结构力学第七章虚功原理和结构的位移计算.ppt

第6章虚功原理和结构的位移计算,本章教学基本要求：理解变形体系虚功原理的内容及其在结构位移计算中的应用；理解广义力和广义位移的概念；熟练掌握计算结构位移的单位荷载法；熟练掌握图形相乘法在位移计算中的应用；了解线弹性体系的互等定理。,本章教学内容的重点：静定结构由于荷载作用、支座移动、温度变化和制造误差而产生的位移计算，特别是用图形相乘法计算梁和刚架的位移。,本章教学内容的难点：广义力和广义位移的概念；变形体系的虚功原理及其证明。,本章内容简介,6.1概述6.2变形体系的虚功原理6.3结构位移计算的一般公式单位荷载法6.4静定结构在荷载作用下的位移计算6.5图形相乘法6.6静定结构由于支座移动引起的位移计算6.7静定结构由于温度变化引起的位移计算*6.8具有弹性支座的静定结构的位移计算6.9线弹性体系的互等定理,6.1概 述,本章任务,学习任意平面杆件结构在任意外因（荷载、温度、支移 等）作用下，引起任意形式位移（线位移、角位移）的计算原理及计算方法。,一、结构的位移,在荷载等外因作用下结构都将产生形状的改变，称为结构变形结构变形引起结构上任一横截面位置和方向的改变，称为位移是结构某一截面相对于初始状态位置的变化.位移是矢量，即有大小，方向，起点和终点,按运动形式分：,线位移角位移,绝对线位移（以地基为参照体）相对线位移（以内部杆件为参照体）,绝对角位移（以地基为参照体）相对角位移（以内部杆件为参照体）,1、一个截面的位移（绝对位移）,1）截面A 位置的移动（用截面形心的移动来表示）A，称为线位移，可分解为：水平线位移AH（亦可记作uA）竖向线位移(挠度)AV(亦可记作vA)。,2）截面A 位置的转动（用该点切线方向的变化来表示）A，称为角位移或转角。,A,B,C,q,A1,B1,A,A,DA,vA,uA,2、两个截面之间的位移（相对位移）,1）相对线位移,2）相对角位移,E,3、一个微杆段的位移,ds,u,v,微段刚体位移,ds,g0,g0,dv,dv=g0 ds,微段相对位移（剪切变形）,微段相对位移（轴向变形）,ds,微段相对位移（弯曲变形）,d=ds/R=kds,A,A,一个微杆段的位移可分解为刚体位移和变形体位移之和1）刚体位移（不计微段的变形）：u、v、2）变形位移（反映微段的变形）：du、dv、d。这是描述微段总变形的三个基本参数。,为轴向伸长应变;为平均剪切应变;k 为轴线曲率（，R为轴线变形后的曲率半径）。,ds,u,v,微段刚体位移,ds,g0,g0,dv,dv=g0 ds,微段相对位移（剪切变形）,ds,du=eds,微段相对位移（轴向变形）,ds,微段相对位移（弯曲变形）,d=ds/R=kds,对于常见的在荷载作用下的弹性结构，则有,式中，FN、FQ、M分别为微段上的轴力、剪力、弯矩；EA、GA、EI分别为抗拉压、抗剪、抗弯刚度；为考虑剪应力分布不均匀系数，如对于矩形截面=1.2，圆形截面=10/9，薄壁圆环形截面、工字形或箱形截面=A/A1（A1为腹板面积）。,(6-1),二、结构位移产生的原因,三、计算结构位移的目的,1）从工程应用方面看主要进行结构刚度验算；满足结构的功能和使用要求.2）从结构分析方面看为超静定结构的内力分析（如第7章力法等）打好基础（利用位移条件建立补充方程）。3）从土建施工方面看在结构构件的制作、架设等过程中，常需预先知道结构位移后的位置，以便制定施工措施（反拱，加设支撑等），确保安全和质量。4）从后续专题方面看在结构力学的两大课题，即结构的动力计算和稳定分析中，都常需计算结构的位移。,工程结构设计的一般步骤,一般要求,计算模型,荷载分析,内力计算,截面设计,构造要求,变形验算,结构布置,静荷载,动荷载,静力计算,动力计算,层间位移计算,四、结构位移计算的方法,1、几何法例如，材料力学中主要用于计算梁的挠度的重积分法。2、虚功法计算结构位移的虚功法是以虚功原理为基础的，所导出的单位荷载法最为实用。单位荷载法能直接求出结构任一截面、任一形式的位移，能适用于各种外因，且能适合于各种结构；还解决了重积分法推导位移方程较烦且不能直接求出任一指定截面位移的问题。,能量法：,实功虚功,外力作虚功内力作虚功,虚位移原理 虚力原理,虚功原理,单位位移法单位荷载法,计算力(3.8节)计算位移(本章),（虚功方程）,6.2变形体系的虚功原理,一、功、实功与虚功 1、功 功包含了力和位移两个因素 2、实 功 所谓实功，是指力在其自身引起的位移上所做的功。分为常力实功和变力实功。,P,P1,D,D 11,o,1,静力荷载所做的实功为变力实功。,静力荷载，是指荷载由零逐渐以微小的增量缓慢地增加到最终值，结构在静力加载过程中，荷载与内力始终保持平衡。,静力荷载所做的实功,FP1在12上做的功:,W12是力FP1在另外的原因（M2）引起的位移上所做的功，故为虚功。所谓“虚”，就是表示位移与做功的力无关。在作虚功时，力不随位移而变化是常力，故式中没有系数1/2,3、常力所做的虚功,所谓虚功，是指力在另外的原因（诸如另外的荷载、温度变化、支座移动等）引起的位移上所做的功。,FP1,1,2,D11,D12,1,2,M2,FP1(先),D 11,D12,q21,q22,1,2,M2(后),1,1,对于各种形式常力所做的虚功，用力和相应位移这两个彼此独立无关的因子的乘积来表示，即:,式中:FP是做功的与力有关的因素，称为广义力，可以是单个力、单个力偶、一组力、一组力偶等。是做功的与位移有关的因素，称为与广义力相应的广义位移，可以是绝对线位移、绝对角位移、相对线位移、相对角位移等。,二、广义力和广义位移,（6-5）,三、刚体体系的虚功原理,刚体体系处于平衡的必要和充分条件是：对于符合约束条件的任意微小虚位移，刚体体系上所有外力所做的虚功总和等于零。,去掉约束而代以相应的反力，该反力便可看成外力。则有：,FP,P,B,-FP P+FB B=0,1,2,四、变形体的虚功原理,1、关于原理的表述,变形体系处于平衡的必要及充分条件是：对于符合约束条件的任意微小虚位移，变形体系上所有外力在虚位移上所做虚功总和等于各微段上内力在其变形虚位移上所做虚功总和。,或者简单地说，外力虚功等于变形虚功（数量上等于虚变形能）。,2、关于原理的证明,状态2:位移状态(另外原因引起),微段位移状态,微段受力状态,状态1:力状态,du,dv,d是状态2中的原因（荷载，温变支移等）引起的微段变形。,(1)按外力虚功与内力虚功计算（从变形的连续条件考虑）,dW总=dW外+dW内,将微段ds上的作用力区分为外力与内力，微段总的虚功：,整个结构的总虚功为：,或简写为：,W总=W外+W内,由于任何两相邻微段的相邻截面上的内力是成对出现的，它们大小相等，方向相反；,q,ds,q,M,FN,FQ,M+dM,FN+dFN,FQ+dFQ,A,某微段受力,ds,q,M+dM,FN+dFN,FQ+dFQ,右侧相邻微段受力,左侧相邻微段受力,ds,M,FN,FQ,C,D,B,D,C,A,B,又由于虚位移是光滑的、连续的，两微段相邻的截面总是紧密贴在一起的，而且有相同的位移，,因此，每一对相邻截面上的内力所做的虚功总是相互抵消的。由此可见，必有：W内=0；,因此：,W总=W外,（a）,(2)按刚体虚功与变形虚功计算(从力系的平衡条件考虑)将微段的虚位移区分为刚体虚位移和变形虚位移两类,微段总的虚功:,dW总=dW刚+dW变,由刚体虚功原理，可知：,dW刚=0,于是，微段上总的虚功：,dW总=dW刚+dW变=dW变,对于全结构，有：,因此有：,W总=W变,(b),比较（a）、（b）两式，可得：,W外=W变,就是我们需要证明的结论。它不仅适用于杆件结构，也适用于板、壳等非杆件结构。,(c),须注意的是：这里（b）中的W变与（a）中的W内是有区别的。（a）中的W内是指所有微段上内力在截面的总位移（包括刚体位移和变形位移两部分）上所做虚功的总和，如前所述，它恒等于零；而这里（b）中的W变仅指所有微段上内力在截面的变形位移上所做虚功的总和。,假如此微段上还有集中荷载或力偶荷载作用，可以认为它们作用在截面AB上，因而当微段变形时，它们并不做功。总之，仅考虑微段的变形虚位移而不考虑其刚体虚位移时，外力不做功，只有截面上的内力做功。对于平面杆系有,dW变=Md+FNdu+FQdv,(d),W变实际上是所有微段上内力在变形虚位移上所做虚功的总和，称为变形虚功（数量上等于虚变形能）。,（6-6）,由于微段上弯矩、轴力和剪力的增量dM、dFN和dFQ以及分布荷载q 在这些变形上所做虚功为高阶微量而可略去，因此微段上各力在其变形上所做的虚功为,1)变形虚功W变,对于平面杆系而言，因为单个外力虚功按式（6-5）W=FP计算，故所有外力（包括荷载和支座反力）在虚位移上所做虚功的总和为:,W外=SFPD,将有关W外和W 的计算式（e）和（d）代入式（c），则平面杆件结构的虚功方程可表示为:,（e）,（6-7）,平衡力系,位移状态,2)外力虚功W外,3、关于原理的说明,1）在上面的推证过程中，只考虑了力系的平衡条件和变形的连续条件。所以，虚功方程既可以用来代替平衡方程，也可以用来代替几何方程（即协调方程）。,2）虚功方程是个“两用方程”，具体应用时可有两种形式。鉴于力系与变形彼此是独立无关的，因此，a.如果力系是给定的，则可虚设位移，式（6-7）便称为变形体系的虚位移方程，它代表力系的平衡方程，常可用于求力系中的某未知力(3.8节)；b.如果位移是实有的，则可虚设力系，式（6-7）便称为变形体系的虚力方程，它代表几何协调方程，常可用于求实际位移状态中某个未知位移。本章即主要介绍虚力方程及其应用,（a）,实平衡力系,虚位移状态,（b）,虚平衡力系,实位移状态,虚位移方程,虚力方程,3）在推证式（6-7）时，没有涉及到材料的性质。因此，变形体系的虚功方程是一个普遍方程，既适用于弹性问题，也适用于非弹性问题。,4）变形体系的虚功原理同样适用于刚体体系。由于刚体体系发生虚位移时，各微段不产生任何变形位移，故变形虚功W变=0，于是式（6-6）成为,W=0,刚体体系的虚功原理只是变形体系虚功原理的一个特例。,（6-8）,6.3结构位移计算的一般公式单位荷载法,一、利用虚功原理计算结构位移,根据平面杆件结构的虚功方程（6-7），其等号左侧为,例,求K点位移，则在K点虚加一单位力Fp=1,虚平衡力系,实位移状态,于是有,即得,（6-9),此式适用于任何材料的静定或超静定结构。这种通过虚设单位荷载作用下的平衡状态，利用虚力原理求结构位移的方法，称为单位荷载法。该方法适用于结构小变形情况。广义单位荷载FP=1为外加单位荷载（FP上面不加横线表示），属单位物理量，是量纲1的量（以往称为无量纲量）。,一、利用虚功原理计算结构位移,（式中FR i、M，FN，FQ为虚设单位力作用下引起的反力和内力）,二、虚拟单位荷载的施加方法,应用单位荷载法每次只能求得一个位移。这个位移可以是线位移，也可以是角位移或相对线位移、相对角位移，即属广义位移。因此，需特别强调，当求任意广义位移时，所需施加的虚单位荷载，应是一个在所求位移截面、沿所求位移方向并且与所求广义位移相应的广义力。这里，“相应”是指力与位移在做功上的对应，如集中力与线位移对应，力偶与角位移对应，等等。,1）图示为求刚架 K 点沿 i-i方向的 线位移时的虚拟力状态。,2）图示为求刚架K截面角位移时的虚拟力状态。,3）图示为求刚架A、B两点沿其连线方向相对线位移时的虚拟力状态。,4）图示为求刚架A、B两截面相对角位移时的虚拟力状态。,二、虚拟单位荷载的施加方法,5）求桁架A、B两点沿其连线方向相对线位移时的虚拟力状态,6）桁架第i杆角位移时的虚拟力状态。施加于该杆两端结点的一对力正好构成一个单位力偶M=1，其中每一个力均为1/li且与该杆垂直，这里的li为第i杆的长度。,7）桁架第i与第j杆两根杆间相对角位移的虚拟力状态。施加于该两杆两端结点的各一对力，正好构成方向相反的一对单位力偶。,6.4静定结构在荷载作用下的位移计算(公式法),一、在荷载作用下位移计算的一般公式,当仅考虑荷载作用时，无支座位移项,式中，dq、du和dv是实际状态中由荷载引起的微段ds上的变形位移，对于弹性结构可由6.1节公式（6-1）进行计算，只是须注意，该公式中的各内力M、FN、FQ，应具体采用由实际状态中的荷载引起的内力MP、FNP、FQP。,(a),ds,ds,ds,g0,g0,du,dv,d,微段变形状态,6-1式,（6-7）,如果各杆均为直杆，则可用dx代替ds，即得荷载作用下位移计算的一般公式:,MP、FNP、FQP实际荷载引起的内力；,、虚设单位荷载引起的内力。,将6-1式代入(a)式得平面杆件结构在荷载作用下的位移计算公式:,关于内力的正负号规定如下：,轴力FN 以拉力为正；,剪力FQ 以使微段顺时针转动者为正；,弯矩 MP、只规定乘积 的正负号。当 与MP使杆件同侧纤维受拉时，其乘积取正值。,二、各类结构的位移公式,1、梁和刚架,在梁和刚架中，位移主要是弯矩引起的，轴力和剪力的影响较小，因此，位移公式可简化为,（6-9）,2、桁架,在桁架中，在结点荷载作用下，各杆只受轴力，而且每根杆的截面面积 A、轴力FN和FN沿杆长一般都是常数，因此，位移公式可简化为:,（6-10）,3、桁梁组合结构,在桁-梁组合结构中，梁式杆主要受弯曲，桁杆只受轴力，因此位移公式可简化为,（6-11）,4、拱,计算表明，通常只需考虑弯曲变形的影响，即可按式（6-9）计算。但当拱轴线与压力线比较接近（即两者的距离与杆件的截面高度为同量级），或者是计算扁平拱（f/l1/5）中的水平位移时，则还需要考虑轴向变形的影响，即有,（6-15）,而像拱坝一类的厚度较大的拱形结构，剪切变形的影响则需一并考虑。本节中所列出的在荷载作用下的位移计算公式，不仅适用于静定结构，也同样适用于超静定结构。,三、单位荷载法的计算步骤,1）列出在实际荷载作用下的MP的表达式（或作出荷载弯矩图MP图）；,2）施加相应的单位荷载，列出 的表达式（或作出单位弯矩图 图）；,3）计算位移值：将 和 MP代入公式（6-8），求出拟求的位移D。注意：须在计算所得的位移值后，加圆括号，注明位移的实际方向,【例6-1】试求图示简支梁在均布荷载作用下跨中截面C的竖向位移（即挠度）DCV。已知EI=常数。,解：(1)列出在实际荷载作用下的MP的表达式：,建立x坐标，如油图所示：当0 xl时，有：,(2)施加单位荷载，并列写在虚加单位荷载作用下的 M 表达式,根据拟求DCV，在点C加一竖向单位荷载，作为虚拟力状态，如右图所示。当0 xl/2时，有：,计算结果为正，说明点C竖向位移的方向与虚拟单位荷载的方向相同，即向下。,(3)计算位移值：梁只考虑弯矩引起的位移，故代入6-9式得：,例题61 求图610所示刚架A点的竖向位移Ay,讨论,【例6-2】试求图示简支刚架点D的水平位移DDH。已知EI=常数。,解：,例6-3】试求图示简支曲梁点A的水平位移DAH。已知EI=常数。,解：(1)列写在实际荷载作用下的MP的表达式,当0 xa时，,当axl时，,A,A,B,B,f,l,a,l-a,C,D,x,y,FP,FP,D,K1,K2,x,x,l-x,(0 xa),(axl),(2)列写在虚单位荷载作用下的、和 的表达式,(3)计算位移值,为了比较弯矩、轴力及剪力对位移的影响，设截面为圆形截面，A=pr2；r=R/10；=10/9，G=0.4E；I=pr4/4。代入最后计算式，求得,解：(1)计算在实际荷载作用下各杆的轴力FNP,(2)在点A加水平单位荷载，求各杆的轴力,(3)在点A加竖向单位荷载，求各杆的轴力,【例6-6】试求图示组合结构点A的水平位移DAH及竖向位移DAV。已知EI、EA均为常数。,解：(1)求实际荷载作用下梁式杆的MP图和桁杆的FNP,(3)根据拟求位移DAV，在点A加竖向单位荷载，并求出梁式杆的 图和桁杆的,6.5图形相乘法,计算梁和刚架在荷载作用下的位移时，常利用下式计算,一、简化的条件（适用条件）,1）杆件(或杆段)的轴线为直线；,2）杆件(或杆段)的EI为常数；,3）杆件(或杆段)的 M 图和 MP 图中至少有一个为直线图形。,(6-15),(a),二、简化方法,式中：dA=MPdx为MP图中微段dx对应的阴影部分的微分面积；而 即为整个MP图的面积对y轴的面积矩；用x0表示MP的形心至 y 轴的距离，则有,(b),将式（b）代入式（a），则有：,式中，y0=x0tana是MP图的形心C处所对应的M 图中的竖标。,可见，上述积分式等于一个弯矩图的面积A乘以其形心C处所对应的另一直线弯矩图上的竖标 y0，再除以EI。,这种以图形互乘代替积分运算的位移计算方法，就称为图形相乘法（图乘法）。,(6-16),图,x,y,O,x,x0,y0,dx,A,A,B,B,C,形心,面积A,MP图,y0=x0tana,a,如果结构上所有各杆段均可图乘，则位移计算公式可写为:,(6-17),例题：试求集中荷载P作用下跨中点C的挠度（EI为常数）。,A,B,C,l/2,P,l/2,A,A,B,B,C,C,K,K,x,l/2,l/4,1/2,1/2,1,A,A,B,B,C,C,K,K,x,l/2,Pl/4,P/2,P/2,P,解法一：用积分法。,1）求实际荷载下的弯矩 MP 随 x的关系式：,2）在所求的位移上加相应单位荷载，并求弯矩 M随 x的关系式：,3）代入积分公式（6-15）求位移。,MP=,M=,解法二：用图乘法。,1）作实际荷载下的弯矩图 MP 图；,2）根据所求的位移施加相应的单位荷载，并作单位弯矩图 M 图；,3）用图乘法公式（6-17）求位移：,A,A,B,B,C,C,K,C1,l/2,Pl/4,P/2,P/2,P,A1,A2,C2,三、应用图乘法的计算步骤,1）作出实际荷载作用下的弯矩图MP图；,2）根据所求的位移施加相应的单位荷载，并作出单位 弯矩图 M 图；,3）检查是否符合图乘法适用条件，当符合条件时用图 乘法公式（6-17）求位移。,四、应用图乘法的注意事项,1）y0 只能取自直线图形，而A 应取自另一图形。,2）当 A与y0 在弯矩图的基线同侧时，其互乘值取正号；在异侧时，应取负号。,3）需要记住几种常见简单图形的面积与形心位置（下页图）须注意的是：图中所示抛物线M图均为标准抛物线，即M 图曲线的中点（或端点）为抛物线的顶点:曲线顶点处 的切线与基线平行，该处剪力为零。,4）如果MP与M均为直线，则y0可取自其中任一图形。,5）如果M是折线图形，而MP为非直线图形，则应分段图乘，然后各段相加。,6）如果杆件为阶形杆（EI分段为常数），则应按各个EI段分 段图乘，然后各段相加，如图所示。,7）如果MP图为复杂的组合图形（由不同类型荷载按区段叠加法绘出），因而其面积和形心位置不便确定，则可用叠加法的逆运算，将MP图分解（还原）为每一种荷载作用下的几个简单图形，分别进行图形互乘，然后相加。,其中,梯形的分解：,当MP或M图的竖标a、b或c、d不在基线同侧时，如下图所示，处理原则仍和上面一样，可将MP分解为位于基线两侧的两个三角形（其中A1在上侧，A2在下侧），按上述方法，分别图乘，然后叠加。,MP图,A1,A2,y01,y02,a,b,c,d,l,图,8）抛物线非标准图形的分解,例6-7】试求图所示简支梁跨中截面C的挠度DCV和B端的转 角qB。已知EI=常数。,五、例题,(1)作实际荷载弯矩图，如右图所示。,(2)根据所求的位移施加相应单位荷载，并作单位弯矩图,(3)符合图乘法条件，用图乘法公式（6-17）求位移：,将MP图与 图相乘，则得,解：,(),将MP图与 图相乘，则得,【例6-8】试求图示悬臂梁端截面B的挠度DBV。已知EI=常数。,解法一,(1)作MP图，并按A1、A2、A3、A4 四部分划分，如图所示;(2)作M图(3)利用公式进行图乘,A,A,A,B,B,B,C,C,C,l/2,l/2,l,q,ql,A1,A2,A3,A4,y01,y02,y03,y04,l,MP 图,图,1,解法二,（1）作MP图，并按A1、A2两 部分划分，如图所示。（2）作M图（3）图乘,计算结果与前法完全相同，但因对MP图分块恰当，使计算更简便。,【例6-9】试求图示刚架截面D的水平位移DDH。已知EI=常数。,解：,(1)作MP图,(2)加相应单位荷载，作 图,(3)计算位移值：,CD杆MP图,【例6-10】试求图示刚架截面D的竖向位移DDV。,解：求解本题时注意：一是对于斜杆CD，应以杆轴为基线计算；二是对于阶形柱AC，应按EI不同分段图乘。三是静定结构的内力与刚度无关。,(1)作MP图,(2)作 图,(3)计算位移值：,【例6-11】试求图示三铰刚架铰C左右两侧面C1、C2的相对 转角。已知EI=常数。,解：,【例6-12】试求图示组合结构A、B两点在其连线方向上的相对 线位移DAB。已知桁杆的EA和梁式杆的EI均为常数。,解：,MP图、NP图,ql2/8,A1,1,1,图、图,y01,6.6静定结构由于支座移动引起的位移计算,静定结构当支座发生位移时，并不产生内力，也不产生 微段变形，而只发生刚体位移。这时，平面杆系结构位移计算的一般公式（6-9）可简化为：,（6-18）,位移计算的一般公式：,（6-9),（式中FR、M，FN，FQ为虚设单位力作用下引起的反力和内力）,式中:为虚拟状态中由单位荷载引起的与支座位移相应的支座反力；c为实际状态中与 FR 相应的已知的支座位移；S为反力虚功总和，当FR与c方向一致时，其乘积取正；相反时，取负。须注意，式（6-18）前面的负号，系原来推导公式（6-9）移项时所得，不可漏掉。,（6-18）,【例6-13】试求图示结构由于支座A发生竖向位移c1=2cm和转角c2=0.02rad所引起截面E的竖向位移DEV和转角qE。,解：(1)虚设相应单位力，求出单位支反力（FR），如图b、c所示。,A,B,C,D,c1,c2,qE,DEV,4m,4m,4m,2m,a)实际（位移）状态,1,b)虚拟力状态一,E,(2)利用公式（6-18），计算位移值：,(),c)虚拟状态二,1,A,B,C,D,c1,c2,qE,DEV,4m,4m,4m,2m,a)实际（位移）状态,E,【例6-14】试求图示桁架由于支座B发生竖向位移D所引起杆件BC的转角。,解：(1)虚设相应单位力,(2)利用公式（6-18），计算位移值：,a,a,a,A,A,B,B,C,C,D,D,D,实际状态,虚拟状态,6.7静定结构由于温度变化引起的位移计算,一、关于温度变化的假定,第一，温度沿杆件长度均匀分布；,第二，温度沿截面高度直线变化。,二、静定结构温度变形的特征,静定结构当温度发生变化时，各杆件均能自由变形（但不产生内力），温变（替代前面章节中由荷载引起的微元体上的内力）成为引起结构杆件微元体变形的原因，温度引起的变形作为实际位移状态，虚设单位力及其引起的内力作为虚平衡力系。虚力原理同样成立，同样可采用单位荷载法。,（6-19）,由于上述第一点假设：温度沿杆长度均匀分布，杆件不可能出现剪切变形（即微段dv=0）；同时注意到实际状态的支座位移为零即c=0（一方面，温变本身不会引起静定结构的支座移动；另一方面，因地基沉陷等原因引起的支移产生的位移已按上节课单独考虑）。因此，位移公式（6-9）可进一步简化为,式中，dq 和du为实际温度状态下，因材料热胀冷缩所引起的各微段的弯曲变形和轴向变形。只要能求出dq 和du的表达式，即可利用（6-19）求得结构的位移。,三、关于du 的计算表达式,截取一微段ds,截面变形之后仍保持为平面。其上侧、下侧形心轴处纤维伸长分别为：,du1=at1ds,du2=at2ds,du=at0ds,式中，a为材料的温度线膨胀系数。,按几何关系可得中性轴温度的变化为:,故得:,（6-20a）,当截面对称于形心轴，即 时，则式（6-20a）成为,（6-20b）,于是，温度变化引起的微段轴向变形:,（6-21）,四、关于dq 的计算表达式,若将上下边缘温差记为:,（6-22）,则温度引起的微段弯曲变形可表达为:,（6-23）,五、静定结构由于温度变化引起的位移计算公式,将式（6-21）和式（6-23）代入式（6-19），即得：,若t0、Dt和h沿各自杆件全长为常量，则：,即,（6-25b）,式中:，为 图的面积；，为 图的面积。,对于梁和刚架，在计算温度变化引起的位移时，轴向变形的影响一般不容忽视。,六、关于符号的规定,当实际温度变形与虚拟内力方向一致时，变形虚功为正，即其乘积为正（或：温变、单位荷载在杆件同侧纤维上引起的变形一致时，其乘积为正），反之则为负。据此：如Dt取绝对值，当M 图位于高温一侧时，第一项乘积为正；如 t0 以升高为正，当 F 为拉力时为正，则第二项乘积为正。,七、静定结构由于制造误差引起的位移计算,对于桁架，在温度变化时，其位移计算公式为:,（6-26）,当桁架的杆件长度因制造误差而与设计长度不符时，由此引起的位移计算与温度变化时相类似。设各杆长度的误差为Dl（伸长为正，缩短为负），则位移计算公式为：,（6-27),【例6-15】图6-30a所示刚架施工时温度为20，试求冬季当外侧温度为-10，内侧温度为0时，C点的竖向位移DCV。已知：l=4m，a=1x10-5，各杆均为矩形截面，高度h=40cm。,解：,外侧温变为:t1=(-10)-20=-30,内侧温变为:t2=0-20=-20,(1)计算温变参数,(2)加相应单位荷载，作 图和 图,升温为正,(3)代入公式计算温变引起的位移,受拉为正,【例6-16】图6-31a所示结构杆DE由于制造误差过长Dl=2cm，试求铰C左右两侧截面C1、C2的相对转角。a=2m.,解：,(),A,A,B,B,C,C,D,D,E,E,F,F,G,G,C1,C2,D1,E1,F1,G1,a,a,a,a,a,1,1,*6.8具有弹性支座的静定结构的位移计算,一、弹性支座,弹性支座是指支座本身受力后将会发生弹性变形的支座。弹性支座有两种常见的类型：抗移动弹性支座和抗转动弹性支座。,二、位移计算,6.9线弹性体系的互等定理,本节讨论的四个普遍定理互等定理，是采用小变形和线弹性的假定，并根据虚功原理导出的。1.虚功互等定理。是四个定理中最基本的（亦简称功的互等定理）；2.位移互等定理3.反力互等定理 是应用虚功互等定理的三个特例4.反力与位移互等定理。,一、虚功互等定理,表述:一个弹性结构，第一状态的外力在第二状态的位移上所做的外力虚功（W12），等于第二状态的外力在第一状态的位移上所做的外力虚功（W21）。即:,证明:,设有两组外力FP1和FP2分别作用于同一线弹性结构上，如图所示，分别称为结构的第一状态和结构的第二状态。,第一状态的力在第二状态的位移上做虚功，则根据虚功方程W外=W变，可得,（a）,第二状态的力在第一状态的位移上做虚功，可得,(b),以上两式的右边完全相同，因此左边也应相等，故有:,或写为,证毕,二、位移互等定理,位移互等定理是虚功互等定理的一个特殊情况。,这就是位移互等定理。它表明：第二个单位力引起的第一个单位力的作用点沿其方向的位移（d12），等于第一个单位力引起的第二个单位力的作用点沿其方向的位移（d21）。,如果图的FP1和FP2都是单位力（量纲为1），相应的位移由D 改为d 表示，则有,须注意：1.这里的单位力及其相应的位移可以是：广义力和相应的广义位移。2.位移互等可以是两个线位移之间的互等、两个角位移之间的互等，也可以是线位移与角位移之间的互等。,位移互等定理将在力法计算超静定结构中得到应用。,在图示的两个状态中，根据位移互等定理应有q21=d12。,即,三、反力互等定理,这个定理也是虚功互等定理的一个特殊情况。,在图示的两个状态中,根据虚功互等定理，有,如果令：D1=D2=1，则得,D 1=1,D 1=1,D2=1,1,1,2,2,k12,k21,反力互等定理：约束1发生单位位移所引起的约束2的反力（k21），等于约束2发生单位位移所引起的约束1的反力（k12）。,须注意：1.这个定理对结构上任何两个支座都适用，2.反力与位移在做功的关系上相对应，即力对应线位移，力偶对应角位移。图中，k21为反力，k12为反力偶，虽然含义不同，但此二者在数值上是相等的，量纲也相同。,反力互等定理将在位移法计算超静定结构中得到应用。,四、反力与位移互等定理,这个定理是虚功互等定理的又一特殊情况。,对上述两个状态应用虚功互等定理，第一状态的外力在第二状态的位移上所做的外力虚功（W12）,而第二状态的外力在第一状态的位移上所做的外力虚功（W21）由于无外荷载，所以:,因此，由虚功互等定理W12=W21，恒有,虚力状态,非荷载(支移)作用状态,如果令：D2=1，FP1=1，故,反力与位移互等定理：单位力所引起结构某支座反力（k21），等于该支座发生单位位移时所引起的单位力的作用点引起方向的位移（d12），但符号相反。,反力与位移互等定理将在混合法计算超静定结构中得到应用。,2、功的互等定理只适用于静定结构（）,4、图示结构桁架中，腹杆截面的大小对C点的竖向位移有影响。（）,练习题：（选择与判断）,1、功的互等定理适用于线性和非线性变形体系。（）,3、虚功中的力状态和位移状态是彼此独立无关的，这两个状态中，任一个都可以虚设。（）,14题图,5、虚位移原理等价于变形协调条件，可用于求体系的位移。（）,6、在荷载作用下，刚架和梁的位移主要由于各个杆的弯曲变形引起。（）,返 回,返 回,返 回,9、图示结构La0 B点的水平位移是（）A、向右 B、向左C、等于零 D、不一定,7、图示桁架C点的水平位移不等于零。（）,8、应用虚力原理求体系的位移时，虚设力状态可在需求位移处添加相应的非单位力，亦可求的该位移。（）,7题图,10、图示刚架在荷载作用下，铰B向下的竖向位移为（）,9题图,B,