测量平差之条件平差.ppt
2023/10/2,第三章 条件平差,1,第一节 条件平差原理,条件平差的数学模型为 函数模型：随机模型：条件平差就是在满足r个条件方程条件下，求解满足最小二乘法（V TPV=min）的V值，在数学中就是求函数的条件极值问题。一、条件平差原理有n个观测值，均含有相互独立的偶然误差，相应的权阵为，改正数为，平差值为，用矩阵表示为：,必要观测数t,多余观测数为rr=n-t,条件方程,2023/10/2,第三章 条件平差,2,改正数方程：方程的闭合差 若取,则上述方程可表示为：按求函数极值的拉格朗日乘数法组成新函数K为乘系数（联系数）,第一节 条件平差原理,函数模型,2023/10/2,第三章 条件平差,3,将 对V求导并令一阶导数为0：转置后：,令：法方程：法方程的解平差值：,第一节 条件平差原理,改正数方程,基础方程,法方程,纯量形式,2023/10/2,第三章 条件平差,4,二、精度评定 1.单位权中误差的计算其中 的计算如下：推导如下：,第一节 条件平差原理,纯量形式,观测值独立时,2023/10/2,第三章 条件平差,5,二、精度评定 2.的协因数阵及互协因数阵,则上述方程可表示为：,第一节 条件平差原理,传播律中的K,根据协因数传播律：,2023/10/2,第三章 条件平差,6,二、精度评定 的协因数阵及互协因数阵根据协因数传播律：,第一节 条件平差原理,2023/10/2,第三章 条件平差,7,也可以单独求：已推导得：求解：,第一节 条件平差原理,2023/10/2,第三章 条件平差,8,二、精度评定 3.平差值函数的权倒数（协因数）设有平差值函数：对上式全微分得：取全微分式的系数阵为：由协因数传播律得：此式即为平差值函数的协因数表达式。可求得该平差值函数的方差：,第一节 条件平差原理,2023/10/2,第三章 条件平差,9,三、解题步骤：（1）根据实际问题，确定出总观测值的个数n、必要观测值的个数t及多余观测个数r=n-t，列出平差值条件方程并转化为改正数条件方程（2）组成法方程；（3）计算联系数K；（4）计算观测值改正数V；并依据（3-1-6）式计算出观测值的平差值；（5）计算单位权中误差；,第一节 条件平差原理,2023/10/2,第三章 条件平差,10,（6）列出平差值函数关系式，并对其全微分，求出其线性函数的系数阵f，利再计算出平差值函数的协因数QFF，然后计算出平差值函数的协方差DFF。为了检查平差计算的正确性，可以将平差值代入平差值条件方程式，看是否满足方程关系。,第一节 条件平差原理,函数的方差,函数的协因数,线性化后,2023/10/2,第三章 条件平差,11,例3-1 n=4 t=3 r=1,第一节 条件平差原理,2023/10/2,第三章 条件平差,12,例3-1 n=4 t=3 r=1,第一节 条件平差原理,2023/10/2,第三章 条件平差,13,第二节 高程网条件平差,一、平差的目的求待定点高程平差值，并进行精度评定。二、条件方程个数的确定 条件方程个数等于多余观测个数。r=n-t 关键在于确定必要观测个数 t。（1）当网中含有一个或一个以上已知水准点时：t=网中待定点数（2）当网中没有已知水准点时：t=网中待定点数 1,三、水准网条件方程的列立要求：足数、线性无关、形式简单条件方程的形式：闭合条件方程；符合条件方程。列立方法见下页，图见教材 P65-66四、高程网平差举例详见教材 P66-69,2023/10/2,第三章 条件平差,14,图3-2 n=8 t=3 r=5,-平差值条件方程,第二节 高程网条件平差,改正数条件方程,条件方程闭合差,符合条件方程,闭合条件方程,2023/10/2,第三章 条件平差,15,图3-3 n=8 t=4 r=4,第二节 高程网条件平差,-平差值条件方程,2023/10/2,第三章 条件平差,16,图3-4 n=8 t=5-1=4 r=4改正数条件方程,-平差值方程 条件方程闭合差,第二节 高程网条件平差,2023/10/2,第三章 条件平差,17,例3-2 n=8 t=4 r=4,-,第二节 高程网条件平差,权逆阵 C=1,条件方程闭合差,条件方程,2023/10/2,第三章 条件平差,18,-,第二节 高程网条件平差,观测值改正数,例3-2 n=8 t=4 r=4,法方程系数阵,联系数K,观测值平差值,2023/10/2,第三章 条件平差,19,一、单一符合导线条件平差1.目的：求各待定点平面坐标（Xi，Yi）的平差值，并进行精度评定。2.条件方程个数的确定：观测边数：n 观测角数：n+1 待定点数：n-1 必要观测个数：t=2(n-1)=2n-2 多余观测个数（条件式个数）：r=n+n+1-(2n-2)=3符合导线的条件方程数恒等于 3,3.条件方程的列立已知：AB边方位角：或CD边方位角：计算值：B点坐标：C点坐标：三个条件方程：1个方位角符合条件；2个坐标符合条件,第三节 导线网条件平差,2023/10/2,第三章 条件平差,20,一、单一符合导线条件平差3.条件方程的列立（1）方位角符合条件平差值条件方程：而：所以有：改正数条件方程：（1）式中：条件方程闭合差,第三节 导线网条件平差,方位角符合条件方程,2023/10/2,第三章 条件平差,21,一、单一符合导线条件平差 其中 是第i边的方位角3.条件方程的列立（2）纵坐标符合条件 所以：平差值条件方程：而：按泰勒级数展开：第i边的坐标增量：式中：将上式代入 并按 合并同类项得：,第三节 导线网条件平差,2023/10/2,第三章 条件平差,22,一、单一符合导线条件平差3.条件方程的列立（2）纵坐标符合条件将上式代入所列的条件方程 得：改正数条件方程：令：条件方程闭合差（2）,第三节 导线网条件平差,纵坐标符合条件方程,2023/10/2,第三章 条件平差,23,一、单一符合导线条件平差3.条件方程的列立（3）横坐标符合条件同理可得横坐标条件方程：（3）而条件方程闭合差为：在实际运算中，S、x、y常以米为单位，w、vS、v以厘米为单位改正数条件方程：纵坐标条件：横坐标条件：,第三节 导线网条件平差,横坐标符合条件方程,2023/10/2,第三章 条件平差,24,一、单一符合导线条件平差3.条件方程的列立（1）条件方程汇总（2）（3）综上所述，单一附合导线的平差计算的基本程序是：(1)计算各边近似方位角Ti和各点的近似坐标增量值xi、yi；(2)参照（1）写出方位角条件式，参照（2）（3）写出纵横坐标条件方程式；注意单位统一，决定 的取值。W的计算见上面。(3)按照条件平差计算的一般程序，计算最或是值并进行精度评定。,第三节 导线网条件平差,2023/10/2,第三章 条件平差,25,二、单一闭合导线条件平差只要将B和C、A和D点分别重合，即可得到闭合导线。（见图）1.方程个数确定：观测角个数n+1(含1个连接角），测边个数n，共2n+1 必要观测个数：t=2n-2.条件方程个数：r=32.条件方程列立（1）内角和条件：（2）坐标条件：,第三节 导线网条件平差,2023/10/2,第三章 条件平差,26,三、边角权的确定及单位权中误差的计算权的确定：一般取：则：单位权中误差计算：测边中误差的计算：,第三节 导线网条件平差,2023/10/2,第三章 条件平差,27,第三节 导线网条件平差,2023/10/2,第三章 条件平差,28,第三节 导线网条件平差,2023/10/2,第三章 条件平差,29,第三节 导线网条件平差,2023/10/2,第三章 条件平差,30,第三节 导线网条件平差,2023/10/2,第三章 条件平差,31,第三节 导线网条件平差,2023/10/2,第三章 条件平差,32,第三节 导线网条件平差,2023/10/2,第三章 条件平差,33,第四节 三角网条件平差,三角网平差的目的求待定点平面坐标平差值，并进行精度评定。三角网的种类 测角网、测边网、边角同测网。无论网型多么复杂，都是由三角形和大地四边形相互邻接或重叠而组成。当网中仅具备4个必要起算数据（一点坐标、一条边的方位、一条边的边长或已知两点坐标）时，称为自由网。这四个数据成为必要起算数据。多余四个必要起算数据时，成为非自由网。,一、条件方程个数的确定 条件方程个数等于多余观测个数。r=n-t 关键在于确定必要观测个数 t。1.当网中有2个或2个以上已知点时 t=2倍待定点数2.当网中少于2个已知点时（1）测角网 t=2倍待定点数-4（2）测边或边角网 t=2倍待定点数-3,2023/10/2,第三章 条件平差,34,测角网：n=12 t=2X6-4=8 r=4测边网：n=9 t=2X6-3=9 r=0边角网：n=21 t=9 r=12,测角网：n=23 t=12 r=11测边网：n=14 t=12 r=2边角网：n=37 t=12 r=25,第四节 三角网条件平差,2023/10/2,第三章 条件平差,35,二、条件方程的列立条件方程的种类：图形条件（内角和条件）、水平条件（圆周条件）、极条件、方位角条件、边长条件、坐标条件。图形条件(n=15 t=8 r=7 哪7个？)每个三角形内角平差值和等于180,第四节 三角网条件平差,2023/10/2,第三章 条件平差,36,二、条件方程的列立2.水平条件中点多边形中心点角度平差值之和等于360。,第四节 三角网条件平差,2023/10/2,第三章 条件平差,37,二、条件方程的列立3.极条件中点多边形和大地四边形存在极条件。中点多边形：从中心点的任一边开始，依次推算其它边的长度，最后回到起始边，则起始边长度的平差值应该与推算值相等。（从极点出发各边之比为1）,第四节 三角网条件平差,列立规律：列出从极点P出发的各条边之比，把边长比换为正弦的比，即可列出,2023/10/2,第三章 条件平差,38,二、条件方程的列立3.极条件极条件的线性化：,第四节 三角网条件平差,记忆规律Sin 变 cot分子取+分母取-常数项颠倒,2023/10/2,第三章 条件平差,39,第四节 三角网条件平差,二、条件方程的列立3.极条件大地四边形：取一顶点（D）为极点，从极点出发的各条边之比等于1。把边长比换为角度正弦比。,2023/10/2,第三章 条件平差,40,第四节 三角网条件平差,二、条件方程的列立4.方位角条件（n=12 t=4 r=8 哪8个？)平差值条件方程：而：即：有：常数项：方位角条件：从一个已知方位角推算另一个已知方位角，推算值应该与已知值相等。,2023/10/2,第三章 条件平差,41,第四节 三角网条件平差,二、条件方程的列立5.边长条件（边长条件：从一条已知边推算另一已知边，推算值等于已知值）条件方程：而：即：有：常数项：线性化方法同极条件,2023/10/2,第三章 条件平差,42,第四节 三角网条件平差,二、条件方程的列立6.坐标条件而：其中：将上述公式代入XE式，用泰勒公式线性化得：,2023/10/2,第三章 条件平差,43,第四节 三角网条件平差,二、条件方程的列立3.坐标条件同理得：请大家寻找记忆规律。,2023/10/2,第三章 条件平差,44,第四节 三角网条件平差,三、例题（见教材P86-88）,2023/10/2,第三章 条件平差,45,第五节 附有参数的条件平差,N=6T=4R=2多余已知值为1，增加一个强制符合条件，总条件数=3但不容易列出,2023/10/2,第三章 条件平差,46,第五节 附有参数的条件平差,一、平差原理设观测值个数：n 必要观测个数：t 多余观测个数：r 未知参数个数：u 条件式总数：c=r+u平差值条件方程将 代入：式中：随机模型,要求：组成新函数求导,基础方程,改正数方程,2023/10/2,第三章 条件平差,47,第五节 附有参数的条件平差,一、平差原理（1）（2）（3）解法一：（纯量形式）（2）代入（1）令：得：其解：（4）,（4）代入（3）：即：令：则有：其解：（5）（5）代入（2）得：（6）平差值：,2023/10/2,第三章 条件平差,48,第五节 附有参数的条件平差,令：有：即：其解：（4）代入（2）求改正数 V，然后求：,一、平差原理（1）（2）（3）解法二：（矩阵形式）（2）代入（1）得：,法方程,法方程,2023/10/2,第三章 条件平差,49,第五节 附有参数的条件平差,二、精度评定单位权中误差2.协因数阵,其它同学们自己推导.,2023/10/2,第三章 条件平差,50,第五节 附有参数的条件平差,二、精度评定3.平差值函数的中误差设有平差值函数:微分线性化：式中：,平差值函数权倒数（协因数）：方差：中误差：四、例题（见教材 P92-94）,2023/10/2,第三章 条件平差,51,第六节 条件平差估值的统计性质,一、观测量平差值 具有无偏性；二、观测量平差值 的方差最小；三、单位权方差估值 具有无偏性；不再做具体推导，有兴趣同学请自学。,
