空间曲面与空间曲线.ppt

7.5 空间曲面与空间曲线,一 曲面方程的概念二 曲线方程的概念三 二次曲面的截痕法,1 曲面方程的定义,一 曲面方程的概念,解,根据题意有,所求方程为,例1 求与原点,及,的距离之比为,的点的全体所组成的曲面方程.,根据题意有,化简得所求方程,解,例2 已知,求线段,面的方程.,的垂直平分,（1）球面,根据题意有,所求方程为,特殊地：球心在原点时方程为,2 几种常见的曲面,(球面方程的标准式),将标准方程展开得,由此可见球面方程的特点,(球面方程的一般式),球面方程又可表示为,定义,（2）柱面,并沿定曲线,平行于定直线,下面建立母线平行于,轴，准线为,平面曲线,的柱面方程。,因此,从柱面方程看柱面的特征：,柱面举例,定义,一条平面曲线绕其所在平面上的一条定直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,（3）旋转曲面,旋转轴,求由,平面曲线,绕,轴旋转一周所得,的旋转面方程。,设旋转面上任意一点,则,同理：,例3 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程,旋转双曲面,旋转椭球面,旋转抛物面,绕,轴；,面上椭圆,面上直线,圆锥面,绕,轴；,（4）锥面,通过定点,动直线,沿定曲线,例4 建立以椭圆,为准线，,坐标原点为顶点的锥面方程。,解,由,锥面方程为,椭圆锥面,空间曲线C可看作空间两曲面的交线.,1 空间曲线的一般方程,二 曲线方程的概念,例5 方程组,解,表示圆柱面，,表示平面，,交线为椭圆.,表示怎样的曲线？,2 空间曲线的参数方程,取时间t为参数，,解,，记,即有,解,参数式方程为:,即,3 空间曲线在坐标面上的投影,类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影.,例8 求曲线,解,在 面上的投影.,例9,解,半球面和锥面的交线为,一个圆面:,.,),(,3,4,2,2,2,2,面上的投影,求它在,锥面所围成,和,由上半球面,设一个立体,xoy,y,x,z,y,x,z,+,=,-,-,=,三 二次曲面的截痕法,二次曲面的定义：,三元二次方程所表示的曲面称之二次曲面,讨论二次曲面性状的截痕法：,用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌,以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面,1 椭球面,同理与平面 和 的交线也是椭圆.,椭球面的几种特殊情况：,旋转椭球面,球面,2 双曲面,单叶双曲面,双叶双曲面,3 抛物面,（与 同号）,椭圆抛物面,（与 同号）,双曲抛物面（马鞍面）,