线性代数课件-09向量组的秩与向量空间.ppt

1,主要内容,第九讲 向量组的秩与向量空间,向量组的最大无关组和向量组的秩的定义及 等价定义；,基本要求,向量组的秩与矩阵的秩的关系，向量组的秩 和最大无关组的求法；,向量空间的概念，向量空间的基和维数、子 空间、向量组所生成的空间等概念及有关结论.,理解向量组的最大无关组和向量组的秩的概 念，知道向量组的秩与矩阵的秩的关系.会用 矩阵的初等变换求向量组的秩和最大无关组.,知道向量空间、向量空间的基和维数、子空 间、向量组所生成的空间的概念.会求向量在 基中的坐标.,2,一、向量组的秩与最大无关组,第三节 向量组的秩,定义,向量组 线性无关；,设有向量组，如果在 中能选出 个向量，满足,向量组 中任意 个向量（如果 中有 个向量的话）都线性相关.,那么称向量组 是向量组 的一个最大线性无关向量组，简称最大无关组，最大无关组所含向量个数 称为向量组 的秩，记作.,只含零向量的向量组没有最大无关组，规定它的秩为0.,3,例如 设向量组,线性无关；,线性相关，所以,是向量组 的最大无关组，且.,另外，也线性无关，所以,也是向量组 的最大无关组.,同理，也是向量组 的最大无关组.,4,说明,这个定义是把秩的概念引申到向量组中来，给 秩的概念赋予几何解释.并且由于向量组可以含 无限多个向量，从而使秩的概念深入到更广阔 的领域.,定义表明最大无关组就是含向量个数最多的线 性无关的部分组.,向量组的最大无关组一般不唯一.若向量组 的 秩为，则向量组 中任意 个线性无关的向量 组成的向量组都是它的最大无关组.,5,二、向量组的秩与矩阵的秩的关系,1.定理的引入,记,根据最大无关的定义，知,所以 中存在 阶非零子式，即矩阵 中含有 阶非零子式.,另一方面，如果 中有 阶子式 不为零，则,矩阵 中 所在的 列 线性无关（因为矩阵 的秩为）.,设向量组 的秩为，且 是它的一个最大无关组.,这与 是 的列向量组的最大无关组矛盾.,因此,即，矩阵的列向量组的秩等于矩阵的秩.,6,2.定理6,矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩.,证,设,并设 的 阶子式.,由 知，在 中 所在的 列线性无关；,又由 中所有 阶子式均为零知，中任意 个列向量都线性相关.,因此，所在的 列是 的列向量组的一个最大无关组，,所以 的列向量组的秩为.,类似可证矩阵的行向量组的秩等于矩阵的秩.,7,说明,根据上述定理，有限向量组的秩的记号与矩阵 的秩的记号不加区分.,向量组 的秩也记作,此定理给出了向量组的秩和最大无关组的求法.,向量组的秩等于它所构成的矩阵的秩；,最高阶非零子式所在的列向量，就是列向量组的最大无关组.,由此可知，前面介绍的定理1、2、3、4中出现 的矩阵的秩都可该为向量组的秩.,8,例1 全体 维向量构成的向量组记作，求的一个最大无关组及 的秩.,解,我们已经知道，维单位坐标向量组,析：此例的目的是熟悉向量组的最大无关组和向量组秩的定义.联系后面的向量空间的概念，知 是一个 维向量空间，是它的一个基，称为 的自然基.,是线性无关，,又 中的任意 个向量（维）都线性相关，,因此向量组 是 的一个最大无关组，且 的秩等于.,显然，的最大无关组很多，任何 个线性无关的 维向量都是 的最大无关组.,9,三、最大无关组的等价定义,1.结论的引入,问题：向量组与其最大无关组有什么关系呢？,设向量组 是向量组的最大无关组，,显然，向量组 能由向量组 线性表示：,另一方面，因为向量组 是向量组 的最大无关组，所以向量组 中任意 个向量都线性相关，,特别地，对于 中任一向量，向量组,线性相关，因此,线性表示，,所以向量组与其最大无关组等价.,即向量组 能由向量组 线性表示.,10,2.推论（最大无关组的等价定义）,设向量组 向量组 的一个部分组，且满足,向量组 线性无关；,向量组 的任一向量都能由向量组 线性表示，,（向量组 与 等价）,那么向量组 就是向量组 的一个最大无关组.,11,证,析：按所设，要证明向量组 是向量组 的一个最大无关组，只要证明向量组 中任意 个向量线性相关.,设 是向量组 中任意 个向量，,按条件知，能由向量组 线性表示，从而有,（由定理3）,于是，由定理4知，,线性相关，,因此向量组 是向量组 的一个最大无关组.,12,例2 设齐次线性方程组,的全体解向量构成的向量组为，求 的秩.,解,析：此题的目的是运用“最大无关组的等价定义”求向量组的最大无关组和秩.,先解方程,13,得,所以方程组的通解为,再写出向量组，,14,把上式记作,则,即 能由向量组 线性表示，而 显然是线性无关的.,因此根据最大无关组的等价定义知，,是 的最大无关组，从而.,15,四、含无限个向量的向量组的结论,利用最大无关组和向量组的秩，可以把定理1、2、3推广到含无限个向量的向量组：,16,定理2 设向量组 表示由向量组 与向量组 合并而成的向量组，则向量组 能由向量组 线性表示充要条件是.,定理3 设向量组 能由向量组 线性表示，则,定理3 设向量组 能由向量组 线性表示，则,证明,17,例3 设向量组 能由向量组 线性表示，且它们的秩相等，证明向量组 与向量组 等价.,证,析：本例的目的是熟悉各种关系（矩阵与矩阵关系、向量组与向量组关系、向量组的秩与向量组的秩关系等）之间的转换.,用 表示由向量组 与 合并起来的向量组，,因 组能由 组线性表示，所以,又已知，故有,因此根据定理2的推论，知,组与 组等价.,18,说明,本例也可改述成下列两个命题：,设向量组 能由向量组 线性表示，则组 与 组等价的充要条件是；,设，则向量组 与向量组 等价的充 要条件是 组能由 组线性表示（或 组能由 组线性表示）.,必须注意，两个向量组的秩相等，这两个向量 组是不一定等价.,19,解,析：此例无论在理论上还是计算实践上都具有重要意义.此例的理论依据是：,则 与 的列向量组各向量之间具有相同的线性关系.,主要依据是矩阵 的行最简形.,20,可见,故 的列向量组的秩为3，,而矩阵 的行阶梯形的3个非零行的非零首元在1、2、4三列，,故 为列向量组的一个最大无关组.,21,所以 的列向量组 与有相同的线性关系，,而 是单位坐标向量，容易看出 有如下线性关系：,因此 也有如下线性关系：,22,说明,这是一道典型例题，具体方法是：,用初等行变换将 化为行最简形；,由 的非零行数知，的列向量组的秩；,若，则 中有 列为单位坐标向量，中其余各列可以非常方便地写成它们的线性组合；,根据 与 的列向量组有相同的线性关系，的列向组中蕴含的复杂线性关系就随之而知：,中对应于 中 的列构成 的列向量组的最大无关组；,中其余列向量用此最大无关组线性表示的系数与 中对应列用线性表示的系数依次相同.,23,五、小结,把秩的概念引入向量组后，使方程组、矩阵、向量组三者之间的转换的几何意义更加深刻.,向量组的最大无关组是把有限向量组的结论推 广到无限向量组的“桥梁”.,最大无关组的两个等价定义：,向量组 线性无关；,向量组 中任意 个向量都线性相关,设向量组 向量组 的一个部分组，且满足,那么向量组 就是向量组 的一个最大无关组.,24,一、向量空间的概念,第四节 向量空间,不是空集；,（对于向量加法封闭）,（对于向量与数的乘法封闭）,那么称集合 为向量空间.,25,例如,因为3维向量的和仍然是3维向量，数乘3维向量仍然是3维向量，另外，显然非空.,一般地，维向量的全体 也是一个向量空间.,是一个向量空间.,设,则,于是,另外，显然非空，所以 是一个向量空间.,这是因为,26,集合,不是向量空间.,这是因为,设,则有,而,不满足数乘的封闭性.,设 是两个已知的 维向量，集合,是一个向量空间.,显然 非空；,这是因为,若,则有,线性组合的全体,27,二、向量组所生成的向量空间,定义,再例如,齐次线性方程组,的解集为.,因为,所以 是一个向量空间，称为解空间.,向量组 的线性组合的全体，称为由向量组 所生成的向量空间，记作,28,例5（结论）设向量组 与向量组 等价，记,试证.,（即等价的向量组所生成的向量空间相同）,证,析：要证，即证,又因为 能由 线性表示，,则 能由 线性表示，,所以 能由 线性表示，,设,即有,这就是说,因此,因此,29,三、子空间,1.定义的引入,维向量的全体 是一个向量空间.,是一个向量空间.,这两个向量空间有什么关系呢？,显然这两个向量空间的元素都是 维向量，并且有,30,2.定义,设有向量空间 及，若，则称 是 的子空间.,任何由 维向量所组成的向量空间，总有,所以这样的向量空间总是 的子空间.,31,四、向量空间的基与维数,1.定义,设 为向量空间，,个向量，,若满足,线性无关；,中任一向量都可由 线性表示，,只含零向量的向量空间没有基，规定它的维数为0.,这样的向量空间称为零空间或0维向量空间.,那么向量组 称为向量空间 的一个基；称为向量空间 的维数，记作 并称 为 维向量空间.,32,说明,但是向量组一般不是向量空间,向量空间 可以看作是一个向量组（），根据最大无关组的等 价定义知，,的维数就是向量组的秩.,的基就是向量组的最大无关组，,向量空间的基也是不唯一的.,33,例如,任何 个线性无关的 维向量都可以是向量空间的一个基，由此可知 的维数为.,称为 维向量空间.,向量空间,取 中如下 个向量：,显然 线性无关，且 中任一向量都有,因此 是的一个基,且 是 维向量空间.,可以取其它的 个线性无关的向量,34,向量空间,设 是向量组 的一个最大无关组，,则 中任一向量可由 线性表示,因而 是 的一个基,是 维向量空间.,35,2.关于基和维数的有关结论：,若向量空间，则 的维数不超过.,若向量空间,且 则,若向量组 是向量空间 的一个基，则 可表示为,即 是基所生成的向量空间，这清楚地显示出了向量空间 的构造.这就是基的涵义.,证明,36,五、向量的坐标,1.向量的坐标,定义,设 是向量空间 的一个基，则中任一向量 可由它惟一地表示为,数组 称为向量 在基 中的坐标.,特别地，维向量空间 中的向量，,若,则,所以 在基 中的坐标为.,即向量在自然基中的坐标就是向量的分量.,37,2.过渡矩阵,定义,设 和 是 维向量空间 的两个基，根据基的定义知，它们是等价的.,若,则称矩阵 从基 到基 的过,渡矩阵.,38,说明,用 表示 的表示式 称为基变换公式.,向量在某个基中的坐标是唯一的；但是同一个 向量在不同中基的中作表示不同的.,向量在两个基中的坐标之间的关系式称为坐标变换公式.,过渡矩阵是可逆矩阵.,39,解,要证 是 的一个基，只需证线性无关，,即 证.,40,要求 在基 中的坐标，就是求下面线性表示式的系数：,两式合起来即为,所以亦即要求解矩阵方程,41,可见,所以 是 的一个基，且,的解为,42,即,43,例7 设 中的两个基 和，其中,求从基 到基 的过渡矩阵；,设向量 在基 中的坐标为，求 在基 中的坐标.,解,设从基 到基 的过渡矩阵为，则,即,44,所以,因为 在基 中的坐标为,所以,设 在基 中的坐标为，则有,45,因而,所以,46,六、小结,向量组的一个最大无关组与向量空间的区别于 联系：,由定义知，除零空间外，任一向量空间作为一个向量组必定是无限集；但向量组作为一个向量的集合可以是有限集.,设 是向量空间，把 看作一个无限向量组，则 中向量组 是 的一个基的充要条件是 是 的一个最大无关组；向量空间 的维数就等于向量组 的秩.这是可以认为只是描述的语言不同而已.,47,向量的维数与向量空间的维数：,向量的维数是指向量分量的个数；向量空间的维数是指向量空间的基中所含向量的个数.维向量空间，“维”是指向量空间的维数.,设向量空间 是由向量组 所生 成的，即,这时，与向量组 的联系特别紧密：,，且向量组 与向量组 等价；,向量组 的任一个最大无关组是 的一个基；,的维数等于向量组 的秩.,48,作业：,P109 13.14.(2)15.16.P110 20.21.P112 38.39.,49,定理3的证明,证,设 并设向量组 和 的最大无关组分别为,和,由于 组能由 组线性表示，组能由 组线性表示，所以 组能由 组线性表示；,又 组能由 组线性表示，因此,组能由 组线性表示，因而根据定理3，有,即,亦即,证毕,定理3 设向量组 能由向量组 线性表示，则,50,若向量空间,且 则,证,因为,所以 的基含有个向量，,故可设 是 的一个基，,又因为，所以,而,因此 也是 的一个基，,所以,证毕,