机械制图直线与点投影.ppt

第三章 直线与点投影,直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。,直线的投影,直线的投影,直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。,直线对投影面的相对位置,一、特殊位置直线1.直线平行于一个投影面(1)水平线(2)正平线(3)侧平线,2.直线垂直于一个投影面(1)铅垂线正垂线侧垂线,3.从属于投影面的直线,二、一般位置直线,直线/某一投影面,投影面平行线,/V,正平线,/W,侧平线,水平线,/H,(1)水平线 只平行于水平投影面的直线,投影特性：1ab OX;ab OYW 2 ab=AB 3反映、角的真实大小,（2）正平线只平行于正面投影面的直线,投影特性：1 ab OX;a b OZ 2 a b=AB 3 反映、角的真实大小,（3）侧平线只平行于侧面投影面的直线,投影特性：1 ab OZ;ab OYH 2 ab=AB 3反映、角的真实大小,投影面平行线,平行某一个投影面的直线,是什么线？,为什么？,正平线,平行V面,投影特性,在所平行的投影面内的投影反映实长及与另外二投影面倾角,实长,另外二投影分别平行于相应的投影轴,直线某一投影面,投影面垂直线,H,铅垂线,正垂线,V,W,侧垂线,投影特性：1 a b 积聚 成一点 2 a bOX;a b OYW 3 a b=a b=AB,（1）铅垂线 垂直于水平投影面的直线,（2）正垂线 垂直于正面投影面的直线,投影特性：1 ab 积聚 成一点 2 ab OX;ab OZ 3 ab=ab=AB,（3）侧垂线 垂直于侧面投影面的直线,投影特性：1 ab 积聚 成一点 2 ab OYH;ab OZ 3 ab=ab=AB,投影面垂直线,垂直某一个投影面的直线,是什么线？,铅垂线,为什么？,垂直H面,投影特性,在所垂直的投影面内的投影积聚成一点,另外二投影分别垂直于相应的投影轴且反映实长,实长,实长,积聚性,二、一般位置直线,投影特性：1 a b、ab、a b均小于实长 2 a b、ab、a b均倾斜于投影轴 3不反映、实角,三个投影都倾斜于投影轴，其与投影轴的夹角并不反映空间线段与三个投影面夹角的大小。三个投影的长度均比空间线段短，即都不反映空间线段的实长。,直线上的点具有两个特性：1从属性 若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面投影上。2定比性 属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。即A C:C B=a c:c b=ac:cb=ac:c b,直线与点,例1：判断点C是否在线段AB上。,在,不在,a,b,不在,应用定比定理,例2：已知点K在线段AB上，求点K正面投影。,解法一：（应用第三投影）,解法二：（应用定比定理）,a,b,已知线段AB的投影图，试将AB分成21两段，求分点C的投影c、c。,例题 已知点C在线段AB上，求点C 的正面投影。,c,两直线的相对位置,一、两直线平行二、两直线相交 三、两直线交叉四、判断两交叉直线重影点的可见性,两直线的相对位置,空间两直线的相对位置分为：平行、相交、交叉（异面）。,两直线平行,空间两直线平行，则其各同名投影必相互平行，反之亦然。,例：判断图中两条直线是否平行。,对于一般位置直线，只要有两组同名投影互相平行，空间两直线就平行。,AB与CD平行。,AB与CD不平行。,对于特殊位置直线，只有两组同名投影互相平行，空间直线不一定平行。,两直线相交,若空间两直线相交，则其同名投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影特性。,交点是两直线的共有点,a,c,V,X,b,H,D,a,c,d,k,C,A,k,K,d,b,O,B,c,d,k,k,d,例1：过C点作水平线CD与AB相交。,先作正面投影,例2：判断直线AB、CD的相对位置。,c,d,a,b,c,d,相交吗？,不相交！,为什么？,交点不符合空间一个点的投影特性。,判断方法？,应用定比定理,利用侧面投影,两直线交叉,为什么？,两直线相交吗？,不相交！,交点不符合一个点的投影规律！,1(2),投影特性：,同名投影可能相交，但“交点”不符合空间一个 点的投影规律。,“交点”是两直线上的一 对重影点的投影，用其 可帮助判断两直线的空间位置。,判断交叉两直线重影点投影的可见性,判断两直线的相对位置,判断两直线的相对位置,1d,c 1,判断两直线重影点的可见性,第二节 平面的投影,物体是由各种不同形状的表面围成的，点、线、面是构成物体的基本几何元素。平面的投影仍然是以点的投影为基础，只要作出平面上的点的投影，即可求得平面的投影。在求作平面上点的投影时要格外细心，在学习中逐渐养成认真、严谨的良好作风。,一、平面的表示法,1、用几何元素表示,投影图中可用五种形式表示平面不在同一直线上的三点 一直线和线外一点。相交两直线 平行两直线 平面图形,2、用迹线表示,迹线：平面与投影面的交线平面与V面、H面、W面的交线分别称为正面迹线PV、水平迹线PH、侧面迹线PW。,由于用迹线表示平面不够形象，故较少采用,二、各种位置平面的投影,根据平面在三投影面体系中对投影面的相对位置不同，将平面分为：,1、投影面平行面2、投影面垂直面3、投影面倾斜面,特殊位置平面,一般位置平面,1、一般位置平面,定义：与三个投影面均成倾斜的平面。,平面与H、V、W投影面的倾角分别用、表示。,二、各种位置平面的投影,1、一般位置平面,一般位置平面投影特点：由于与三个投影面成倾 斜，故三个投影都缩小 的类似形。三个投影都不能反映、实际大小。,2、投影面的垂直面定义：垂直于某一投影面，而与另两投影面倾斜的平面。,投影面的垂直面有三种：,正垂面：垂直于V面，与 H、W面倾斜 铅垂面：垂直于H面，与 V、W面倾斜 侧垂面：垂直于W面，与 V、H面倾斜,投影面垂直面的投影特点：1、投影面的垂直面在其所垂直的投影面上的投影为一倾斜的直线（积聚性），与投影轴的夹角反映空间平面对投影面的实际倾角；2、另外两个投影为类似形。,3、投影面平行面：平行于某一投影面，垂直于另两投影面的平面。投影面平行面有三种：,正平面：平行V面与H 面、W面垂直 水平面：平行于H面 与V、W面垂直 侧平面：平行于W面 与V、H面垂直,投影面平行面的投影特点：1、投影面的平行面在其所平行的投影面上的投影反映实形（正投影的真实性）2、另外两个投影积聚为平行于相应投影轴的直线。,熟悉各种位置平面的投影特点，能正确画出平面的投影，并能从给出的投影图中判断平面的空间位置。,例：判断立体图中各平面的空间位置。,图中：A平面为 面；B平面为 面；C平面为 面；D平面为 面；E平面为 面。,例：根据给出的平面的两面投影补画第三面投影。作图分析：补画平面投影依据的是找点的方法，即按点的投影规律求出平面上各点的投影，再连接各点。因要找的点较多，为避免出错可将各点标上数字或字母。,一、点的投影 空间点在投影面上的投影仍是点。在正投影中只有点的一个投影不能确定该点在空间的位置。,规定：表示空间的点用大写字母标记，如A；表示点的投影用相应的小写字母，如a。,1、两投影面体系中点的投影,1、两投影面体系中点的投影,二、两投影面体系 多面正投影法通常是用两个互相垂直的投影面，作出点的两个投影来确定该点在空间的位置。,二、两投影面体系,水平放置的投影面称为水平投影面，简称水平面，常标以H。竖直放置的与H面垂直的投影面称为正立投影面，简称正面，常标以V。,1、两投影面体系中点的投影,三、两投影面体系与空间直角坐标系,H 面和V 面构成两投影面体系（简称两面体系），它包含了确定空间点所必须的三个向度，即左右、前后、上下三个方向上的尺度。在两面体系中建立空间直角坐标系（OX 轴、OY轴、OZ 轴）。空间点的位置用三个坐标（x，y，z）表示。,1、两投影面体系中点的投影,四、四个分角,实际上投影面是可以无限扩展的，若把H面向后、V面向下扩展出H0 和V0，无限空间便被分成了四部分，每一部分称为一个分角，依次为第、分角。,1、两投影面体系中点的投影,五、点的两面投影,将点A 放在第分角中进行投影，向H 面投射得a，称为点A 的水平投影或H 面投影。将点A向V 面投射得a，称为点A 的正面投影或V 面投影。,1、两投影面体系中点的投影,画法几何中规定：标记V 面投影，要在小写字母的右上角加一撇，如a；H面投影则不加一撇，如a。点A在空间的位置被其两个投影a和a唯一确定，因为两个投影反映了三个方向的坐标(xA，yA，zA)。点A可表述为A(a，a)。,1、两投影面体系中点的投影,六、两投影面体系的展开,画投影图时，需要把互相垂直的两个投影面展开成一个平面。画法几何规定两面体系的展开方法是：V 面不动，H 面绕OX 轴向下旋转90角。,1、两投影面体系中点的投影,由于投影面是无限大的，在投影图中毋需画出其边界线。,投影面展开后，点A的两投影a和a处于同一条垂直于OX 轴的直线上，此线称为投影连线，即 a a OX。,1、两投影面体系中点的投影,七、点的两面投影规律,1.两投影的连线垂直于投影轴，a a OX。2.空间点的某一投影到投影轴的距离，等于该点到另一投影面的距离,即 aaX=A a=yA，aaX=A a=zA。,1、两投影面体系中点的投影,八、特殊位置点的投影（1）位于投影面上的点，一个投影落在投影轴上，另一个投影与其本身重合。（2）位于投影轴上的点，两个投影均与其本身重合。,1、两投影面体系中点的投影,例1-1 点A 的坐标xA、yA、zA 分别为5、3、4个单位，试画出点A 的两面投影图。,1、两投影面体系中点的投影,例1-2,试画出例1-1中点A 的立体示意图。,1、两投影面体系中点的投影,2、三投影面体系中点的投影,确定点在空间的位置，如前所述，有两个投影就够了。但对于一些较复杂的形体，只有两个投影往往不能确定其形状。解决的办法是 设置第三个投影面，作出第三个投影。,一、三投影面体系的建立 在两面体系的基础上，包含OY 轴和OZ 轴作出第三个投影面侧立投影面（简称侧面），又称W 面。W 面与H、V 面相互垂直并一起构成三投影面体系，简称三面体系。W 面能反映前后、上下两个方向的尺度。,2、三投影面体系中点的投影,二、八个卦角 在扩展H、V 面的基础上，再扩展W 面，得到V 面后的W 面的延展部分W0，从而把空间分成八个卦角（也称卦限）。W、W0面的左方为第、卦角，右方为第、卦角，投影轴的指向即坐标轴的正负向。,2、三投影面体系中点的投影,三、点的三面投影 把点A放在第卦角中进行投射。在H、V 面上得到了a、a，又从左向右投射，在W 面上得到点A的第三投影a，称为侧面投影或W 面投影。它反映了点A的前后及上下两个坐标，即a（yA，zA）。,2、三投影面体系中点的投影,aaZ=a aY=A a=xA，反映点A到W 面的距离；aaZ=a aX=A a=yA，反映点A到V 面的距离；aaY=aaX=A a=zA，反映点A到H 面的距离。用三个投影表达点A 的位置时，可写成A（a，a，a）。,2、三投影面体系中点的投影,与两面体系一样，实际画投影图时需要把三个投影面展开成一个平面。V 面不动，H 面绕OX 轴向下旋转90角，W 面绕OZ 轴向右旋转90角。此时OY 轴被“一分为二”，随H 面的轴记为OYH，随 W 面的轴记为OYW。,2、三投影面体系中点的投影,三、点的三面投影图 给出空间点的三个坐标，就可按前述点的投影规律画出点的三面投影图；反之，由点的三面投影图应能想象出点的空间的位置。点在三面体系中的位置有：在各卦角间、在各投影面内和在各投影轴上等情况，它们都遵守相同的投影规律。,2、三投影面体系中点的投影,四、由点的两个投影求作第三投影,分析点A的三个投影a(xA,yA)、a(xA,zA)、a(yA,zA)，可知，三个投影中的任意两个，都包含有确定该点空间位置所必须的x、y、z 三个坐标，因此，由点的两个投影可以作出第三投影。,2、三投影面体系中点的投影,例1-3 如图所示，已知点A的两个投影 a及a，求作a。,2、三投影面体系中点的投影,例1-3 如图所示，已知点A的两个投影 a及a，求作a。,(利用45分角线或45斜线作图）,2、三投影面体系中点的投影,五、点的投影与坐标 将笛卡尔坐标系引入三面投影体系中，投影面就是坐标面 投影轴就是坐标轴 投影原点就是坐标原点,2、三投影面体系中点的投影,六、两点的相对位置 通常判别两个点在空间的相对位置，是将其中一点作为基准点，判断另一点（即比较点）在基准点之左（或右）、之前（或后）、之上（或下）多少距离。反映在投影图中，是在确定了基准点的前提下，找出两点在同一投影面上投影的同名坐标值的代数差（比较点的坐标减去基准点的坐标）x、y、z，如果为正值，则比较点在基准点的左、前、上方；如果为负值，则相反。,2、三投影面体系中点的投影,例1-4 已知两点的投影，试判断两点的相对位置。,解：选定A(a,a,a)为基准点，B 为比较点，则有：x为正值，点B 在点A 之左；y为负值，点B 在点A 之后；z为正值，点B 在点A 之上。实际上这个结果从投影图上完全可以直接观察到。画成立体图，如图所示。,2、三投影面体系中点的投影,六、点的重影及其可见性判断,当空间两点处在对某一投影面的同一条投射线上时，它们在该投影面上的投影便重合在一起。空间的这些点，称为对该投影面的重影点，重合在一起的投影称为重影。图中，点A、B 是对H 面的重影点，a、b 则是它们的重影。,2、三投影面体系中点的投影,六、点的重影及其可见性判断,在投影图中需要判断并标明重影的可见性，即标明沿投射方向“看”去，哪个点的投影是可见的，哪个点的投影是被遮挡而不可见。重影a、b的可见性是从V面（或W 面）上的投影判断出来的：a高于b，所以a 可见，b不可见。通常在不可见的投影标记上加画括号。,2、三投影面体系中点的投影,