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,第四章 不定积分,第一节 不定积分的概念,第二节 不定积分的计算,第一节 不定积分的概念,一.换元积分法,二.分部积分法,本节主要内容:,(一)第一类换元积分法,(二)第二类换元积分法,一.换元积分法,(一)第一类换元积分法(凑微分法),引例:,解决方法,利用复合函数的中间变量,进行换元.,说明结果正确,将上例的解法一般化:,将上述作法总结成定理,使之合法化,可得 换元法积分公式,定理4.2.1 设f(u)具有原函数F(u),(u)是连续函数,那么,难,易,例2 计算,我们总结出凑微分法求不定积分的情况如下:,.被积函数是一个复合函数,与公式作对比,公式中自变量x变成了ax+b的形式,这时设ax+b为中间变量，,例3 计算,1.被积函数中含有两个多项式,其中一个多项式的次数比另一个多项式的次数高一次，设高一次的多项式为中间变量，目的是约去另一个因式.,.被积函数是两个函数乘积形式,(1)原式,例3 计算,(2)原式,例4 计算,2 被积函数中,其中一部分函数“正好”是另一部分函数的导数.,例5 计算,例4 计算,原式,2、被积函数中,其中一部分函数“正好”是另一部分函数的导数。,例5 计算,原式,例6 计算,例6 计算,原式,第一类换元积分法（凑微分法）是一种非常有效的积分法。首先，必须熟悉基本积分公式，对积分公式应广义地理解，如对公式，应理解为,其中u可以是x的任一可微函数;其次，应熟悉微分运算，针对具体的积分要选准某个基本积分公式，凑微分使其变量一致.,常用的凑微分形式有:,例7 计算,例7 计算,例7 计算,例7 计算,例7 计算,例7 计算,例7 计算,解法一,例7 计算,解法二,例7 计算,例8 计算,有理分式积分,例8 计算,练习 求,例8 计算,练习 求,例8 计算,练习 求,例8 计算,例8 计算,例8 计算,例8 计算,例8 计算,(1)有理分式积分,例8 计算,练习 求,原式,例8 计算,练习 求,例8 计算,练习 求,例8 计算,练习 求,例8 计算,例8 计算,例8 计算,例 9,例9,例 9,例10,被积函数含有三角函数,例10,例10,例10,例10,例10,例10,(3)被积函数含有三角函数,例10,例10,例10,例10,例10,例11 计算,例12,例11 计算,例12,第一类换元积分法在积分中是经常使用的方法,不过如何适当地选取代换却没有一般的规律可循，只能具体问题具体分析.要掌握好这种方法，需要熟记一些函数的微分公式，并善于根据这些微分公式对被积表达式做适当的微分变形，拼凑出合适的微分因子.,练一练,练一练,(二)第二类换元积分法,定理4.2.2 函数 x(t)有连续的导数且(t)0，又 f(t)(t)有原函数 F(t)，则 其中t-1(x)是x(t)的反函数.,1.根式代换,.被积分函数中含有（根号里是一次式）类型-根式代换法，令,例1 计算,例2 计算,例3 计算,例4 计算,例1 计算,令 则 于是,例2 计算,令 则 于是,例3 计算,令 则 于是,例4 计算,令 则 于是,练一练,2.三角代换,.被积分函数中含有 类型-三角代换法,例5 计算,令 则,例6 计算,令 则,根据 作辅助三角形,如图.,其中 C=C1-lna.,例7 计算,令 则,根据 作辅助三角形，如图.,其中 C=C1 lna.,第二类换元积分法是基本积分方法之一,使用第二换元积分法的关键在于选择适当的变换,消除被积式中的根号,最常见的形式有:（1）被积函数中含有：设（2）被积函数中含有：设,n为n1、n2 的最小公倍数（3）被积函数中含有：设（4）被积函数中含有：设（5）被积函数中含有：设 在作三角替换时,可以利用直角三角形的边角关系确定有关三角函数的关系,以返回原积分变量.,例8 计算,解法一三角代换法,令 x=tan t，,于是得,则 dx=sec2 tdt，,=ln|csc t cot t|+C,解法二根式代换法,于是有,练一练,二.分部积分法,设函数 u=u(x),v=v(x)具有连续导数:,u=u(x),v=v(x)，根据乘积微分公式,于是有,即,d(uv)=udv+vdu，,分部积分公式,难,易,例1 计算,可见运用分部积分公式的关键是恰当选择u，v.,当被积函数是两种不同类型函数的乘积时，我们可以按照“反、对、幂、指、三”（即反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数）的顺序，选择排列次序在前的函数作为u，而将排在后的另一个函数选作v.,例3 计算,例4 计算,例5 计算,例6 计算,例7 计算,例8 计算,例9 计算,例10 计算,例11 计算,例12 计算,例4 计算,例5 计算,练习 求,例6 计算,例7 计算,例 8 计算,移项,两边除以2,并加积分常数,得,当两次应用分部积分法后又出现了原积分时,我们是用解方程的方法求出积分结果的.,注意,例9 计算,例10 计算,令 则 于是,例11 计算,求上式右端的不定积分,用第二换元法.,则 dx=2tdt,于是有,=2(t arctan t)+C,代入,得,例12 计算,令 lnx=t,则x=et,dx=etdt,于是,练一练,内容小结:,1.换元积分法,2.分部积分法,(注意常见的换元积分类型),(代换:),
