也是十分重要的数学工具，在很多后续课程中有广泛应用.由于向量的表示、运算及处理方法与数量有很大区别，初学者比较生疏，而掌握空间图形也要求有较强的空间想象能力，这都给初学者带来一定困难，因此自学时要注意掌握重点，多做习题.特别要掌握运用向量建立平面、直线方程的方法，以及常用的曲面、曲线的方程和图形，这是学习后续内容必需的基本知识.第一节空间直角坐标系知识点1空间直角坐标系的建立三维空间中几何问题空间图形形式一点，线，面，体知识桥梁空间直角坐标系代数理论表达一坐标，方程（组）经过空间定点0作三条互相垂直的数轴，它们都以点0为原点，具有相同的单位长度.这三条数轴分别称为X轴（横轴）、y轴（纵轴）、Z轴（竖轴），统称为坐标轴，并且各坐标轴正向之间的顺序要求符合右手法则，即以右手的拇指对准X轴的正向，食指对准y轴的正向，顺势伸出中指，此时中指的指向与Z轴的正向一致；或者以右手握住Z轴，让除大拇指外的四指从X轴的正向以90°的角度转向y轴的正向，这时大拇指所指的方向就是Z轴的正向.这样组合的三条坐标轴构成一个空间直角坐标系.3(¼)知识点2空间直角坐标系的定义定义1三条坐标轴中的任意两条都可以确定一个平面，称为坐标面，它们是由X轴及y轴所确定的平面OXy平面；由y轴及Z轴所确定的OyZ平面；由X轴及Z轴所确定的OZX平面.这三个相互垂直的坐标面把空间分成八部分，每一部分称为一个卦限.位于X轴、y轴、Z轴正半轴的卦限称为第一卦限，从第一卦限开始，在OXy平面上方的卦限，按逆时针方向依次称为第二、三、四卦限；第一、二、三、四卦限下方的卦限依次称为第五、六、七、八卦限.知识点3空间点的坐标定义2在建立空间直角坐标系之后，对于空间中任意一点'1,过点M分别作垂直于X轴、y轴、Z轴的平面，它们与三条坐标轴分别相交于点A,B,C.设这三点在X轴、y轴、Z轴上的坐标依次为X,y,z,则点M唯一确定了一组有序数x,y,z.这样，空间中的点M就可与一组有序数X,y,Z之间建立一一对应关系.这时，有序数组X,y,Z称为点M的坐标，记为M(x,y,z),其中x,y,Z分别称为点M的横坐标、纵坐标、竖坐标.第02讲空间直角坐标系（二）知识点4特殊点的坐标 坐标原点0（三项为零） 坐标轴上的点（三类）PQR（两项为零） 坐标面上的点（三类）ABC（一项为零） 卦限上的点，如：第一卦限的点，各分量全为正例1在空间直角坐标系中，点（2,-1,-9）在（）.A.第一卦限B.第四卦限C.第五卦限D.第八卦限正确答案D答案解析参见教材P27。例2在空间直角坐标系中，点(一2,0,19)在().A. Oxy平面上B. Oxz平面上C. Oyz平面上Dy轴上正确答案B答案解析J参见教材P27。知识点5空间中两点间的距离公式给定空间中两点Pl(X1,y,zl),P2(x2,y2,z2),求它们间的距离IPRI.过这两点各作三个平面分别垂直于三条坐标轴，形成如图所示的长方体，这两点间的距离就是该长方体的对角线长度.由于该长方体的三个棱长分别是=l¾-¾h6=如2-HLc=zz-zj所以俏马I=d3+3+?=5(x2-)a+0a-÷(¾-.(1)例3在X轴上求点P,使得它与点Q(4,1,2)的距离为技.解：设P(,0,0),由H2=而，得J(4-x)2+(1-0)2+(2-0)2=50解得X=-I或x=9故所求的点有两个：P1(-1,0,O),P2(9,0,0)例4求两点P(1,2,3)与Q(2,-1,4)的距离PQ.解由公式(1)得HQ=(2-1)3+(-l-2)5÷(4-3)3=H.例5给定三点拙(4,3,1),M2(7,1,2),M3(5,2,3),证明：/XMMW是等腰三角形.证只需证明品中两条边的长度相等即可.我们有I=7(7-4)2+-3)i+(2-D3=¼.IM2Af5I=(5-7)a+(2-1)j+(3-2)a=瓜IM3MxI=(4-5)a+(3-2)a+(l-3)a=6由于IM2AZ3I=IA3Af1,所以AMMNh是等腰三角形.例6在Z轴上求与两点A(-4,1,7)和B(3,5,-2)等距离的点.解：设该点为M(0,0,z),由题设IMAl=IMB,J(Y-0)2+(1-0)2+(72)2=J(3-0)。+(5-0)。+(-2-Z)*1414解得Z=,即所求点为M(O例7求与两定点A(1,-1,2)和B(2,1,-3)距离相等的点的轨迹.解：由于IM4=MB从而有«7)2+S+/+(”2)2=J(D2+g)2+(z+3)2化简得点M的轨迹为x÷2y-5z-4=0.第03讲向量代数(一)第二节向量代数知识点1向量的概念定义1既有大小，又有方向的量称为向量.向量的表示法记有向线段的起点A与终点B,从点A指向B的箭头表示了这条线段的方向，线段的长度表示了这条线段的大小.向量就可用这样的一条有向线段来表示，记为"向量也简记为.瓦或瓦瓦知识点2特殊的向:(1)单位向量:模为1的向量；与向量W同方向的.模为1的向量称为单位向量.通常用i,j,k分别表示X轴、y轴和Z轴正向的单位向量，并称其为基本单位向量.知识点3向量的关系(1)向量平行对于两个非零向量五了,若它们的方向相同或相反，则称这两个向量平行或共线,记作aHb'(2)向量相等若两个向量万1的模相等且方向相同，则称这两个向量相等，记作8=B注：零向量与任何向量都是平行关系；若某向量可以在空间中平行移动，所得向量与原向量相等，则称该向量为自由向量.知识点4向量的加法一I苜星相接I1平行四边影法则磨弓7(.Ax?<2)三角形法则：加法运其效4S交换律/；“结合律(5÷7)*F5*(I÷7)三a+7+7三角形法则可推广到多个向量相加.总结(1)平行四边形法则：设有两个不平行的向量3与石，将它们平移到同一个起点，并以向量3、B为邻边作平行四边形，称以向量3、B共同起点的对角线向量3为Z与3的和.(2)三角形法则：先作向量W，然后将向量3的起点放在向量W的终点作向量B，则从向量了的起点到向量3的终点所构成的向量即为5+b知识点5向量的减法起点重合fAb-=b+-.特别地当6.11时,三角不等式effr60MA知识点6向量与数的乘法定义2给定实数人及向量,规定人与的乘积是一个向量，它的模规定为IAal=I,它的方向规定为：当人>0时，入的方向与的方向相同；当<0时，入a的方向与a的方向相反.人与a的乘积运算称为向量的数量乘法(简称数乘).O(a)>0数乘法运算律：结合律(ta)=XS)=a分配律(+)=+(+)a=aa若向量5*例1根据向量的加法和数量乘法的运算规律，化简(3a+b)+(2a-b)-(4a-3b).解(3a+b)+(2a-b)-(4a-3b)=3a÷b÷2a-b4a÷3b=(3a÷2a-4a)+(b-b÷3b)=(3+2-4)a+(1-1+3)b=a+3b.定理1设向量W0,则向量B平行于的充要条件是，存在实数入，使得B=a.证充分性设B=入.当人#0时，由数量乘法的定义知B平行于a.当人=0时，必有B=O.由于零向量的方向可以看作是任意的，因此我们可认为零向量与任何向量都平行.IRI必要性设B与a平行，此时B与a的方向要么相同，要么相反.取入I=E且B与a同向时人取Ial正值，反向时入取负值.于是，B与入a同向，并且有I徊二|川IaI=%I(II=IPl因此，两个向量B与入a方向相同，大小相等.根据向量相等的定义，知B=Aa.知识点7向量的夹角定义3设有两个向量5k,平移致使始点重合，且交于点S.把一个向量绕点S在两个向量所确定的平面上旋转，直到方向和另一个向量的方向重合，则称所旋转的角度为向量的夹角，记作=(a,b)f(读音：fai)其中特殊的向量夹角(1)9=Oo向量彳5平行，且方向相同；(2)0=；TQ向量彳不平行，且方向相反；(3)o=o向量万万垂直，记作albi知识点8向一的投影给定向量a=荏及数轴u,过点A,B分别向数轴U作垂线，设垂足依次为A',B',这两个点在数轴U上的坐标分别为5,Uh.称N,B,分别为点A,B在数轴U上的投影点；称向量A#为冠在数轴U上的投影向量；记PiJU=Ub-Ua,称之为AB在数轴U上的投影.由于a,b=IPa次卜因此P门U屈在一定程度上反映了向量次在数轴U上投影的“大小”困1-15第04讲向量代数(二)知识点9向量的投影计算定理2对于任意非零向量,有Pnel=|aIcos其中夕是a与数轴U的夹角.注：(1)当投影轴与向量成锐角时，向量的投影为正；当投影轴与向量成钝角时，向量的投影为负；当投影轴与向量成直角时，向量的投影为零.(2)相等的向量在同一数轴上的投影相等.定理3投影的线性性质0国(。士P)=加a±Pvli师l(a)=秋;*a关于投影向量的证明例2己知一个向量的模为5,它与投影轴的夹角为求该向量在数轴上的投影.4解：PrtIcos=Scos,52知识点10向量的坐标定义4设向量；，分别为与X,y,Z轴同向的单位向量，则称其为空间直角坐标系的基本单位向量.定义5设点M的坐标为(a,b,c),则向量而为向径，在坐标轴上的投影分别为PrfjOMatPrjOMbtPrjJDMcOA=ai*OB=bf,OC=ck9OMQAANi,从而次=N+属区即血=of+斤+/定义6若向量a分别在X,y,Z轴上的投影ajl,ay,a,组成的有序数组(a,ay,a,)为向量a的坐标，记为a=(a,ay,az).定义7设始点Ml(x1,y,Zi),终点也(X2,y2,z2),因此MA/；在X轴、y轴、Z轴上的投影分别为-.-.-MM=Or÷ck=(->f+6-l)÷(-¾X-如果a=a7+cE,则a，b,C分别称为a的三个坐标.由坐标的唯一性，此时可将a简记为匕，b,c,其意义为b,c=a+÷cMM的坐标表(2)式还给出了由空间中两点Ml(x,y,Z),M2(X2,y2,Z2)所确定的向量示，即MIMl=(-¾一鼻，句-ZJ例3求零向量和基本单位向量的坐标与模.奉向登0=9,0,0),O=>2÷O2÷O3=0基本单位向量：解：-l,010),m="+02+02=L7=oo,=o2÷3+o2=i;=o,i=b2+o2+2=1.定理4(向量线性运算的坐标表示)设向量m“K为实数,则1)U÷=(ax*b,as*b,abJ,U-=(al-b,a-bf,a1-bj>2)痴=4,&,九,特别地有r三=-%r,-j证只证1)中的加法公式，具他公式类似可证.此时=<+a2J+aj,bjb3jbik,由向量线性运其的规律知ap=(<)7÷(<÷2)y÷(<÷).a÷=<÷¾÷.<÷)例4设向量a=L-L0D=023.求%2。解：3三-=3LT0-20,Z3=(X-XO)-0,4,6)=1,-7,-6)例5给定两个非零向量a=<.¾.<).=.>>则a/B的充要条件是它们对应的坐标成比例，即竺="="4%丁证必要性设aB.由定理1知，存在实数(使得a=入。,由耀的坐标表示，贝情%<.q)=也.也.曲再由向量坐标表示的唯T生得到/二社,<=Aq=4于是结论成立.bib2bi充分性的证明只需反推回去，此处省略.(1)计算向量V=(ja¾1.0.)BWv=2÷¾j÷02(2)向量的方向角若向量V与X,y,Z轴正向的夹角分别为,丫，则称,B,Y为向量V在X,y,Z轴的方向角；COSG,COS,COSY分别称为V的方向余弦.且有：Or=MCoS>=McotAtt=vcos/以及有：0*收+吊+W8力收+名+出37+W+Wcos2a÷c52+cos27=1.例6给定非零向量y=q,5,求它分别与X轴、y轴、Z轴的夹角,Y的余弦.解：由投影定理有Plrj1V=IveosfPr*,=v8s4P理=Qcos%再根据向量坐标的意义得Prjrv=PrjjV=¾,Prjrv=a3,于是可得a1o%Cs=-.CO5p=-.cosy=,即IVlIVlMCoSa=占I-C8'=h2-3=八*.(4)M+W+如+片+可+J+f例7已知两点MaS.M(26.0),求向量MM的模'方向余弦、方向角以及与之平行的单位向量.解:酬MM=-llS眦、IMMI=J(Ty+JG&)'=2-设向量直区的方向角依次为,Y.将的石单位化，可得司21222j可验证w=4j+)+(2r)zFdEcosG>cos,cos7=,从而为Ial2cos三三一.cosp=-tcos/=,222方向角为fn2x1X(513<=IrccosI-l=P=arccos-=-ey=arccosi-I=例8设向量=-110,A=32-4则20-Q=().解：2"=(-28-3,Zf=T<U例9求向量=JZ0-0同方向的单位向量().解.-；K枢.5；(4,0一伪第05讲向量的数量积与向量积第三节向量的数量积与向量积（向量积考纲不作要求）知识点1数量积的概念及运算律力的做功问题设一个物体在常力F作用下由点A沿直线移动到点B,移动的距离为L,F与：石的夹角为夕，求力F所做的功M解：由物理意义可知V=FLcos,而L=F同，因此根据数量积的定义知二户j5定义给定两个向量和B,它们的数量积为B=IQlBIC9.9提两个向量的夹角.与向量的数量乘法不同，两个向量的数量积不是向量，而是数量.数量积也称为点积.由定义可有:(1>=Prj.=Prj>（2） a=PaP=a（3） a"="?"°=°定理1数量积的运算律：分置律(o+B)=a+结合律(a)=()=a(P).定理2（向量垂直与数量积的关系）向量a与B垂直的充要条件是aB=0.证必要性设a与B垂直.如果（I=O或B=0,则Ia=0或B=0.由数量积的定义可知aB=O,必要性成立.如果a与B都是非零向量，它们相互垂直时的夹角为g=g于是（IP=IBIBlCO5彳=ICl0=0.必要性也成立.充分性设a-B=O.如果a,B中有一个是零向量，则a与B垂直.如果a与B都是非零向量，则aI和IB都不为零.由数量积的定义得a-B=aIIBcos=0（夕为a与B的夹角），从而只有COS夕:0.这说明a与B的夹角为夕=g,所以a与B垂直.知识点2数量积的坐标表示电里3igF÷47÷0.=4/+k.则aB=am+砧+qJ晒a0=(4÷¾+<)-(÷÷=(V+<i)()÷(÷/÷¾1)()+(<V+÷*)(M)=(<¾)i-i+(,)i+Q闻工，+(<)<+(<>A)>÷(<)1+(*>/+(毡*+(吨上*=flA+A÷Aa+÷jS3"丽=册"+曷括+%Ma±=>a0=0Og+a24+对句=0例1已知三点A(1,1,1),B(2,2,1),C(2,1,2),求直线AB与AC的夹角(O).解：因夹角夕被限制在。到D之间，故求出向量方与万的夹角即可.由于5=(1,1,0,AC=1,O,Ib又由公式(6)得l×l+l×O+O×lCOS7=-1=-+F+Oa×P+O2+l22所以夕二1Jrarccoi-=一23例2已知三点.I(L2)8(333)('(4.J"，求布、云的数量积及其两向量的夹角.解：由已知可得AB-a0,D,C-C2.2J)./C-5可得模长:回=l1÷O1+li=2,ac=2s+21+3i=57从而ABAC5S48无诉I=在=Q'5M-IfCOOS34例3设IdI=3|向=5，试确定k,使得向量己+南与万一序垂直.解：（3÷53-fr）=0.将上式左端展开,得aSiia-lDb-bbO.由不G=Irl'F,WW可得I肝一PlW=O将题设的条件m=3jB=5代入，则有4I9-2*0,触*-±i.第06讲空间中的曲面和曲线（一）第四节空间中的曲面和曲线知识点曲面方程定义定义1给定曲面S与三元方程F（x,y,z）=0,（2）且已知方程（2）的解集非空.若曲面S与方程（2）有下述关系：1）曲面S上的点都满足方程（2）,即曲面S上任何点的坐标都是方程（2）的解；2）满足方程（2）的点都在曲面S上，即方程（2）的任何解X,y,Z所对应的点P（x,y,z）都在曲面S±,则称方程（2）为曲面S的方程，并称曲面S为方程（2）所表示的曲面.两个基本应用问题（1）已知一曲面作为点的几何轨迹时，研究其点的坐标满足的代数式;（2）已知方程时，研究它所表示的儿何形状（必要时需作图）.知识点2曲面方程定义一球面例1求动点到定点MO（XO.%Zo）距离为R的轨迹方程.解：设轨迹上动点为M(y工意MoMl对7(x-X0)2+(y-y0)2+(z-z0y=R故所求方程为(x-X0)2+(y-y0)2+(Z-Z0)2=R2特别地，当Mt)在原点时，球面方程为x2÷y2+z2-R2z=±Jr2-x*-y2表示上(下)半球面.例2给定球面方程2x'.2yj.N'_4x.lyl-0求它的球心和半径解：将原等式配方整理得(X-I)y÷2)即球心为点(1,-2,0),半径为辿.2从而可见，曲面方程的形式不是唯一的.知识点3曲面关于坐标面的对称性定理设曲面S的方程F(x,y,z)=0,则曲面S关于OXy平面对称的充要条件是，如果点P(x,y,Z)的坐标满足方程F(x,y,Z)=0,那么必有点P'(x,y,-Z)的坐标也满足方程F(x,y,-Z)=0.简言之，曲面S关于OXy平面对称的充要条件是F(x,y,z)=F(x,y,z)；同理可得，曲面S关于OyZ平面对称的充要条件是F(-,y,z)=F(x,y,Z)；曲面S关于OZX平面对称的充要条件是F(x,-y,Z)=F(x,y,z).例3讨论曲面z=2+2y?关于坐标面的对称性.解：将所给曲面方程中的X换为一x,得z=(-x)j÷2y2=x2+2y2t方程形式与原来的相同：将所给曲面方程中的y换为一y,得z=x2+2(-y)2=x2÷2y2,方程形式与原来的相同.于是，该曲面关于OyZ平面及Ozx平面均对称，但将Z换成一z,得-Z=X2÷2y2方程的形式与原来的不同了，从而该曲面关于OXy平面不是对称的.知识点4曲面方程旋转曲面定义2一条平面曲线绕其平面上一条定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面.该定直线称为旋转轴.该曲线称为母线.例如下面求OyZ平面上的曲线C：f(y,z)=0绕Z轴旋转所生成旋转面的方程.设P(x,y,z)为该旋转面上任意一点，过点P作垂直于Z轴的平面，则此平面交Z轴于点M(0,0,Z),交曲线C于点p(o,y,z)(图128).由于点P是由点P*绕Z轴旋转得到的，则它们到Z轴的距离相等，即IMPHMPl蹴IMPI=x2÷y2,MP，Ry*所以/卜+y或F=土旧+/.又由于点P*在曲线C上，因此y*,Z应满足方程f(y)=0.-y*=±J2+'代入这个方程，即得该旋转面上的点应满足的关系式f(±p+yy.z)=O.(5)反之，显然满足方程(5)的点都在上述旋转面上.所以，方程(5)就是所求的旋转面方程.因此，只需将平面曲线C的方程f(y,z)=O中的y换成tJ2+/而Z保持不变,即可得到绕Z轴旋转所生成旋转面的方程.同理，曲线C绕y轴旋转所生成旋转面的方程为f(y.±x2+z2)=0例4求OyZ平面上的直线z=ay(a>()绕Z轴旋转所生成旋转面的方程.解：由分析可知，绕Z轴转，即Z不变，y变成±Jx2 + y2,故而可得：z=±ay2÷y2整理可得：二：=这是顶点在原点的圆锥面.例5求OyZ平面上的抛物线z=ay'(a>0)绕Z轴旋转所生成旋转面的方程.可得旋转抛物面z=a(x2+y2)z-(x2+y3)O例6判断下列曲面是否是坐标面上的曲线绕坐标轴旋转所生成的旋转面，如若是，请指出它们是如何生成的:l)x2+2y2÷3z2=l;Z)z2-x2-y2=1.解：若一个方程表示的曲面是绕Z轴旋转所生成的旋转面，则要么它是OZX平面上的某一曲线g(x,Z)=0绕Z轴旋转而生成的，要么它是OyZ平面上的某一曲线f(y,z)=0绕Z轴旋转而生成的.无论哪一种情况，在旋转面的方程中，变量X,y都能以X?+/的函数项形式出现.同理，在绕X轴旋转所生成旋转面的方程中，变量y,z都能以十+才的函数项形式出现；在绕y轴旋转所生成旋转面的方程中，变量X,Z都能以x?+z2的函数项形式出现.1)由于在所给的曲面方程中，变量X,y不能以2+y2的函数项形式出现，故该方程不是绕Z轴旋转所生成旋转面的方程.同样，该方程也不能以/+Z?或X?+/的函数项形式出现，故它所表示的曲面不可能是绕坐标轴旋转所生成的旋转面.2)由于所给的曲面方程可以表达为z2-(x2+y2)=1因此该曲面是绕Z轴旋转所生成的旋转面.用OyZ平面去截该曲面，得到的截痕是z2-y2=tx=0.这是OyZ平面上的双曲线(上、下开口)，该曲面就是这条双曲线绕Z轴旋转而成的，其形状如图131所示.知识点5曲面方程一一柱面方程L叫做母线.定义3平行于定直线1并沿定曲线C移动的直线L所生成的曲面称为柱面，C叫做准线,常见柱面举例y2=2x表示抛物柱面；-+y2=Rl表示圆柱面;摄+5=1表示椭图柱面J1-4=表示双曲柱面;x-y=O表示平面;现在来建立以OXy平面上的曲线C：f(x,y)=0为准线，平行于Z轴的直线1为母线的柱面方程.设P(x,y,Z)为该柱面上任意一点，过点P作平行于Z轴的直线交OXy平面于点P1(x,y,Q).根据柱面的几何意义可知，点B必在曲线C上，所以点H满足曲线C的方程f(x,y)=0,由于这个方程不含z,所以点P(.y,z)也满足方程f(X，y)=0反之，只要点P(x,y,z)的前两个坐标满足Dr-=l(,b>0);2)y2=2px(p>0);3*+=L22解：1)在空间中考虑，该方程缺少Z,故它表示以OXy平面上的双曲线N_2_=1为准线，母线a2b2平行于Z轴的柱面，称之为双曲柱面图1-34(a)；2)在空间中考虑，该方程缺少z,故它表示以OXy平面上的抛物线y2=2px为准线，母线平行于Z轴的柱面，称之为抛物柱面图1-34(b)；3)在空间中考虑，该方程缺少y,故它表示以OZX平面上的圆x1+Zz=I为准线，母线平行于丫轴的圆柱面图1-34(c).例8判断以下方程形成的曲面：y+z=l.解：在空间中考虑，该方程缺少X,故它表示以OyZ平面上的直线y+z=l为准线，母线平行于X轴的柱面.第07讲空间中的曲面和曲线(二)知识点6空间曲线的参数方程1 .一般式方程定义定义4空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组F(xtja)三0y,t)=o例如，方程组表示圆柱面与平面的交线c.例9判断下列曲线的形状：D喉O心解：1)C的方程中第一个方程表示球心在原点，半径是1的球面，第二个方程表示球心在点Po(0,1,1),半径也是1的球面，因此它们的交线C是空间中的一个圆.2)曲面Z=Jl-Jy2是球心在原点，半径为1的上半球面.曲面Y+y2-=o是母线平行于Z轴的柱面，此柱面方程可化为；兀一=：+./=：.可见，这个柱面的准线是OXy平面上的圆，其中圆心在点z1.0/0J半径为g.上述半球面与柱面的交线C见下图.2 .参数式方程定义定义5将曲线C上的动点坐标X,y,Z表示成参数t的函数，随着t的变动，可得C上全部的点.X=x()J=X/)zz(t)称它为空间曲线的参数方程.知识点7空间曲线在坐标面上的投影定义6给定空间曲线p.F(X">O,U1<K,y>将它同解变形为(MwH>.IH(X 什 0(8)由于是同解变形，因此方程组(8)表示的曲线也是C,方程组(8)的几何意义为：C也是另外两个曲面K(&y,Z)=O与H(y)=O的交线.由于H(x,y)=O是母线平行于Z轴(或垂直于OXy平面)fH(r,y)=O, IZ=Q的柱面，其准线是OXy平面上的曲H(x,y)=0线，从而OXy平面上的曲线H(x,y)=0就是曲线C在OXy平面上的投影(称为投影曲线).严格地说，这条投影曲线的方程应为它表示柱面H(x,y)=O与OXy平面的交线.如何求解投影曲线我们称方程H(x,y)=0所表示的曲面为曲线C关于OXy平面的投影柱面，因此，若求曲线CcF(x,y,z)=Q,G(x,y,z)=O.在OXy平面上的投影柱面，可从方程组的两个曲面方程出发，做一系列同解变形，将Z消去后即可得到投影柱面的方程.同理，将方程组的两个曲面方程做同解变形，分别消去X和y可得到曲线C关于OyZ平面和OZX平面的投影柱面方程，记为I(y,z)=OJ(x,z)=O,则曲线C在OyZ平面和OZX平面上的投影曲线方程分别为肾M和震.例10设空间曲线：cJx2÷y2÷z2=l,(9)x(y-y-Iy=Lao)求曲线C在OXy平面和OyZ平面上的投影曲线.解：对所给的方程组做同解变形，(9)式减去(10)式得方程y+z=l,已经消去了X,所以曲线C在OyZ平面的投影曲线方程为1.(Ky<a,(Kz<l)(X=0它是一条线段.再由z=-y,代入(10)式，得到方程x2+2y2-2y=0*此时已经消去z,可再化为X-J-IF1工T4则曲线C在OXy平面上的投影曲线方程为畔,54K它是一个椭圆.例11设有一个立体由上半球面二=,4_9及圆锥面Z=也X2+所围成,求它在OXy平面上的投影区域.解：由该立体的图形可知，它在OXy平面上的投影区域的边界就是半球面Z=Jal-F与圆锥面Z=J：X2+y2)的交线C在OXy平面上的投影曲线.先求出投影曲线.z=4-x2-y2从交线cJ;L中消去Z即可得到投影曲线.Z=x2÷y2)由交线c的方程可得j4-Jy2=*(y2)化简后可得交线C在OXy平面上的投影曲线,于是，立体的投影区域为OXy平面上的圆d+y2=及其内部(可用2+y2Wl来表示)，见下图阴影部分.第08讲空间中的平面与直线(一)第五节空间中的平面与直线知识点1平面方程1.平面的法向量与点法式定义1若非零向量二垂直于平面/,则称二为平面的法向量.设一平面通过已知点且垂直于非零向量nI.4.B.C求该平面的方程.任取点M(Xw则有WLn故MUO(jr->-ll-)X(x-a)+B(j-)÷U)=称(1)式为平面的点法式方程.例1求下列平面的方程：1)已知平面经过点A(0,1,-D,法向量为n=4y-29-252)已知平面经过点B(1,1,D,法向量为n=-2l.解：1)由点法式方程(I)知所求的平面方程为4(-0)+(-2)(y-l)+(-2)(z+l)=0,化简得2-y-z=O.2)由点法式方程(1)知所求的平面方程为(-2)(-l)+l(y1)+1(z1)=0,化简得2-y-z=0.2.平面的一般式方程定义2设有三元一次方程A÷ByCz÷D三0(A2÷B2÷C10)(2)任取一组满足上述方程的解X。，%,Zo,则Axc-ByiCzo*D=O以上两式相减，得平面的点法式方程A(x-xt)÷B(y-ye)+C(z-z0)=0显然方程(2)与此点法式方程等价，因此方程(2)的图形是法向量为i=(A.B.C)的平面，此方程称为平面的一般式方程.例2已知平面口经过三点R(1,1,1),P2(-2,1,2),P3(-3,3,1),求平面口的方程.解法1用点法式方程点Pi,P2,Ps中的任何一点都可以当作平面口所经过的点.余下的问题就是确定平面n的法向量A设d=a，b,c)(图142).因病TT则在平面n上且垂直于向量A故小质o.即abc-30,l=_3a+c=0.又因丽三72o也在平面n上且垂直于向量打，故万丽o.即abc-42,0)=Ta+2b=0.解方程组尸+c=Ql得c=3-4a+2b=(b=2a.取a=l,则b=2,c=3.可取n=l,2,3作为法向量.取点巴为平面门经过的点，则由点法式方程得(-l)+2(y-l)+3(z-l)=0,化简后可得平面口的方程x+2y+3z-6=0.解法2用待定系数法P3的坐标设平面口的一般方程为Ax+By+Cz+D=O,只需确定系数A,B,C,D即可.将点R,P2,代入一般方程，可得到方程组A÷B÷C÷D=(- 2A÷B+2C÷D=¾- 3A+3B÷C÷D=0.后两个方程分别减去第一个方程，得- 3A+C=0,- 4A+2B=0,所以C=3A,B=2A.再代入第一个方程，得A+2A÷3A+D=0,故D=-6A.由于A,B,C不能同时为零，因此取A=L得到C=3,B=2,D=-6.所以，所求的方程为x÷2y÷3z-6=0.3 .特殊位置的平面及其方程(1) Ax+By+Cz=O表示通过原点的平面；(2) By+Cz+D=O表示平行于X轴的平面；(3) Ax+Cz+D=O表示平行于y轴的平面；(4) Ax+By+D=O表示平行于Z轴的平面；(5) Ax+D=O表示垂直于X轴的平面或平行于OyZ平面的平面；(6) By+D=O表示垂直于y轴的平面或平行于OZX平面的平面；(7) Cz+D=O表示垂直于z轴的平面或平行于OXy平面的平面；(8) By+Cz=O表示通过X轴的平面;(9) Ax+Cz=O表示通过y轴的平面；(10) Ax+By=O表示通过Z轴的平面.例3求过Z轴和点M(6,8,9)的平面口的方程.解:由题可设平面n的方程为用r+y=0因为平面n过点M,所以6asb=o»解得因此，平面口的方程是X+.y；B=O即一4x+3y=0(HB0).4 .平面的截距式方程定义3设平面n与X,y,Z轴分别交于P(a.0,O),Q(0.b.0)R(O.0Q三点，则II的方程为+-=l(a,b,c0)3abc称(3)式为平面11的截距式方程.其中a,b,c分别称为平面II在X,y,Z轴上的理里.注：某平面具有截距式方程的充分必要条件：平面在三条坐标轴上的截距均为非零常数.Ci例4求经过X轴和点(4,-3,T)的平面方程.解：该平面的方程为Ax+By+Cz+D=O.由于该平面经过X轴，则它也必经过原点，从而A=D=O.于是，该平面的方程为By+Cz=O,只需求出系数B,C即可.因该平面经过点(4,-3,-1),故将此点的坐标代入上述方程，得到-3B-C=0,即C=-3B.取B=L则C=-3.所以，所求的平面方程为y-3z=0.例5求平面3-4y+z-5=0的截距式方程，并求它与三条坐标轴的交点.解：将平面方程移项后两端除以5,得从而得到截距式方程XVZ1VMM=L34该平面与X轴、y轴、Z轴的交点分别为知识点2两个平面的夹角给定两个平面11l:A1x+B1y÷Clz+D1=Q,I:A2x+B2y+C3z÷D3=0,则它们的法向量分别为IIl=A1，Bj,Cj和a=A2,B?,G规定平面口与FI?的夹角。为它们法向量的夹角，取锐角（图144）.于是，当法向量Ih与n2的夹角为锐角。时，有COS03lll但是，给定的法向量m与m的夹角不一定是锐角，当为钝角时，由于法向量不是唯一的，也是平面口】的法向量，则法向量-Ih与小的夹角是锐角。.无论何种情况，总有©”四引-LA+:QfilInn2.平面的特殊位置关系«nJlS,AiA1÷B1BiC1C1"例6给定两个平面口卜2乂-丫£2-6=0和112:x-y÷2z-5=O,求这两个平面的夹角().解：