测量平差基础中的数学模型.ppt

第一节 测量平差概述,第二节 测量平差的数学模型,第三节 参数估计与最小二乘原理,测量平差的数学模型及最小二乘原理,之三：测量平差基础中的数学模型,一、必要观测、多余观测,确定平面三角形的形状,观测三个内角的任意两个即可,称其必要元素个数为2，必要元素有 种选择,确定平面三角形的形状与大小,6个元素中必须有选择地观测三个内角与三条边的三个元素，因此，其必要元素个数为3。任意2个角度+1个边、2个边+1个角度、三个边。,第一节 测量平差概述,必须有选择地观测6个高差中的3个，其必要元素个数为3。h1、h5、h6或h1、h2、h3或h1、h2、h4等,确定如图四点的相对高度关系,必要观测:能够唯一确定一个几何模型所必要的观测 一般用t表示。,特点:给定几何模型，必要观测及类型即定，与观测无关。必要观测之间没有任何函数关系，即相互独立。确定几何模型最大独立观测个数,多余观测:观测值的个数n与必要观测个数t之差 一般用r表示，r=n-t。,确定几何模型最大独立观测个数为t,那么再多进行一个观测就相关了，即形成函数关系，也称为观测多余了。,观测值:为了确定几何模型中各元素的大小进行的实际 观测，称为观测值，观测值的个数一般用n表示。,nt,，可以确定模型，还可以发现粗差。,二、测量平差,必要观测可以唯一确定模型，其相互独立。可见若有多余观测必然可用这t个元素表示，即形成r个条件。,实际上：,第二节 测量平差的数学模型,一、条件平差法,以条件方程为函数模型的平差方法，称为条件平差法。,即为条件平差的函数模型。条件平差的自由度即为多余观测数r，即条件方程个数。,二、间接平差法,选择几何模型中t个独立变量为平差参数，每一个观测量表达成所选参数的函数，即列出n个这种函数关系式，以此为平差的函数模型，成为间接平差法。,三、附有参数的条件平差法,设在平差问题中，观测值个数为n，t为必要观测数，则可列出r=n-t个条件方程，现有增设了u个独立量作为参数，而0ut，每增设一个参数应增加一个条件方程。以含有参数的条件方程作为平差的函数模型，称为附有参数的条件平差法。,上式就是间接平差的函数模型。尽管间接平差法是选了t个独立参数，但多余观测数不随平差不同而异，其自由度仍是r=n-t。,上式为附有参数的条件平差法的函数模型。此平差问题，由于选择了u个独立参数，方程总数由r个增加到c=r+u个，故平差的自由度为r=c-u。,四、附有限制条件的间接平差法,如果进行间接平差，就要选出t个独立量为平差参数，按每一个观测值与所选参数间函数关系，组成n个观测方程。如果在平差问题中，不是选t个而是选定ut个参数，其中包含t个独立参数，则多选的s=u-t个参数必是t个独立参数的函数，亦即在u个参数之间存在着s个函数关系，它们是用来约束参数之间应满足的关系。在选定ut个参数进行平差时，除了建立n个观测方程外，还要增加s个约束参数方程，故称此平差方法为附有限制件的间接平差法。,五、平差的随机模型,数学模型,函数模型,随机模型：,第三节 函数模型的线性化,条件方程的综合形式为：,为了线性化，取X的近似值：,取 的初值：,将F按台劳级数在X0，L处展开，并略去二次以及以上项：,一、条件平差法,二、间接平差法,三、附有参数的条件平差法,四、附有限制条件的间接平差法,第四节 参数估计与最小二乘原理,为了求得唯一解，对最终估计值应该提出某种要求，考虑平差所处理的是随机观测值，这种要求自然要从数理统计观点去寻求，即参数估计要具有最优的统计性质，从而可对平差数学模型附加某种约束，实现满足最优性质的参数唯一解。,一、参数估计及其最优性质,对于上节提出的四种平差方法都存在多解的情况。以条件平差为例：,条件的个数r=n-t n，即方程的个数少，求解的参数多，方程多解。其它模型同。,数理统计中所述的估计量最优性质，主要是估计量应具有无偏性、一致性和有效性的要求。可以证明，这种估计为最小二乘估计。,例：匀速运动的质点在时刻的位置y表示为：,实际上：,写成矩阵：,间接平差函数模型,二、最小二乘原理,按照最小二乘原理的要求，应使各个观测点观测值偏差的平方和达到最小。测量中的观测值是服从正态分布的随机变量，最小二乘原理可用数理统计中的最大似然估计来解释，两种估计准则的估值相同。,设观测向量为L，L为n维随机正态向量，其数学期望与方差分别为：,其似然函数为：,以间接平差法为例，顾及间接平差的模型与E（）=0得：,按最大似然估计的要求，应选取能使lnG取得极大值时的 作为X的估计量。,由于上式右边的第二项前是负号，所以只有当该项取得极小值时，lnG才能取得极大值，换言之，的估计量应满足如下条件：,即最小二乘原则。,