结构力学矩阵位移法.ppt

结构力学教程（I）,第10章 矩阵位移法,10-1 概述10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵10-4 连续梁的整体刚度矩阵10-5 刚架的整体刚度矩阵10-6 荷载列阵10-7 计算步骤及算例10-8 忽略轴向变形时刚架的整体分析10-9 桁架结构的整体分析,主要内容,10-1 概述,1、结构分析方法 1）传统方法前面介绍的力法、位移法、力矩分配法等都是传统的结构分析方法,适用于手算,只能分析较简单的结构。2）矩阵分析方法矩阵力法和矩阵位移法，或称为柔度法与刚度法等都被称为矩阵分析方法。它是以传统结构力学作为理论基础、以矩阵作为数学表达形式，以计算机作为计算手段的电算结构分析方法，它能解决大型复杂的工程问题。,2、基本思路,1）手算位移法（1）取基本体系构造各自独立的单跨超静梁的组 合体；（2）写出杆端弯矩表达式建立各杆件的杆端弯矩与杆端位移间的关系；,3）矩阵位移法它是以结点位移作为基本未知量的结构分析方法。由于它易于实现计算过程程序化，故本章只对矩阵位移法进行讨论。杆件结构的矩阵位移法也被称为杆件结构的有限元法。,10-1 概述,（3）根据结点、截面的平衡条件建立力的平衡方程，即位移法方程。2）矩阵位移法（1）结构离散化划分单元；（2）单元分析建立单元的杆端力与杆端位移间的关系，形成单元刚度矩阵；（3）整体分析建立整个结构的结点位移与结点荷载间的关系，形成结构刚度矩阵。,10-1 概述,下面用一道例题来说明矩阵位移法的基本思路。,用位移法解该题：,2、杆端弯矩：,1、未知量：,10-1 概述,3、建立方程：,4、解方程得：,5、回代得：杆端弯矩,10-1 概述,把以上解题过程写成矩阵形式：1、确定未知量：可以通过编号来解决（一个结点一个转角未知量）。2、杆端弯矩表达式（按杆件来写）,1-2杆,单元刚度方程,10-1 概述,2-3杆,单元刚度方程,10-1 概述,3、位移法方程：,位移法方程写成矩阵形式：,整体刚度矩阵,4、解方程得：,5、回代得：杆端弯矩,以上五个方面就是我们在本章中需仔细研究的。,10-1 概述,结点荷载列阵,结点位移列阵,10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵,1、单元划分及编号,在杆系结构中以自然的一根杆件 为一个单元，并以加圈的数字为记号。如图所示为刚架的单元划分。,2、结点编号及未知量确定,结点编号的作用：,用于单元定位确定未知量,结点编号的方法：,先处理法后处理法,因此一个刚结点就有3个位移：，而且支 座位移也要作为未知量。,在确定未知量时：,不忽略轴向变形；,所有单元都是两端固定的。,10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵,后处理法：结点编号如图所示，,先处理法：,例1：,因此未知量为6个。,结点编号如图所示，编号顺序为：先水平，后竖向，再转动。位移为零编“0”号。,由于：,10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵,后处理法：单元编号如图所示，,先处理法：,例1：,单元编号如图所示，,单元两头的结点号为：“1”、“2”，如果结点的坐标已知，单元的位置就定了。,单元两头的结点号为：“1,2,3”、“4,5,6”，如果结点的坐标已知，单元的位置同样定了。,10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵,后处理法：结点编号如图所示，,例2：,由于：,因此未知量为7个。,先处理法：结点编号如图所示，7个未知量，号就编到7。,10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵,先处理法：,后处理法：,例3：,结点编号如图所示，,由于：,因此未知量为8个。,结点编号如图所示，8个未知量，号就编到8。,10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵,先处理法：,后处理法：,例3：,单元编号如图所示，,单元编号如图所示。,10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵,后处理法：,例4：,结点编号如图所示，,桁架一个结点2各线位移，由于：,因此未知量为5个。,先处理法：,结点编号如图所示，,8个未知量，号就编到8。,10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵,后处理法：,例4：,单元编号如图所示，,先处理法：,单元编号如图所示，,10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵,3、建立坐标,坐标系：,局部坐标整体坐标,1）局部坐标,作用：用于表明杆端力及单元定位,方法：x 轴与杆件重合及顺时针转原则。标法如图所示，箭头表示x 轴的方向，y轴 不标出。单元的起始点是“1”，终点是“2”。,10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵,后处理法：,例4：,局部坐标如图所示，,单元定位向量：,先起始点后终点,10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵,例4：,先处理法：,局部坐标如图所示，,单元定位向量：,10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵,2）整体坐标,作用：用于建立位移法方程,方法：可根据结构情况及顺时针转原则建立。,表述杆端力时每根杆件都需要一套局部坐标，但建立位移法方程时每个结构则需要一个统一的坐标。,10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵,4、单元刚度矩阵,单元刚度矩阵两端固定单元，由两端发生单 位位移产生的杆端力的矩阵形式。,单元刚度矩阵,局部坐标下的单元刚度矩阵,整体坐标下的单元刚度矩阵,本节先介绍局部坐标下的单元刚度矩阵,以两端固定单元为研究对象，让其两端各发生3个位移，求出6个杆端力，然后写成矩阵形式，即可得到单元刚度矩阵。,10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵,单元形式 两端固定单元杆端位移 每端各三个位移，杆端力 每端各三个杆力，正负号规定 与局部坐标一致为正，相反为负。,10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵,10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵,10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵,当两端固定单元的两端同时发生六个位移时，六个杆端力可利用叠加原理求出：,1号杆端,2号杆端,10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵,把杆端力与杆端位移的表达式写成矩阵形式：,=,10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵,=,可缩写成:,-单元刚度方程,10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵,单元刚度方程：,其中：,-单元杆端力列阵,-单元杆端位移列阵,10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵,=,-单元刚度矩阵,也可写成：,1,2,2,1,10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵,单元刚度矩阵的性质,单元刚度矩阵是杆端力用杆端位移来表达的联系矩阵。,第k列元素分别表示当第k个杆端位移=1时引起的六个 杆端力分量。,一般单元的单元刚度矩阵是奇异矩阵。，不 存在逆矩阵。,10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵,=,1,2,2,1,由上述一般单元的刚度矩阵，可以根据实际情况处理后，得到特殊情况下的单元刚度矩阵。,10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵,1 2 3 4 5 6,123456,例如：已知两端固定单元两头只发生转角，其它位移等于零，同时只需要写杆端弯矩。处理的方法是：把下面刚度矩阵的第1、2、4、5行和列划掉即可。,10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵,两端固定单元两头只发生转角的单元刚度矩阵：,10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵,1 2 3 4 5 6,123456,又如：已知两端固定单元没有轴向变形，也不需要写杆端轴力。处理的方法是：把下面刚度矩阵的第1、4行和列划掉即可。,10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵,两端固定单元不考虑轴向变形的单元刚度矩阵：,10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵,1 2 3 4 5 6,123456,再如：对于轴力杆件的单元刚度矩阵，处理的方法是：把下面刚度矩阵的第2、3、5、6行和列划掉即可。,10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵,轴力杆件的单元刚度矩阵应该是22的，但考虑到斜杆在整体坐标中的需要，写成44的。,10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵,10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵,整体坐标下的单元刚度矩阵,如前所述，为了表述杆端力，需要每个单元都要有自己的一套局部坐标系。但当要建立位移法方程时，则需要结构有一套统一的整体坐标系，因此在建立方程之前，必须把局部坐标下的单元刚度矩阵转换成整体坐标下的。下面以一根斜杆为例，说明两套坐标系的转换方法。,10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵,局部坐标系中的杆端力,整体坐标系中的杆端力,局部坐标系中杆端力与整体坐标系中杆端力之间的关系：,局部坐标系中的杆端力,整体坐标系中的杆端力,10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵,其中：T单元坐标转换矩阵,同理：,可缩写成：,写成矩阵形式,10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵,T单元坐标转换矩阵；,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,T=,其中：,是一正交矩阵,T-1=TT。,10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵,整体坐标系中的单元刚度矩阵,局部坐标下的单元刚度方程：,将、式代入式，有：,与 比较，令：,杆端力、杆端位移局部坐标和整体坐标的关系式：,等式两边前乘，得：,10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵,与 同阶，性质类似：,一般单元的 是奇异矩阵。,是对称矩阵。,表示在整体坐标系第j个杆端位移分量=1时引 起的第i个杆端力。,整体坐标下的单元刚度矩阵：,10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵,计算步骤：,1）对每个结点（包括支座结点）用先处理法或后处理法进行编号；对每个单元进行编号；对每个单元分别建立局部坐标；对结构建立一套整体坐标。,2）对每个单元按式写出局部坐标下的单元刚度矩阵。,3）对每个单元按式写出坐标转换矩阵。,4）对每个单元按式求出整体坐标下的单元刚度矩阵。,10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵,例1：求图示结构各单元的整体刚度矩阵，杆长5m,A=0.5m2,I=1/24m4,E=3104Mpa。,解：1）编号、建立坐标如图所示。,2）写出各单元局部坐标下的刚度矩阵。,10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵,3）写出各单元整体坐标下的刚度矩阵,10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵,1 2 3 0 0 0,1 2 3 0 0 0,1,2,2,1,10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵,例2：,求整体坐标下的单元刚度矩阵A=0.5m2,I=1/24m4,E=3107Mpa。,解：编号建立坐标如图所示。,10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵,由于单元的局部坐标与整体坐标一致，因此：,10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵,单元：=36.870,转换矩阵为：,T,10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵,10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵,10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵,1、编号、建立坐标如图所示。2、单元刚度矩阵（局部坐标与整体坐标是一致的）。,10-4 连续梁的整体刚度矩阵,重做一下概述中的例题：,3、位移法方程整体刚度方程,这是目前会做的,由前面得到的位移法方程：,10-4 连续梁的整体刚度矩阵,写成矩阵形式：,可以缩写成：,整体刚度方程,10-4 连续梁的整体刚度矩阵,整体刚度方程：,其中：,整体刚度矩阵,结构位移列阵,结构荷载列阵,本节中主要讨论连续梁的整体刚度矩阵。,整体刚度矩阵形成步骤：,把单元的定位向量标在整体坐标下的单元刚度矩阵边上；把单元刚度矩阵中已知支座位移为零的行和列划去；整体刚度矩阵K的阶数等于结构未知量数，若未知量为n，K就是nn的方阵；把各单元刚度矩阵ke按定位向量对入座于整体刚度矩阵，形成K。,10-4 连续梁的整体刚度矩阵,例1：,2）单元刚度矩阵,10-4 连续梁的整体刚度矩阵,解：1）编号及建立坐标,3）整体刚度矩阵,2 3 4 5 6,2 3 4 5 6,4i1,10-4 连续梁的整体刚度矩阵,例2：,单元刚度矩阵：,0 0 0 1,0001,10-4 连续梁的整体刚度矩阵,整体刚度矩阵：,0 1 2 0,0120,=,10-4 连续梁的整体刚度矩阵,1,2,2,1,10-5 刚架的整体刚度矩阵,刚架的整体刚度矩阵一定求解方法与连续梁的基本相同，步骤如下：,1）编号、建立坐标。2）写出局部坐标下的单元刚度矩阵。3）把局部坐标下的单元刚度矩阵转换成整体坐标下的。4）把单元定位向量标在整体坐标下的单元刚度矩阵边上，并划去已知支座位移等于零的行和列。5）按定位向量号用对号入座的方法集合成整体刚度矩阵。,例1：求图示结构各单元的整体刚度矩阵，杆长5m,A=0.5m2,I=1/24m4,E=3104Mpa。,解：1）编号、建立坐标如图所示。,2）写出各单元局部坐标下的刚度矩阵。,10-5 刚架的整体刚度矩阵,1 2 3 0 0 4,123004,13,1 3,10-5 刚架的整体刚度矩阵,1 2 3 0 0 0,1 2 3 0 0 0,1,2,2,1,10-5 刚架的整体刚度矩阵,拼装整体刚度矩阵：,0 0 0 0 12 30 30 0 30 100 50 0 30 50 100,1 2 3 4,1234,+100,+12,-30,+300,-30,10-5 刚架的整体刚度矩阵,整体刚度矩阵的特点：,1）整体刚度系数（ki j）的意义 表示当第j个结点位移分量1=1（其它结点位移分量为零）时所产生的第i个结点力Fi；2）整体刚度是对称矩阵（反力互等定理）；3）整体刚度矩阵是满秩非奇异矩阵（先处理法，已考虑约束条件）；4）整体刚度矩阵是稀疏、带状矩阵（有许多零元素，且非零元素都分布在以主对角线为中心的倾斜带状区城内）。,10-5 刚架的整体刚度矩阵,例2：图示有中间铰刚架，求其整体刚度矩阵。,10-5 刚架的整体刚度矩阵,1,4,2,1,2,3,杆长5m,A=0.5m2,I=1/24m4,E=3104Mpa。,3,4,5,6,4,5,7,0,0,0,0,0,0,5,解：1）编号、建立坐标,2）整体坐标下的单元刚度矩阵,104,1 2 3 4 5 6,12 3 4 5 6,1,1,2,2,10-5 刚架的整体刚度矩阵,1 2 3 0 0 0,12 3 0 0 0,1,1,4,4,10-5 刚架的整体刚度矩阵,4 5 7 0 0 0,45 7 0 0 0,3,3,5,5,10-5 刚架的整体刚度矩阵,1 2 3 4 5 6 7,K,1234567,10-6 荷载列阵,把位移法方程写成矩阵形式：,-结点荷载列阵,一列n行，n未知量的个数，由作用在结点上的集中力组成，按编号的顺序及 的顺序由上而下排列，若某方向上没有集中力就填0。,-等效结点荷载列阵,-整体刚度方程,其中 F-荷载列阵,荷载列阵通常有两部分组成:,10-6 荷载列阵,例：,例：,由节间荷载组成：,例：,（a）内力=（b）内力+（c）内力（b）内力：固端力可查表（c）内力：用矩阵位移法求解,2）等效结点荷载列阵,原结构（a）,（b）,（c）,=,+,等效结点荷载,10-6 荷载列阵,把所有有结点位移的地方用附加刚臂或链杆固定起来，求出这些刚臂和链杆中的反力，把反力反向的加在结点上，即为等效结点荷载。,等效结点荷载求解方法：,=,+,10-6 荷载列阵,取出“1”号结点,等效结点荷载,下一步的工作是如何把以上的计算过程用矩阵形式来表示。,10-6 荷载列阵,取、单元，求出固端力，并按局部坐标写成矩阵形式，称为局部坐标下的单元固端力列阵。,10-6 荷载列阵,把局部坐标下的单元固端力列阵转换成整体坐标下的，并反号，称为整体坐标下的单元固端力列阵。,FP,10-6 荷载列阵,把定位向量标在整体坐标下的单元固端力列阵边上。,10-6 荷载列阵,按对号入座的方式，求出等效结点荷载列阵。,0,+0,1）求出局部坐标下的单元固端力列阵；,2）求出整体坐标下的单元固端力列阵；,3）按定位向量形成等效结点荷载列阵。,10-6 荷载列阵,例：求图示结构的等效结点荷载P。,解:1）求,单元,单元,8kN,10-6 荷载列阵,2）求,1 2 3 0 0 4,123000,P=,1234,10-6 荷载列阵,=,1）编号及建立坐标；,3）求出整体坐标系下的单元刚度矩阵；,5）求出结构的荷载列阵；,10-7 计算步骤和算例,6）解方程，求出结点位移。,7）按公式：求出各杆杆端内力。,2）求出局部坐标系下的单元刚度矩阵；,4）按单元定位向量形成整体刚度矩阵；,10-7 计算步骤和算例,例1：求图示结构的内力。横梁b1h1=0.5m 1.26m,立柱b2h2=0.5m 1m。,解:1)编号、建立坐标,10-7 计算步骤和算例,2）局部坐标下的单元刚度矩阵,梁的原始数据：,柱的原始数据：,10-7 计算步骤和算例,10-7 计算步骤和算例,103,10-7 计算步骤和算例,3)整体坐标下的单元刚度矩阵,单元、(=90o)坐标转换矩阵为：,10-7 计算步骤和算例,转换后单元、在整体坐标下的刚度矩阵为：,1 2 3 0 0 0,123000,4 5 6 0 0 0,456000,10-7 计算步骤和算例,103,单元的局部坐标与整体坐标一致，因此没有必要转换。,1 2 3 4 5 6,123456,10-7 计算步骤和算例,4）按单元定位向量形成整体刚度矩阵,三个单元的定位向量如下：,把三个单元的定位向量标在整体单元刚度边上。,10-7 计算步骤和算例,1 2 3 4 5 6,123456,10-7 计算步骤和算例,5）求荷载列阵,（1）固端力列阵 局部坐标下的,（2）固端力列阵 整体坐标下的,（3）等效结点 荷载列阵,123000,123456,由于没有结点荷载，因此荷载列阵等于等效结点荷载列阵。,10-7 计算步骤和算例,6）解方程,由方程解得结点位移如下：,10-7 计算步骤和算例,7）求杆端力,单元：,10-7 计算步骤和算例,单元：,10-7 计算步骤和算例,单元：,10-7 计算步骤和算例,8）根据杆端力绘制内力图,M图(kN.m),FQ图(kN),FN图(kN),0.43,10-7 计算步骤和算例,1.24,对图示刚架进行分析时忽略轴向变形。,2）单元定位向量,10-8 忽略轴向变形时刚架的整体分析,2,因此，1、2、3号点的竖向位移等于零，并且水平位移相等。,1）编号及建立坐标,0,0,0,0,0,0,1 0 2 1 0 3,10 2 1 0 3,1,1,2,2,3）整体坐标下的单元刚度矩阵,10-8 忽略轴向变形时刚架的整体分析,1 0 2 0 0 0,10 2 0 0 0,1,1,4,4,10-8 忽略轴向变形时刚架的整体分析,1 0 4 0 0 0,10 4 0 0 0,3,3,5,5,10-8 忽略轴向变形时刚架的整体分析,1 2 3 4,K,1234,10-8 忽略轴向变形时刚架的整体分析,1 2 3 4 5 6 7,1234567,10-8 忽略轴向变形时刚架的整体分析,上述工作还可以这样处理：对考虑轴向变形的整体刚度矩阵进行修正：把已知位移为零的行和列划掉，把已知位移相等的行和列相加。,12,12,-30,12+12,-30,局部坐标下的单元刚度方程：,10-9 桁架结构的整体分析,坐标转换矩阵：,10-9 桁架结构的整体分析,例：求图示桁架内力(EA=常数)。,解：1）编号及坐标如图：,2）局部坐标下的单 元刚度矩阵,e=,e=,10-9 桁架结构的整体分析,3）整体坐标下的单元刚度矩阵ke,单元、=90,单元、=90,10-9 桁架结构的整体分析,单元=45,单元=135,10-9 桁架结构的整体分析,4）整体刚度矩阵K,5）结点荷载列阵,1 2 3 4,1234,1 2 3 4,10-9 桁架结构的整体分析,6）解方程,解得：,10-9 桁架结构的整体分析,7）杆端力计算,