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3-3 贝塞尔方程的级数解,用级数解法来求贝塞尔方程在x=0的邻域中的级数解,贝塞尔方程：,将方程改写为：,可知：,x=0是p(x)的一阶极点，是q(x)的二阶极点，故x=0是方程的正则奇点。,在正则奇点邻域内求方程级数解的一般步骤：,第1步：对方程系数做变换，使其解析，将其展开为泰勒级数形式；,第2步：写出第一解形式，将其代入系数写为泰勒级数形式的方程；,第3步：比较系数，得到判定方程和系数之间的递推关系：由最低次幂项系数得到判定方程；由一般次幂项系数得到系数间递推关系。,第4步：根据判定方程和递推关系求出方程第一解；由判定方程两个根（即 和）的关系，写出方程第二解形式，根据不同形式分别求解。,第1步：对方程系数做变换，使其解析，将其展开为泰勒级数形式；,本例中，,所以，这两个函数已经展成了泰勒级数，其中系数,按正则奇点邻域中级数解法的有关定理，方程的解应具有,第2步：写出第一解形式，将其代入系数写为泰勒级数形式的方程；,设第一解为：,求出：,或：,代入贝塞尔方程,得：,求判定方程：令n=0，得到最低次幂项的系数为：,令其等于0，得：,判定方程,第3步：比较系数，得到判定方程和系数之间的递推关系：,求系数之间递推关系：由一般次幂项 系数求得,递推公式,第4步：根据判定方程和递推关系求出方程第一解和第二解。,它的两个根分别是：,两根之差为：,由此可见，参数 将决定方程两个线性独立解的形式。,判定方程：,将第一个根 代入方程，并利用递推关系式，便可求出方程的第一解；而方程的第二解与判定方程的两根之差有关。,下面，根据方程两根之差的不同情况，讨论两个解的求解过程。,1.整数、半整数时的解,此时，整数。,根据定理可知，两个根的形式为,先求第一解。,第一解对应判定方程的第一个根：,将其代入递推关系式：,得：,可见，待定系数 将可以依次类推，用 表示；,可用 表示。,下面求用 表示 的公式。由递推公式可得：,将以上等式的左右两边分别相乘，消去相同因子，即可得：,将 代入，得：,下面求用 表示 的公式。重写系数关系式：,由 的系数，得：,（由于级数从 次项开始，对应的系数为，之前的系数均为0。因此第二项舍去）,因此，有：,由递推公式可得：,得到方程第一解为：,将 和 代入第一解,（）,通常将 取为：,函数性质：,当（n为整数）时：,把这样的 记作,称为+阶贝塞尔函数,此时，另一个线性独立的解应对应,将其代入第二解形式（与第一解形式相同），可得：,得到 阶的贝塞尔函数 为：,通常也将 取为：,最后，非整数半整数阶的贝塞尔方程的通解就是 和 的线性组合。,2.=整数时的解,判别方程的两根之差为,第一个解只需将 里的 换成n,即为：,因为,所以正整数阶的贝塞尔函数可写成,当n=1，2，3时，观察第二个解（）：,当n=0时，很明显，只给出了同一个解。,前k=0,1,2,n-1各项的系数均为0，这是因为x=0,-1,-2,都是 函数的一阶极点。,对k之求和实际上从k=n开始，即,令m=k-n，将求和指标从k换成m(m=0,1,2,)，则有,与第一解线性相关。,因此另一个解要取含对数项的形式。,这个解称为诺依曼函数：,其中，C为欧拉常数，C=0.577216,最后，=整数时的贝塞尔方程的通解应是,和 有个重要性质：,当x-0时，有,因此，若在解贝塞尔方程时带有边界条件：要求解在x=0处有限，那么在两种情况下，应分别舍去 和，只取 和。,原则上，将 代入贝塞尔方程，即可定出系数。,Nn(x)函数也可用以下定义求得：,综上所述，贝塞尔函数的通解可表示为：,3.=半整数时的解,判别方程的两根之差为：，也是整数，方程的形式同样要取,在此只研究 的特例。,此时方程为：,这个方程的解可用初等函数表示，所以不用级数解法，可直接求解。,对方程作如下变换：,代入原方程，化简得：,其通解为：,将原方程的两个线性独立解分别记作 和，,方程的通解是这两个解的线性组合：,可知：,由,和,总结,常点和正则奇点的概念用幂级数解法解二阶线性微分方程常点邻域将系数展开为常点邻域的泰勒级数形式；将（方程常点邻域内的）解展开为泰勒级数，代入微分方程；比较系数，得到系数之间的递推关系；反复利用递推关系，求出系数的普遍表达式，最后得出级数解；,总结,正则奇点邻域将系数展开为正则奇点邻域的级数形式；将第一种级数形式（不包含对数部分）的解代入方程；比较最低次项（指数为零），得到判定方程（指标方程）；比较一般次项系数，得到递推公式；反复利用递推公式，求出第一解系数的普遍表达式；由判定方程两个根的关系，得出第二解形式，再用相同方法求解：两根之差不为整数时，第二解也不包含对数部分，将判定方程的第二解代入，即可求得；两根之差为整数时，第二解可能包含对数部分，设解为第二解形式（包含对数），代入方程中，用同样方法求解。,