数项级数的收敛和发散.ppt

1,第八章 无穷级数,无穷级数是研究有次序的可数无穷个数或者函数的和的收敛性及和的数值的方法，理论以数项级数为基础，数项级数有发散性和收敛性的区别。只有无穷级数收敛时有一个和；发散的无穷级数没有和。算术的加法可以对有限个数求和，但无法对无限个数求和，有些数列可以用无穷级数方法求和。包括数项级数、函数项级数（又包括幂级数、Fourier级数）。,2,无穷级数,无穷级数是研究函数的工具,表示函数,研究性质,数值计算,数项级数,幂级数,付氏级数,3,8.1 数项级数的收敛和发散,一、基本概念,二、收敛级数的性质,4,引例1.用圆内接正多边形面积逼近圆面积.,依次作圆内接正,边形,这个和逼近于圆的面积 A.,设 a0 表示,即,内接正三角形面积,ak 表示边数,增加时增加的面积,则圆内接正,8.1.1 基本概念,5,引例2.,小球从 1 米高处自由落下,每次跳起的高度减,少一半,问小球是否会在某时刻停止运动?说明道理.,由自由落体运动方程,知,则小球运动的时间为,(s),设 tk 表示第 k 次小球落地的时间,6,定义,给定一个数列,将各项依,即,称上式为无穷级数，,其中第 n 项,叫做级数的一般项,级数的前 n 项和,称为级数的部分和.,次相加,简记为,收敛,则称无穷级数,并称 S 为级数的和,记作,7,当级数收敛时,称差值,为级数的余项.,则称无穷级数发散.,显然,8,例1.讨论等比级数,(又称几何级数),(q 称为公比)的敛散性.,解:1)若,从而,因此级数收敛,从而,则部分和,因此级数发散.,其和为,9,2).若,因此级数发散;,因此,n 为奇数,n 为偶数,从而,综合 1)、2)可知,时,等比级数收敛;,时,等比级数发散.,则,级数成为,不存在,因此级数发散.,10,例2.判别下列级数的敛散性:,解:(1),所以级数(1)发散;,技巧:,利用“拆项相消”求和,11,(2),所以级数(2)收敛,其和为 1.,技巧:,利用“拆项相消”求和,12,例3.,判别级数,的敛散性.,解:,故原级数收敛,其和为,13,的充要条件是:,柯西准则,定理.,证:,设所给级数部分和数列为,因为,所以,利用数列,的数列极限存在的柯西,准则即得本定理的结论.,14,例6.,解:,有,利用柯西准则判别级数,15,当m,nN 时,都有,由柯西准则可知,级数,16,性质1.若级数,收敛于 S,则各项,乘以常数 k 所得级数,也收敛,证:令,则,这说明,收敛,其和为 k S.,说明:级数各项乘以非零常数后其敛散性不变.,即,其和为 kS.,8.1.2 收敛级数的基本性质,17,性质2.设有两个收敛级数,则级数,也收敛,其和为,证:令,则,这说明级数,也收敛,其和为,18,说明:,(2)若两级数中一个收敛一个发散,则,必发散.,但若二级数都发散,不一定发散.,例如,(1)性质2 表明收敛级数可逐项相加或减.,(用反证法可证),19,性质3.,在级数前面加上或去掉有限项,不会影响级数,的敛散性.,证:将级数,的前 k 项去掉,的部分和为,数敛散性相同.,当级数收敛时,其和的关系为,类似可证前面加上有限项的情况.,极限状况相同,故新旧两级,所得新级数,20,性质4.,收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数,的和.,证:设收敛级数,若按某一规律加括弧,则新级数的部分和序列,为原级数部分和,序列,的一个子序列,推论:若加括弧后的级数发散,则原级数必发散.,注意:收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.,但,发散.,因此必有,例如，,用反证法可证,例如,21,例4.判断级数的敛散性:,解:考虑加括号后的级数,发散,从而原级数发散.,22,级数收敛的必要条件,设收敛级数,则必有,证:,可见:若级数的一般项不趋于0,则级数必发散.,例如,其一般项为,不趋于0,因此这个级数发散.,23,注意:,并非级数收敛的充分条件.,例如,调和级数,虽然,但此级数发散.,事实上,假设调和级数收敛于 S,则,但,矛盾!,所以假设不真.,24,例5.判断下列级数的敛散性,若收敛求其和:,解:(1)令,则,故,从而,这说明级数(1)发散.,25,因,进行拆项相消,这说明原级数收敛,其和为,(2),26,这说明原级数收敛,其和为 3.,(3),