数学物理方程第十章球函数.ppt

偏微分方程,常微分方程组,分离变量,本征值问题,广义傅立叶级数,勒让德多项式贝塞耳函数（特殊函数）,特殊函数,勒让德、埃米特、拉盖尔等多项式；贝塞耳、虚宗量贝塞耳、球贝塞耳、超几何，汇合超几何等函数。,10.1 轴对称球函数,第十章 球函数,一、勒让德多项式,有限,设最后一个不为零点系数有,1.代数表示,则对,适当乘本征函数以常数使得,勒让德多项式：,：小于、等于l 的最大整数。,总有 x。,唯一不含 x 的项,2.微分表示（罗德里格斯公式）,证：,3.积分表示（施列夫积分）,由科西公式,C 绕 z=x 点。,设半径为,C 上,即,二、正交关系和模,1.正交关系,一个公式,2.模,第一项为零，即,进行 l 次分步积分后,只有最高次幂才不为零，故,再逐次进行分步积分，得,即,三、广义傅立叶级数,定义在区间 的函数 可以展开为广义傅立叶级数,展开系数为,或区间 的函数 展开为,系数为,例：,在，中将 展开为广义傅立叶级数。,解：,比较,展开式最多含三阶勒让德多项式。,例2,是奇函数：,因,找出,项，它在 x=0 才不为零。,例3,解：,由轴对称,球内含,所以,拉普拉斯方程的轴对称问题,边界条件与角 无关，可以推断解也与角 无关。故,边界条件：,例 4,解：,偶延拓：,例 5,均匀电场中放置介电常数的球，求介质球内、外的电场。,解：,无穷远处有边界条件，球面处有衔接条件。,取球坐标，z-方向沿。,轴对称拉普拉斯问题,内外分别讨论，然后连接起来。,边界条件：,衔接条件：,Internal:,External:,电势连续：,电位移连续：,连续,轴对称拉普拉斯方程度解的一般形式：,球内 有限：,球外无穷远边值：,利用衔接条件：,解得,球内电场强度：,四、母函数,定义：,叫勒让德多项式的母函数。,电荷在单位球的北极。求球内任一点电势。,它又是拉普拉斯方程度内解：,令,又,所以,即,是勒让德多项式的母函数。,球外,令,所以,半径 R 的球：,例6,解：,利用已知结果。,导体内：等势。,导体外：,无导体时,有导体时，设,接地,又,是 处电荷 的电势。这个电荷叫原电荷的镜像。,是原电荷的电势与镜像电荷的电势的叠加。,五、递推公式,两边求导,或,两边同幂的系数,递推公式,10.2,连带勒让德函数,1.函数,设,m是规定的,是 l 次多项式，求 l+1 次导数后变为零。,2.微分表示,情况：,这也是勒让德方程满足自然边界条件的解。二阶微分方程至少有两个独立解，但满足特定边界条件的解是唯一的，故这两个解只相差一个常数。,同项幂的比应该就是这个常数。例如最高次幂：,最高项：,3.,积分表示,4.,正交关系,5.,模,多次分步积分：,6.,广义傅立叶级数,m是规定的,例1,例2,第一项在，第二项在 不为零。,7.,递推公式,由勒让德多项式的递推公式得之。,10.3,球函数,1.球函数,2.正交关系,3.模,4.球面上的广义傅立叶级数,例1,例2,注意：,例3,偶极矩的电场中的电势,解,沿x轴,沿y轴,沿z轴,m等于零,沿任意方向,拉普拉斯方程度的非轴对称解,例4,球内解,其余,边界条件：,四极矩,分量：,电势是两个偶极矩分别产生的电势的叠加：,一个偶极矩的电势：,一般的,