曲面及其方程ppt.ppt
9.3 曲面及其方程,定义1.,如果曲面 S 与方程 F(x,y,z)=0 有下述关系:,(1)曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程;,则 F(x,y,z)=0 叫做曲面 S 的方程,曲面 S 叫做方程 F(x,y,z)=0 的图形.,两个基本问题:,已知动点按照某种规律运动,求运动,(2)坐标满足方程的点都在曲面 S 上,轨迹所产生的曲面方程.,(2)已知方程时,研究它所表示的几何图形,(必要时需作图).,机动 目录 上页 下页 返回 结束,故所求方程为,例1.求动点到定点,方程.,特别,当M0在原点时,球面方程为,解:设轨迹上动点为,即,依题意,距离为 R 的轨迹,表示上(下)球面.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、球面及其方程,例2.研究方程,解:配方得,此方程表示:,说明:,如下形式的三元二次方程(A 0),都可通过配方研究它的图形.,其图形可能是,的曲面.,表示怎样,半径为,的球面.,球心为,一个球面,或点,或虚轨迹.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、柱面,引例.分析方程,表示怎样的曲面.,的坐标也满足方程,解:在 xoy 面上，,表示圆C,沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆,故在空间,过此点作,柱面.,对任意 z,平行 z 轴的直线 l,表示圆柱面,在圆C上任取一点,其上所有点的坐标都满足此方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义2.,平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成,的轨迹叫做柱面.,表示抛物柱面,母线平行于 z 轴;,准线为xoy 面上的抛物线.,z 轴的椭圆柱面.,z 轴的平面.,表示母线平行于,(且 z 轴在平面上),表示母线平行于,C 叫做准线,l 叫做母线.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一般地,在三维空间,柱面,柱面,平行于 x 轴;,平行于 y 轴;,平行于 z 轴;,准线 xoz 面上的曲线 l3.,母线,柱面,准线 xoy 面上的曲线 l1.,母线,准线 yoz 面上的曲线 l2.,母线,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义3.一条平面曲线,三、旋转面,绕其平面上一条定直线旋转,一周,所形成的曲面叫做旋转面.,该定直线称为旋转,轴，曲线成为旋转面的母线,例如:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:,故旋转曲面方程为,当绕 z 轴旋转时,若点,给定 yoz 面上曲线 C:,则有,则有,该点转到,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3.试建立顶点在原点,旋转轴为z 轴,半顶角为,的圆锥面方程.,解:在yoz面上直线L 的方程为,绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为,两边平方,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4.求坐标面 xoz 上的双曲线,分别绕 x,轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.,解:绕 x 轴旋转,绕 z 轴旋转,这两种曲面都叫做旋转双曲面.,所成曲面方程为,所成曲面方程为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,总结,(1)面上的曲线 和 面上的曲线 绕 轴旋转所形成的旋转面方程均为,(2)面上的曲线 和 面上的曲线 绕 轴旋转所形成的旋转面方程均为,(3)面上的曲线 和 面上的曲线 绕 轴旋转所形成的旋转面方程均为,四、空间曲线的一般方程,空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组,例如,方程组,表示圆柱面与平面的交线 C.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,又如,方程组,表示上半球面与圆柱面的交线C.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,空间曲线在坐标面上的投影,设空间曲线 C 的一般方程为,消去 z 得投影柱面,则C 在xoy 面上的投影曲线 C为,消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程,消去y 得C 在zox 面上的投影曲线方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例如,在xoy 面上的投影曲线方程为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,又如,所围的立体在 xoy 面上的投影区域为:,上半球面,和锥面,在 xoy 面上的投影曲线,二者交线,所围圆域:,二者交线在,xoy 面上的投影曲线所围之域.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,9.4 二次曲面,二次曲面,三元二次方程,适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅,就几种常见标准型的特点进行介绍.,研究二次曲面特性的基本方法:截痕法,其基本类型有:,椭球面、抛物面、双曲面、锥面,的图形通常为二次曲面.,(二次项系数不全为 0),机动 目录 上页 下页 返回 结束,1.椭球面,(1)范围：,(2)与坐标面的交线：椭圆,机动 目录 上页 下页 返回 结束,与,的交线为椭圆：,(4)当 ab 时为旋转椭球面;,同样,的截痕,及,也为椭圆.,当abc 时为球面.,(3)截痕:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.椭圆锥面(二次锥面),椭圆,在平面 x0 或 y0 上的截痕为过原点的两直线.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3.双曲面,(1)单叶双曲面,椭圆.,时,截痕为,(实轴平行于x 轴；,虚轴平行于z 轴）,平面,上的截痕情况:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,双曲线:,虚轴平行于x 轴）,时,截痕为,时,截痕为,(实轴平行于z 轴;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,相交直线:,双曲线:,(2)双叶双曲面,双曲线,椭圆,注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:,双曲线,单叶双曲面,双叶双曲面,P18 目录 上页 下页 返回 结束,图形,4.抛物面,(1)椭圆抛物面,(p,q 同号),(2)双曲抛物面（鞍形曲面）,特别,当 p=q 时为绕 z 轴的旋转抛物面.,(p,q 同号),机动 目录 上页 下页 返回 结束,总结.二次曲面,三元二次方程,椭球面,抛物面:,椭圆抛物面,双曲抛物面,双曲面:,单叶双曲面,双叶双曲面,椭圆锥面:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,5.化简二次方程判断曲面类型,设三元二次方程的一般形式为,令,因为A是实对称矩阵，所以存在正交阵Q，使得,作正交变换u=Qv，则,即,其中，,例.化下面方程为标准方程，并指出它是何种曲面,解：将方程写为矩阵形式:,其中，,作正交变换u=Qv，则可得到,单叶双曲面,
