微分方程第四节高阶线性方程.ppt

-1-,第四节 高阶线性方程,二阶齐次线性方程的通解结构二阶非齐次线性方程的通解结构三 n阶线性方程的通解结构,-2-,一 二阶齐次线性方程的通解结构,证毕,是二阶齐次线性方程,的两个解,也是该方程的解.,证:,代入方程左边,得,(叠加原理),定理1.,二阶齐次线性方程一般形式,-3-,说明:,不一定是所给二阶方程的通解.,例如,是某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解,并不是通解,但是,则,为解决通解的判别问题,下面引入函数的线性相关与,线性无关概念.,-4-,定义,是定义在区间 I 上的,n 个函数,使得,则称这 n个函数在 I 上线性相关,否则称为线性无关.,例如，,在(,)上都有,故它们在任何区间 I 上都线性相关;,又如，,若在某区间 I 上,则根据二次多项式至多只有两个零点,必需全为 0,可见,在任何区间 I 上都 线性无关.,若存在不全为 0 的常数,-5-,两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件:,线性相关,存在不全为 0 的,使,(无妨设,线性无关,常数,函数,是线性无关的；,函数,是线性无关的；,函数,是线性无关的；,由此可知,-6-,思考:,中有一个恒为 0,必线性,相关,则,定理 2.,是二阶线性齐次方程的两个线,性无关特解,则,数)是该方程的通解.,例如,方程,有特解,且,常数,故方程的通解为,(自证),-7-,二 二阶非齐次线性方程解的结构,二阶非齐次线性方程一般形式,是二阶非齐次方程,的一个特解,Y(x)是相应齐次方程的通解,定理 3.,则,是非齐次方程的通解.,证:将,代入方程左端,得,-8-,是非齐次方程的解,又Y 中含有,两个独立任意常数,例如,方程,有特解,对应齐次方程,有通解,因此该方程的通解为,证毕,因而 也是通解.,-9-,定理 4.,分别是方程,的特解,是方程,的特解.(非齐次方程之解的叠加原理),为常数，,证,-10-,特别取,有,设,为方程,的两个解，,则,为方程,的解。,-11-,常数,则该方程的通解是().,设线性无关函数,都是二阶非齐次线,性方程,的解,是任意,例1,提示:,都是对应齐次方程的解,二者线性无关.(反证法可证),-12-,例2,已知微分方程,个解,求此方程满足初始条件,的特解.,解:,是对应齐次方程的解,且,常数,因而线性无关,故原方程通解为,代入初始条件,故所求特解为,有三,-13-,三 n阶线性方程的通解结构,定理 5,是n阶齐次线性方程的,n个线性无关特解,是该方程的通解.,则,n 阶线性微分方程的一般形式为,时,称为非齐次方程;,时,称为齐次方程.,-14-,定理 6,是对应齐次方程的 n 个线性,无关特解,给定 n 阶非齐次线性方程,是非齐次方程的特解,则非齐次方程,的通解为,齐次方程通解,非齐次方程特解,-15-,定理 7,是n阶线性方程,的解,分别是 n 阶线性方程,为常数，,则,的解。,