微分中值定理与导数的应用第四节.ppt

第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性,一、函数单调性的判定法,函数的单调性与导数符号的关系,观察与思考：,函数单调增加,函数单调减少,函数的单调性与导数的符号有什么关系？,函数单调增加时导数大于零，函数单调减少时导数小于零。,函数的单调性与导数符号的关系,观察结果：,函数单调减少,函数单调增加,定理,证,应用拉格朗日定理,得,例1,解,例2,解,例3,解,例4,解,例4,解,也可用列表的方式，,导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点,方法:,注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.,例如,驻点,例5,证,利用函数的单调性证明不等式,即原式成立。,例6,证,由连续函数的零点存在定理知，,利用函数的单调性讨论方程的根。,例7,证,小结,单调性的判别是拉格朗日中值定理定理的重要应用.,定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立.,应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式.,问题:如何研究曲线的弯曲方向?,二、曲线的凹凸与拐点,观察与思考：,函数曲线除了有上升和下降外，还有什么特点？,定义一 如果在某区间内，曲线弧位于其上任意一点的切线的上方，则称曲线在这个区间内是凹的；如果在某区间内，曲线弧位于其上任意一点的切线的下方，则称曲线在这个区间内是凸的。,曲线凹向的定义,凹的,凸的,曲线凹向的定义,凹的,凸的,图形上任意弧段位于所张弦的上方：凸的,图形上任意弧段位于所张弦的下方：凹的,定义二,观察与思考：曲线的凹向与函数的导数的单调性有什么关系？,拐点,凹的,凸的,当曲线是凹的时，f(x)单调增加。,当曲线是凸的时，f(x)单调减少。,曲线凹向的判定,曲线上凹与下凹的分界点称为曲线的拐点。,定理,例8,解,例9,解,上凹,下凹,上凹,拐点,拐点,例10,解,拐点的求法：,1.找出二阶导数为零的点或不可导点；,2.若它两边的二阶导数值异号,则为拐点,若同号则不是拐点.,例11,解,利用函数图形的凹凸性,证明不等式,例12,证,练习：,P151 习题3-43.(1)(4)(5)(7)4.(1)(4)7.(1)(4)8.(1)(4)9.(3)10.,解：f(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1)。当x(-,-1)时，f(x)0，函数f(x)在(-,-1)内单调增加；当x(-1,1)时，f(x)0，函数f(x)在(1,+)内单调增加。,