机械工程测试技术基础-01信号及描述.ppt

,第一章 信号及描述,第一章 信号及描述,第一节 信号的分类与描述第二节 周期信号与离散频谱第三节 瞬变非周期信号与连续频谱第四节 随机信号,信号无处不在，应用于生产生活各方面。,通信古老通信方式：烽火、旗语、信号灯。近代通信方式：电报、电话、无线通讯。现代通信方式：计算机网络通信、视频电视传播、卫星传输、移动通信。,心电图波形,医学,序,机械设备运行状态监测与分析,第一节 信号的分类与描述,按照不同的分类标准，常见有三种分类方法：确定性信号和随机信号连续信号和离散信号能量信号和功率信号,一、信号的分类,1.确定性信号和随机信号,确定性信号：能用明确的数学关系式或图像表达的信号称为确定性信号。,例：单自由度质量弹簧系统作无阻尼自由振动。,周期信号：按一定的时间间隔周而复始、重复出现，无始无终的信号。,周期：满足上式的最小T 值。频率：周期的倒数，f=1/T，单位：（Hz 赫兹）圆频率（角频率）：频率f 乘以2,即=2 f=2/T 实际应用中，n 通常取为正整数。,数学表达：,T0=2/0=1/f0,1.可以是频率单一的正弦信号，如,2.也可以是多个频率成分组成的复杂周期信号，如 x(t)=Asin0.5 t+Asin t+Asin2 t,如周期方波信号,非周期信号分为准周期信号与瞬变非周期信号。准周期信号：由多个频率成分叠加而成，但不存在公共周期。,例：,瞬变非周期信号：在有限时间段存在，或随着时间的增加而幅值衰减至零的信号。,例如质量弹簧系统有阻尼振动的位移方程：,随机信号：又称为非确定性信号，是无法用明确的数学关系式表达的信号。如：加工零件的尺寸、机械振动、环境的噪声等。随机信号具有不重复性（在相同条件下，每次观测的结果都不一样）、不确定性、不可预估性，采用概率和统计的方法进行描述。,根据是否满足平稳随机过程的条件，非确定性信号又可以分为平稳随机信号和非平稳随机信号。,2.连续信号和离散信号,实际应用中，连续信号与模拟信号不于区分，离散信号与数字信号往往混用。,信号的瞬时功率：,信号能量：,时，称信号为能量（有限）信号，,2.当信号在有限区间（t1,t2）上的平均功率,如各类瞬变信号。,3.能量信号和功率信号,1.当,称信号为功率（有限）信号，如周期信号、准周期信号、随机信号等。,1.信号的时域描述 以时间为独立变量，描述信号随时间的变化特征，反映信号幅值随时间变化的关系。时域波形图：时间为横坐标的幅值变化图。优点：形象、直观。缺点：不能明显揭示信号的内在结构（频率组成关系）。,二、信号的描述,2.信号的频域描述应用傅里叶级数或傅里叶变换，对信号进行变换（分解），以频率为独立变量建立信号幅值、相位与频率的函数关系。频谱图：以频率为横坐标的幅值、相位变化图。幅频谱（幅值谱）：幅值-频率图 相频谱（相位谱）：相位-频率图频域描述抽取信号内在的频率组成及其幅值和相角的大小，描述更简练、深刻、方便。,信号时域与频域描述的关系：时域描述与频域描述是等价的，可以相互转换，两者蕴涵的信息相同。时域描述与频域描述各有用武之地。工程中直接测得的通常是时域信号，将信号从时域转换到频域称为频谱分析，属于信号的变换域分析。采用频谱图描述信号，需要同时给出幅频谱和相频谱。,例：周期方波信号的时域、频域描述,时域描述,一种方式是数学表达式,另一种方式是时域波形图,频域描述,，,幅值谱,相位谱,用傅里叶级数展开，数学表达式变为：,总结：若,，则它在频率轴上,处有幅值，幅值为A。,周期方波信号的时域、频域描述,在有限的区间上，凡满足狄里赫利条件的周期函数（信号）可以展开成傅立叶级数。,狄里赫利（Dirichet）条件:在一个周期内，若存在间断点，则间断点的数目为有限个。在一个周期内，极大值和极小值数目为有限个。在一个周期内，信号绝对可积，即:,一、傅立叶级数的三角函数展开式,第二节 周期信号与离散频谱,其中,则可以展开为,常值分量,余弦分量的幅值正弦分量的幅值,式中,进一步，可以改写为,An：第n次谐波的幅值；n：第n次谐波的初相角,例：周期性三角波的傅里叶级数,解：,因此，有：,二、傅立叶级数的复指数函数展开式,欧拉公式,证明思路：,欧拉公式建立了三角函数和指数函数之间的的关系。,傅里叶级数由三角函数形式展开推导到复指数形式展开,将,与欧拉公式代入上式，得,令,n=0,1,2,按实频谱和虚频谱形式,幅频谱和相频谱形式,幅频谱图：|Cn|-实频谱图：CnR-虚频谱图：CnI-相频谱图：n-,例：画出余弦、正弦函数的实频及虚频谱图。,解：,C-1=1/2，C1=1/2，Cn=0（n=0,2,3,）,C-1=j/2，C1=-j/2，Cn=0（n=0,2,3,）,单边幅频谱,双边幅频谱,虚频谱,实频谱,时域波形,几点结论：,复指数函数形式的频谱为双边谱（从-到+），三角函数形式的频谱为单边谱（从 0 到+）。,两种频谱各谐波幅值之间存在如下关系：,双边幅值谱为偶函数，双边相位谱为奇函数：,一般周期函数的复指数傅里叶展开式的实频谱总是偶 对称的，虚频谱总是奇对称的。,综上所述，周期信号频谱的特点如下：周期信号的频谱是离散谱；离散性每个谱线只出现在基波频率的整数倍上，基波频率是诸分量频率的公约数；谐波性一般周期信号展开成傅里叶级数后，在频域上是无限的。工程上常见的周期信号，其谐波幅值随谐波次数的增高而减小 在频谱分析中没有必要取次数过高的谐波分量。收敛性,三、周期信号的强度表述,1）峰值 峰值xp是信号可能出现的最大瞬时值，即xp=|x(t)|max。2）峰-峰值 xp-p是一个周期中最大瞬时值和最小瞬时值之差。3）均值 4）绝对均值 5）有效值 6）平均功率,周期信号的强度表述方式有1,4,5,6四种。,非周期信号,准周期信号 信号中各简谐成分 的频率比为无理数 具有离散频谱,瞬变非周期信号 在一定时间区间内 存在或随时间的增 长衰减至零,即通常所说的非周期信号。,第三节 瞬变非周期信号与连续频谱,一 傅里叶变换（fourier transform，FT）,非周期信号可以看成是周期T0 趋于无穷大的周期信号。,谱线无限靠近，离散谱变为连续谱。,无论周期增大到何种程度，信号能量沿频率域的分布特征总存在，即非周期信号的频谱依然存在。信号存在就必然含有一定的能量，无论信号怎样分解，其所含总能量应当不变。,设周期信号x(t)在一周期内的傅里叶级数表示为,其中：,T0时，周期信号频谱谱线的频率间隔=0 0，谱线无限靠近。变量连续取值以至离散谱线的顶点最后变成一条连续曲线。所以非周期信号的频谱是连续的。,设有一个周期信号x(t)在区间 以傅立叶级数表示为,当T0 趋于无穷 时，频率间隔成为d，离散谱中相邻的谱线紧靠在一起，n成为连续变量，d=2df=2/T0，求和符号就变为积分符号，则,将 代入上式则得,Cn,傅里叶变换（FT）,傅里叶逆变换（IFT）,若以,代入得,记为：,用实、虚频谱形式和幅、相频谱形式写为,非周期信号的幅频谱 和周期信号的幅频谱 很相似，但是两者量纲不同。为信号幅值的量纲，为信号单位频宽上的幅值，是频谱密度函数。,称为频谱密度函数，简称频谱函数，它反映了信号能量沿频域的分布状况，工程测试中为方便，仍称为频谱。,例：矩形窗函数的频谱,W(f)中 T 称为窗宽，W(f)函数只有实部，没有虚部。,sinc 以2为周期并随的增加作衰减振荡。sinc是偶函数，在n（n=1,2,）处其值为0。最高点值为AT。本例中，sinc=sinc(Tf)，以2/T为周期并随的增加作衰减振荡，在n/T（n=1,2,）处其值为0。矩形窗高为A=1，于是最高点值为T。,问，右图窗函数的幅频谱？,非周期信号频谱的特点,基频无限小。,频谱连续，包含了从 0 的所有频率分量。,|X()|与|Cn|量纲不同。|Cn|具有与原信号幅 值相同的量纲，|X()|是单位频宽上的幅值。,非周期信号频域描述的基础是傅里叶变换。,周期信号有傅里叶级数，非周期信号有傅里叶变换。,某齿轮箱各特征频率值,Hz,二 傅里叶变换的主要性质,积 分,x(t t0),时 移,频域微分,x(kt),尺度变换,时域微分,x(-f),X(t),对 称 性,X1(f)X2(f),x1(t)x2(t),频域卷积,AX(f)+bY(f),ax(t)+by(t),线性叠加,X1(f)X2(f),x1(t)x2(t),时域卷积,实奇函数,虚奇函数,X*(-f),x*(t),共 轭,虚偶函数,虚偶函数,X(-f),x(-t),翻 转,虚奇函数,实奇函数,X(f f0),频 移,实偶函数,实偶函数,函数的奇偶虚实性,频 域,时 域,性 质,频 域,时 域,性 质,奇偶虚实性,若x(t)为实偶函数，则ImX(f)=0，X(f)为实偶函数。若x(t)为实奇函数，则ReX(f)=0，X(f)为虚奇函数。若x(t)为虚偶函数，则ReX(f)=0，X(f)为虚偶函数。若x(t)为虚奇函数，则ImX(f)=0，X(f)为实奇函数。,若x(t)为实函数，则 ReX(f)=ReX(-f)ImX(f)=-ImX(-f),对称性：若 x(t)X(f)，则X(t)x(-f),证明：互换 t 和 f从而：X(t)x(-f),例：时域矩形窗，频域sincf；时域sinct，频域矩形窗。,证明：,（k 0）,（k 0）,综上所述,时间尺度特性表明：信号在时域中压缩（k 1，变化速度加快）等效于在频域扩展（频带加宽）幅值降低；信号在时域中扩展（1 k 0）等效于在频域压缩（频带变窄）幅值增高。,尺度改变性,尺度改变性质举例,证明：若 t0为常数 则,时移结果只改变信号的相频谱，不改变信号的幅频谱,时移性质,设 s=t+t0，,(c)时移的时域矩形窗 图(c)对应的幅频和相频特性曲线 时移性质举例,（a）时域矩形窗,图（a）对应的幅频和相频特性曲线,0,0,0,0,0,0,例：求三个窗函数的频谱。,对于矩形窗函数w(t),问题描述为求w(t-)+w(t)+w(t+)的频谱,根据时移性质,频移特性,若 f0为常数,证明,卷积特性,证明：函数x(t)与y(t)的卷积定义为,同理可得,微分特性：,证明：,同理：,三 几种典型信号的频谱,1、单位脉冲函数(函数)的频谱1）函数定义,且其面积（强度）：,箭头表示幅值无限大，但强度有限大，是多少标多少；若没有箭头，表示幅值有限大，是多少就标多少。,2）函数的性质（）,（1）抽取性（采样性、筛选性）,抽取结果为x(t)在发生函数位置的函数值(又称为采样值)。,（2）卷积性,函数与其他函数的卷积示例,(t),0,t,1,x(t),0,t,A,0,t,A,x(t)(t),(tt0),0,t,x(t),0,t,0,t,(t+t0),(t-t0),x(t)(t t 0),-t0,t0,-t0,t0,对(t)取傅里叶变换,函数具有等强度、无限宽广的频谱，这种频谱称为“均匀谱”。,函数是偶函数，即，则利用傅立叶变换的对称、时移、频移性质，还可得到以下傅里叶变换对：,3）函数的频谱,（幅频谱是均匀谱1，但各频率成分分别移相2ft0角）,(t t0)（函数时移 t0）,(f)（在f=0处有脉冲谱线）,1（幅值为1的直流量）,1（均匀频谱密度函数）,(t)（单位瞬时脉冲）,频 域,时 域,单位脉冲函数的时、频域关系,（复指数函数）,（将(f)移频到f 0）,2、矩形窗函数的频谱,FT,IFT,3、常值函数(又称直流量)的频谱,幅值为1的常值函数的频谱为 f=0处的函数。,当矩形窗函数的窗宽 T 趋于无穷时，矩形窗函数就成为常值函数，其对应的频域为函数。,4、正余弦函数的频谱密度函数,正余弦函数不满足绝对可积条件（为啥？），不能直接对之进行傅里叶变换。由欧拉公式知：,傅里叶级数的幅频谱与振幅同量纲，而傅里叶变换后量纲是振幅除以频率间隔即频率密度，所以此处高度无限大，但能量有限。,5、梳状(comb)函数（等间隔的周期单位脉冲序列）的频谱,Ts为周期；n为整数。梳状函数为周期函数。表示成复指数形式的傅里叶级数：,（fs=1/Ts）,因为在（-Ts/2，Ts/2）区间内只有一个函数(t)，故,梳状函数：,从而,所以,即梳状函数的频谱也为梳状函数，且其周期为原时域周期的倒数（1/Ts），脉冲强度为1/Ts。,第四节 随机信号,1、随机信号的概述,随机信号是非确定性信号，具有不重复性、不确定性、不可预估性。（在相同条件下，每次观测的结果都不一样）随机信号必须采用概率和统计的方法进行描述。相关概念随机现象：产生随机信号的物理现象。样本函数：随机现象的单个时间历程，即对随机信号按时间历程所作的各次长时间观测记录，记作xi(t)，i为第i次观测。样本记录：在有限时间区间上观测得到的样本函数随机过程：在相同试验条件下，随机现象可能产生的全体样本函数的集合（总体）。记作x(t)，即 x(t)=x1(t)，x2(t)，xi(t)，,随机变量：随机过程在某一时刻t1的取值x(t1)是一个随机变量，随机变量一般定义在样本空间上。集合平均（集总平均）：一般而言，任何一个样本函数都无法恰当地代表随机过程 x(t)，而是将集合中所有样本函数对同一时刻t1 的观测值取平均。时间平均：按单个样本函数的时间历程进行平均计算。平稳与非平稳随机过程：平稳随机过程指其统计特性不随时间而变化，或者说，不随时间坐标原点的选取而变化；否则，则为非平稳随机过程。各态历经过程：若平稳随机过程任一样本函数的时间平均统计特性等于该过程的集合平均统计特性，则称该随机过程是各态历经的（遍历性）。,随机过程的样本函数,一般，随机过程需足够多（理论上为无限个）的样本函数才能描述，即使是各态历经过程，理论上也需要无限长的时间记录。实际工程中以有限长度样本记录的观察分析来推断、估计被测对象的整个随机过程。对于各态历经过程，其时间平均等于集合平均，因此各态历经过程的所有特性都可以用单个样本函数上的时间平均来描述。工程中绝大多数随机过程都是各态历经的或可以近似为各态历经过程进行处理，常以一个或几个有限长度的样本记录来推断整个随机过程，以其时间平均来估计集合平均。,2、随机信号的主要统计特征,描述各态历经随机信号的主要特征参数有：幅值域：均值、方差、均方值、概率密度函数等。时间域：自相关函数、互相关函数。频率域：自功率谱密度函数、互功率谱密度函数、相干函数等。,均值(mean)：反映信号的静态分量，即常值分量：,均方值(mean square)：反映信号的能量或强度：,均方根值(root of mean square)：为均方值正的平方根：,方差(Variance)：反映信号偏离均值的波动情况：,标准差(standard variance)：为方差的正的平方根：,概率密度函数：表示瞬时幅值落在某指定范围内的概率。,随机信号 的时间历程，幅值落在 区间的总时间为，当观测时间T 趋于无穷大时，概率记为,定义概率密度函数,概率密度函数提供了随机信号的幅值分布信息，是随机信号的主要特征参数之一。如果知道信号的概率密度函数，则,作业：,课件P24例题1-31-5,Thanks!谢 谢！,