测量平差测量误差及其传播定律.ppt

1.1 测量误差及分类 1.2 偶然误差概率特性 1.3 精度及其衡量指标 1.4 协方差传播律 1.5 权及权逆阵的传播 1.6 由真误差计算方差 1.7 系统误差的传播,第一章 测量误差及其传播定律,一、真值和真误差,真 值反映一个量真正大小的绝对准确的数值,估 值以一定的准确度表示一个量的大小的数值,真误差观测值与真值之差,约定符号：X真值 L观测值 真误差,1.1 测量误差及其分类,三角形内角闭合差:,三角形闭合差的真误差:,一、真值和真误差,1.1 测量误差及其分类,双次观测较差的真误差：,双次观测较差：,二、误差分类,1、粗差,特点：没有规律性，单个误差具有离群的特征。,1.1 测量误差及其分类,定义：由作业人员的粗心大意或仪器故障所造成的差错。,例：同一个量的观测值：,1.115,1.114,1.110,1.119,1.120,5.234,1.112,2、系统误差,定义：由测量条件中某些特定因素的系统性影响产生的误差。,特点：同等测量条件下，大小和符号规律变化，具有累积性。,二、误差分类,1.1 测量误差及其分类,例：尺长误差、电离层误差、觇标扭转误差等,3、偶然误差,定义：由测量条件中各种随机因素的偶然性影响而产生的误差。,特点：（1）产生误差的原因是随机的；（2）原因是多方面的；（3）单个误差的大小、符号无规律；（4）误差总体上服从统计规律。,二、误差分类,1.1 测量误差及其分类,三、处理原则,粗差(Gross error)剔除系统误差(Systematic errors)改正偶然误差(Random errors)多余观测,1.1 测量误差及其分类,四、几点说明：,系统误差和偶然误差是同时存在的。理想的情况是平差前尽量消除或减弱系统误差，使偶然误差居主要成分。,系统误差和偶然误差是相对的。在一定条件下是可以相互转化的。,即使存在系统误差仍可进行平差，但平差结果不理想，精度指标是虚假的。,今后，没有特殊声明，总假定观测值仅含偶然误差。,平差理论的新发展，出现了处理包含粗差和系统误差的理论。这些理论实用上有一定的局限性。,1.1 测量误差及其分类,例：,一、偶然误差的概率特性（统计特性）,1.2 偶然误差概率特性,直方图表示：,一、偶然误差的概率特性（统计特性）,性质？,1.2 偶然误差概率特性,界限性表明，测量中的偶然误差是有界的，在实用上将超出一定界限的误差视为粗差。,聚中性表明，偶然误差愈接近零，其分布愈密。实用中，可根据误差是否具有聚中性，判断观测结果是否存在系统误差。,对称性表明，偶然误差有相互抵消的性质。,分析与说明:,一、偶然误差的概率特性（统计特性）,1.2 偶然误差概率特性,观测值确定了，其分布密度曲线就确定了。不同观测序列的曲线不同，但其均接近正态分布密度曲线。,二、偶然误差的分布(试验),1.2 偶然误差概率特性,偶然误差是由测量条件中多种随机因素的偶然性影响而产生的误差，而且每种误差都是独立的、对误差总体中都不构成决定性的影响，这符合中心极限定理的条件，如果把构成偶然误差的各种随机影响看成是随机变量，那么观测值的误差就是服从正态分布的随机变量。,二、偶然误差的分布(理论),1.2 偶然误差概率特性,结论：偶然误差服从正态分布,二、偶然误差的分布,正态分布：,正态分布的密度函数：,数字特征(期望和方差)：,正态分布是研究偶然误差的数学工具。,1.2 偶然误差概率特性,三、真值的统计学意义,观测值的数学期望等于其真值。,观测值L与其真误差的分布密度函数,1.2 偶然误差概率特性,准确度（Accuracy）准确度又称偏差，是指观测值数学期望与其真值之差。表征系统误差,精密度（Precision）表示各观测值之间的密集或离散的程度。表征偶然误差,精确度观测值与其真值的接近程度。表征总误差,1.3 精度及其衡量指标,一、基本概念,测量中的精度严格意义讲是指精密度。精密度等价于精确度？,二、方差和中误差,1、方差/标准差,随机变量与其数学期望之差的平方的数学期望。观测值的方差：,（1）观测值与其对应的真误差具有相同的方差。（2）标准差 几何意义：误差分布密度函数 的拐点横坐标。,真误差的方差：,1.3 精度及其衡量指标,2、中误差,（1）各真误差必须对应同一测量条件；,（2）中误差前面的“”是中误差的标志，不代表误差范围；,一、方差和中误差,相同测量条件下的一组真误差平方均值的平方根。,注意：,1.3 精度及其衡量指标,2、中误差,一、方差和中误差,相同测量条件下的一组真误差平方均值的平方根。,例：,1.3 精度及其衡量指标,二、平均误差,1.定义,真误差绝对值的数学期望，称为平均误差。,2.实用公式,3.平均误差与方差的关系,真误差绝对值的平均值,假定误差服从正态分布，得,1.3 精度及其衡量指标,二、平均误差,1.定义,真误差绝对值的数学期望，称为平均误差。,2.实用公式,真误差绝对值的平均值,例：,1.3 精度及其衡量指标,三、或然误差,1.定义,若有一正数，使得在一定测量条件下的误差总体中，绝对值大于和小于的两部分误差出现的概率相等，则称为或然误差。,1.3 精度及其衡量指标,三、或然误差,2.实用公式,中位数计算方法：按真误差绝对值大小将它们依次排列，中间的误差值或中间两误差值之中数，作为或然误差。,3.或然误差与方差的关系,假定观测误差服从正态分布，有,1.3 精度及其衡量指标,例：,几点说明：,当观测值个数有限时，中误差m 比平均误差、或然误差更能反映大误差的存在，中误差更可靠一些。,按实用公式计算中误差、平均误差和或然误差m、，只有当观测值个数相当多时，结果才比较可靠。,增加一个误差之后：,1.3 精度及其衡量指标,几点说明：,当观测值个数有限时，中误差m 比平均误差、或然误差更能反映大误差的存在，中误差更可靠一些。,由一系列等精度观测结果所求得的中误差，反映了该观测列的测量条件，也是其中每一个观测值的中误差，同时也是相同测量条件下，其它观测值的中误差。,按实用公式计算中误差、平均误差和或然误差m、，只有当观测值个数相当多时，结果才比较可靠。,我国测量规范规定统一用中误差作为精度标准，正式测量成果必须用中误差。,1.3 精度及其衡量指标,四、极限误差,定义：一定测量条件下，偶然误差的最大允许值。,1.3 精度及其衡量指标,取值：一般情况下,困难情况下,（1）极限误差是真误差的限值。,（2）公式 仅适用于服从正态分布的偶然误差。,（3）注意极限误差的符号表示：,注意：,四、极限误差,1.3 精度及其衡量指标,五、相对误差,问题：,谁的精度高？,1.3 精度及其衡量指标,五、相对误差,说明：,误差值与相应观测结果之比。,一个量的中误差与相应观测值之比相对中误差。,相对误差是个无名数，一般将其分子化成1，写成1/m 的形式,相对误差一般用于长度测量。,真误差、中误差、平均误差、或然误差、极限误差称为绝对误差。,1.3 精度及其衡量指标,图 点位误差分析,横向误差：,纵向误差：,纵向中误差：,横向中误差：,纵横向精度一致，就是以弧度为单位的测角中误差与边长的相对中误差相等。,如何使纵横向精度一致？,1.3 精度及其衡量指标,五、相对误差(应用),提示：测角与测边精度关系,1.3 精度及其衡量指标,五、相对误差(应用),1.3 精度及其衡量指标,六、精确度的衡量指标？,MSE称为均方误差,测量条件四要素：人、仪器、观测对象、自然环境。必要观测与多余观测。是测量平差，测量平差的任务是.测量平差可以消除矛盾，但不能消除误差。测量误差分为三类：粗差、系统误差、偶然误差。测量平差主要处理含有偶然误差的观测值，偶然误差是本课程讨论的重点。,复习,1、偶然误差的统计规律正态分布,2、偶然误差三特性：界限性，聚中性，对称性。,3、精度估计标准：中误差，平均误差，或然误差，相对误差，极限误差。,重点掌握：中误差，相对误差，极限误差。,复习,（1）随机变量的协方差,估值：,预备知识,设 为随机变量，它们的协方差为,（2）随机向量的方差协方差矩阵,预备知识,协方差与相关系数相互独立与零协方差,特点：对称 正定观测量相互独立，对角矩阵。等精度观测，对角元素相等。,（3）向量间的协方差矩阵,预备知识,（4）向量的微分,设：,令：,预备知识,1.4 协方差传播律,求函数的方差,概括为：,已知函数关系式,以及观测值的方差协方差,1.4 协方差传播律,（一）随机变量函数的方差和中误差,式中：,式中：,设随机变量的函数,为随机变量,真误差关系式,式中：,1.4 协方差传播律,（一）随机变量函数的方差和中误差,随机变量的函数,函数的方差,函数中误差,1.4 协方差传播律,几种特殊情况：,（1）观测值不相关时,（2）线性函数,（3）倍数函数,（4）和差函数,1.4 协方差传播律,线性函数：,1.方差协方差矩阵传播,非线性函数：,（二）向量间协方差矩阵的关系,1.4 协方差传播律,设：,2.向量间协方差矩阵传播,（二）向量间协方差矩阵的关系,1.4 协方差传播律,协方差传播应用步骤,根据实际情况确定函数与观测值的关系式写出观测量的协方差阵对函数进行线性化协方差传播律,1.4 协方差传播律,应用误差传播律，得,因闭合差为真误差，故由中误差定义得,（一）由三角形闭合差计算测角中误差（菲列罗公式）,观测值：各三角形内角（独立），中误差均为,第 个三角形的三内角观测值,由内角计算 个三角形闭合差：,1.4 协方差传播律,应用矩阵通式，结合例1-5,p16,（一）由三角形闭合差计算测角中误差（菲列罗公式）,1.4 协方差传播律,（二）一个量算术平均值的中误差,仅仅靠不断增加观测次数能否持续提高观测结果的精度？,1.4 协方差传播律,应用矩阵通式，结合例1-8,p20,（三）水准高差的中误差,1.4 协方差传播律,当各站距离大致相等时，这些观测高差可视为等精度，若设它们的中误差均为m,水准测量观测高差的中误差，与测站数的平方根成正比。,（三）水准高差的中误差,1.4 协方差传播律,当各站距离大致相等时，这些观测高差可视为等精度，若设它们的中误差均为m,水准测量观测高差的中误差，与测站数的平方根成正比。,因为各站距离大致相等，设一站的距离为s，全长的距离为S，则,令,水准测量观测高差的中误差与路线长度的平方根成正比。,（三）水准高差的中误差,1.4 协方差传播律,水准测量观测高差的中误差，与测站数的平方根成正比。,水准测量观测高差的中误差，与路线长度的平方根成正比。,当S 1时，,说明K是单位距离的高差的中误差,K的意义：,水准测量高差中误差等于单位距离观测高差中误差与水准路线全长的平方根之积。,（三）水准高差的中误差,1.4 协方差传播律,h（高差）,S（平面边长）,a（标高）,i（仪器高）,（四）三角高程测量高差的中误差,1.4 协方差传播律,不考虑 i，a 的误差，求高差 h 的中误差,距离S 的误差远小于垂直角的误差，所以第一项可忽略不计；,三角高程测量中单向高差的中误差，等于以弧度表示的垂直角的中误差乘以两三角点间的距离。,双向高差：,（四）三角高程测量高差的中误差,1.4 协方差传播律,偶然误差常常是产生于若干个主要误差来源。,（五）若干独立误差的联合影响,一般情况下，设 为观测时的一些独立误差，则总的观测误差是这些误差的代数和，即,1.4 协方差传播律,例：方向观测法。,方向观测一次结果的误差为,（五）若干独立误差的联合影响,1.4 协方差传播律,极限误差：一定测量条件下真误差的最大允许值,解：,（六）限差的确定,1.4 协方差传播律,解：,（六）限差的确定,极限误差：一定测量条件下真误差的最大允许值,1.4 协方差传播律,菲列罗测角中误差公式,算数平均值的中误差公式,水准高差的中误差公式,三角高程高差的中误差公式,要求：能够熟练推导公式可以灵活应用公式,1.4 协方差传播律,1、权的定义,复习：最小二乘原理,等精度：,非等精度：,1.5 权及权逆阵的传播,（一）权的概念,1.5 权及权逆阵的传播,1、权的定义,（一）权的概念,1.5 权及权逆阵的传播,1、权的定义,（一）权的概念,1、权的定义,1.5 权及权逆阵的传播,（一）权的概念,2、分析与说明,1.5 权及权逆阵的传播,（一）权的概念,3、权矩阵,(1)观测值独立时的权矩阵,观测值通常以列向量表示：,P 也称为观测值向量L的权阵。,1.5 权及权逆阵的传播,（一）权的概念,3、权矩阵,(1)观测值独立时的权矩阵,权的定义,1.5 权及权逆阵的传播,（一）权的概念,3、权矩阵,(1)观测值独立时的权矩阵,权与方差矩阵的关系：,或,方差阵定义,1.5 权及权逆阵的传播,（一）权的概念,3、权矩阵,(1)观测值独立时的权矩阵,或,(2)观测值相关时的权矩阵?,或,*问题*若成立，如何从权阵得到观测值的权值？,1、距离丈量的权,（二）权的赋值,1.5 权及权逆阵的传播,距离丈量的权与路线长度成反比。,2、水准高差的权,（二）权的赋值,注意：各高差的K值必须一样!,1.5 权及权逆阵的传播,3、算术中数的权,（二）权的赋值,1.5 权及权逆阵的传播,4、三角高程高差的权,（二）权的赋值,注意：各垂直角的中误差必须一样!,1.5 权及权逆阵的传播,1、权的定义,1.5 权及权逆阵的传播,2、权矩阵,或,2、协因素阵/权逆阵,或,权矩阵是协因数阵的逆阵。,1、协因数/权倒数的定义,（三）权逆阵、权倒数的传播,1、权逆阵的传播,（三）权逆阵、权倒数的传播,1.5 权及权逆阵的传播,2、相关权逆阵的传播,设,（三）权逆阵、权倒数的传播,1.5 权及权逆阵的传播,3、权倒数的传播,（三）权逆阵、权倒数的传播,观测值独立时,1.5 权及权逆阵的传播,（1）观测值不相关,（2）线性函数,（3）倍数函数,（4）和差函数,（三）权逆阵、权倒数的传播,3、权倒数的传播,1.5 权及权逆阵的传播,解：,函数式,（各段高差独立）,和差函数权倒数,得,1.5 权及权逆阵的传播,解：,应用倍数函数的权倒数公式,1.5 权及权逆阵的传播,取单位权中误差2 3m2,一般情况下，测量上的原始观测值都是独立的，或者假定为独立的。而相关观测值都是原始观测值的函数，其协方差矩阵或权逆阵是从方差传播公式或权逆阵传播公式导出的。,例3：,1.5 权及权逆阵的传播,例4：,解：,1.5 权及权逆阵的传播,例5：,解：,1.5 权及权逆阵的传播,3、权逆阵,或,1、权的定义,2、权矩阵,或,权的定义,复习,1、算术中数的权,2、水准高差的权,3、三角高程高差的权,权的赋值,复习,1、权逆阵传播,2、权倒数计算,权的传播,复习,矩阵的迹,矩阵的迹等于矩阵主对角线元素之和。,预备知识,正交矩阵,正定矩阵的正交分解,的对角线元素是矩阵 的特征值。,若 正定，存在正交矩阵 和对角矩阵，使得,预备知识,例：水准测量高差,由于路线长度不同，每段高差是不等精度的，不能直接应用中误差公式。,不等精度的中误差估计公式？,1.6 由真误差计算方差及其应用,复习：什么是单位权中误差？,（1）权定义中任意选取的非零常数,（2）单位权观测值的中误差。,既然是可以选择的常数，为什么还要计算单位权中误差呢？,“任意的常数”是指在定权之前，一旦权确定之后，单位权中误差就不是任意常数，而是有“确定意义”的量。,1.6 由真误差计算方差及其应用,由权的定义式，得,1.6 由真误差计算方差及其应用,精度估计流程：,确定观测值的权,计算单位权中误差,计算观测值中误差,1、等精度独立观测值,(单位权)中误差：,（一）单位权方差与单位权中误差,1.6 由真误差计算方差及其应用,2、不等精度独立观测值,单位权中误差：,（一）单位权方差与单位权中误差,权矩阵是正定矩阵，可以分解为,令,并且,1.6 由真误差计算方差及其应用,3、不等精度相关观测值,（一）单位权方差与单位权中误差,观测值等精度独立时：,1.6 由真误差计算方差及其应用,观测值不等精度独立时：,*例题*p31,（一）单位权方差与单位权中误差,(2)单位权中误差的平方以概率收敛于单位权方差。,单位权中误差满足：,1.6 由真误差计算方差及其应用,(2)单位权中误差的平方以概率收敛于单位权方差。,单位权中误差满足：,1.6 由真误差计算方差及其应用,（一）单位权方差与单位权中误差,（二）实际应用,1.6 由真误差计算方差及其应用,1：由三角形闭合差求测角中误差（菲列罗公式）,2：由双观测值之差求中误差,解：,1.6 由真误差计算方差及其应用,（二）实际应用,（1）测量平差的概念,测量条件，,多余观测，,测量平差，,平差任务，,最小二乘原理,（2）误差分类及特性,真误差，,真值，,真值的统计学意义,粗差，,系统误差，,偶然误差,偶然误差的统计特性,偶然误差的分布,（3）精度标准,方差，中误差，,平均误差，,或然误差,相对中误差，,极限误差,（4）误差传播定律,观测值函数的中误差,协方差矩阵的传播,观测值独立时函数的中误差,几个特例,误差传播在测量上应用举例,偶然误差与系统误差合并影响,（5）权,权的定义，权逆阵的定义,权倒数、权逆阵的传播,真误差计算单位权中误差,常用赋权公式,双次观测之差计算单位权中误差,复习,