数学建模课件-拟合与插值.ppt

数学建模教程,拟 合与 插 值,在大量的应用领域中，人们经常面临这样的问题：给定一批数据点，需确定满足特定要求的曲线或曲面。对这个问题有两种方法。一种是插值法，数据假定是正确的，要求以某种方法描述数据点之间所发生的情况。另一种方法是曲线拟合或回归。人们设法找出某条光滑曲线，它最佳地拟合数据，但不必要经过任何数据点。,本专题的主要目的是：了解插值和拟合的基本内容；掌握用Matlab求解插值与拟合问题的基本命令。,函数插值与曲线拟合都是要根据一组数据构造一个函数作为近似，由于近似的要求不同，二者的数学方法上是完全不同的。,内容提纲,1.拟合问题引例及基本理论2.Matlab求解拟合问题3.应用实例4.插值问题引例及基本理论5.Maltab求解插值问题6.应用实例,拟 合 问 题 引 例 1,温度t(0C)20.5 32.7 51.0 73.0 95.7电阻R()765 826 873 942 1032,已知热敏电阻数据：,求600C时的电阻R。,设 R=at+ba,b为待定系数,一、拟合问题,拟 合 问 题 引 例 2,求血药浓度随时间的变化规律c(t).,作半对数坐标系(semilogy)下的图形,曲 线 拟 合 问 题 的 提 法,已知一组（二维）数据，即平面上 n个点（xi,yi)i=1,n,寻求一个函数（曲线）y=f(x),使 f(x)在某种准则下与所有数据点最为接近，即曲线拟合得最好。,y=f(x),i 为点（xi,yi)与曲线 y=f(x)的距离,线性最小二乘拟合 f(x)=a1r1(x)+amrm(x)中函数r1(x),rm(x)的选取,1.通过机理分析建立数学模型来确定 f(x)；,2.将数据(xi,yi)i=1,n 作图，通过直观判断确定 f(x)：,曲线拟合问题最常用的解法线性最小二乘法的基本思路,第一步:先选定一组函数 r1(x),r2(x),rm(x),mn,令 f(x)=a1r1(x)+a2r2(x)+amrm(x)（1）其中 a1,a2,am 为待定系数。,第二步:确定a1,a2,am 的准则（最小二乘准则）：使n个点（xi,yi)与曲线 y=f(x)的距离i 的平方和最小。,记,问题归结为，求 a1,a2,am 使 J(a1,a2,am)最小。,线性最小二乘法的求解：预备知识,超定方程组：方程个数大于未知量个数的方程组,超定方程一般是不存在解的矛盾方程组。,如果有向量a使得 达到最小，则称a为上述超定方程的最小二乘解。,线性最小二乘法的求解,定理：当RTR可逆时，超定方程组（3）存在最小二乘解，且即为方程组 RTRa=RTy-正则（正规）方程组的解：a=(RTR)-1RTy,所以，曲线拟合的最小二乘法要解决的问题，实际上就是求以下超定方程组的最小二乘解的问题。,用MATLAB解拟合问题,1、线性最小二乘拟合,2、非线性最小二乘拟合,用MATLAB作线性最小二乘拟合,1.作多项式f(x)=a1xm+amx+am+1拟合,可利用已有命令:,a=polyfit(x,y,m),3.对超定方程组,2.多项式在x处的值y的计算命令：y=polyval（a，x）,例 对下面一组数据作二次多项式拟合,1）输入命令：x=0:0.1:1;y=-0.447,1.978,3.28,6.16,7.08,7.34,7.66,9.56,9.48,9.30,11.2;R=(x.2),x,ones(11,1)；A=Ry,MATLAB(zxec1),解法1解超定方程的方法,2）计算结果：=-9.8108,20.1293,-0.0317,2）计算结果：=-9.8108,20.1293,-0.0317,解法2用多项式拟合的命令,MATLAB(zxec2),1）输入命令：x=0:0.1:1;y=-0.447,1.978,3.28,6.16,7.08,7.34,7.66,9.56,9.48,9.30,11.2;A=polyfit(x,y,2)z=polyval(A,x);plot(x,y,k+,x,z,r)%作出数据点和拟合曲线的图形,1.lsqcurvefit已知数据点：xdata=（xdata1，xdata2，xdatan）ydata=（ydata1，ydata2，ydatan）,用MATLAB作非线性最小二乘拟合,两个求非线性最小二乘拟合的函数：lsqcurvefit、lsqnonlin。相同点和不同点：两个命令都要先建立M-文件fun.m，定义函数f(x)，但定义f(x)的方式不同。,lsqcurvefit用以求含参量x（向量）的向量值函数F(x,xdata)=（F（x，xdata1），F（x，xdatan）T使得,输入格式:(1)x=lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata);(2)x=lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata,lb,ub);(3)x=lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata,lb,ub,options);(4)x,resnorm=lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata,);(5)x,resnorm,residual=lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata,);,说明：x=lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata,options);,lsqnonlin用以求含参量x（向量）的向量值函数 f(x)=(f1(x),f2(x),fn(x)T，使得 最小。其中 fi（x）=f（x，xdatai，ydatai）=F(x,xdatai)-ydatai,2.lsqnonlin,已知数据点：xdata=（xdata1，xdata2，xdatan）ydata=（ydata1，ydata2，ydatan）,输入格式：1）x=lsqnonlin（fun，x0）；2）x=lsqnonlin（fun，x0，lb，ub）；3）x=lsqnonlin（fun，x0，lb，ub，options）；4）x，resnorm=lsqnonlin（fun，x0，）；5）x，resnorm，residual=lsqnonlin（fun，x0，）；,说明：x=lsqnonlin（fun，x0，options）；,例2 用下面一组数据拟合 中的参数a，b，k,该问题即解的最优化问题：,1）编写M-文件 curvefun1.m function f=curvefun1(x,tdata)f=x(1)+x(2)*exp(-0.02*x(3)*tdata)%其中 x(1)=a;x(2)=b；x(3)=k;,2）输入命令tdata=100:100:1000cdata=1e-03*4.54,4.99,5.35,5.65,5.90,6.10,6.26,6.39,6.50,6.59;x0=0.2,0.05,0.05;x=lsqcurvefit(curvefun1,x0,tdata,cdata)f=curvefun1(x,tdata),F(x，tdata)=，x=(a，b，k),解法1.用命令lsqcurvefit,3）运算结果：f=0.0043 0.0051 0.0056 0.0059 0.0061 0.0062 0.0062 0.0063 0.0063 0.0063 x=0.0063-0.0034 0.2542,4）结论：a=0.0063,b=-0.0034,k=0.2542,1）编写M-文件 curvefun2.m function f=curvefun2(x)tdata=100:100:1000;cdata=1e-03*4.54,4.99,5.35,5.65,5.90,6.10,6.26,6.39,6.50,6.59;f=x(1)+x(2)*exp(-0.02*x(3)*tdata)-cdata,2）输入命令:x0=0.2,0.05,0.05;x=lsqnonlin(curvefun2,x0)f=curvefun2(x),函数curvefun2的自变量是x，cdata和tdata是已知参数，故应将cdata tdata的值写在curvefun2.m中,解法 2 用命令lsqnonlin,x=（a，b，k）,3）运算结果为 f=1.0e-003*（0.2322-0.1243-0.2495-0.2413-0.1668-0.0724 0.0241 0.1159 0.2030 0.2792）x=0.0063-0.0034 0.2542,可以看出，两个命令的计算结果是相同的。,4）结论：即拟合得a=0.0063 b=-0.0034 k=0.2542,插值问题,拟合与插值的关系,说明：函数插值与曲线拟合都是要根据一组数据构造一个函数作为近似，由于近似的要求不同，二者的数学方法上完全不同。,实例：下面数据是某次实验所得，希望得到x和 f之间的关系？,MATLAB(cn),问题：给定一批数据点，需确定满足特定要求的曲线或曲面,解决方案：,若不要求曲线（面）通过所有数据点，而是要求它反映对象整体的变化趋势，就是数据拟合，又称曲线拟合或曲面拟合。,若要求所求曲线（面）通过所给所有数据点，就是插值问题；,最临近插值、线性插值、样条插值与曲线拟合结果：,拉格朗日插值,分段线性插值,一 维 插 值,一、插值的定义,二、插值的方法,三、用Matlab解插值问题,返回,二维插值,一、二维插值定义,二、网格节点插值法,三、用Matlab解插值问题,最邻近插值,分片线性插值,双线性插值,网格节点数据的插值,散点数据的插值,一维插值的定义,返回,拉格朗日插值问题,的函数值,已知 y=f(x)在n+1 个点,构造n次多项式 pn(x),使得,从而得到 f(x)的近似计算式,一、线性插值（n=1，一次插值）,求解 L1(x)=a1 x+a0,已知,使得 L1(xi)=yi.(i=0,1),如果令,则称 l0(x),l1(x)为x0,x1上的线性插值基函数。这时,f(x)L1(x)=y0l0(x)+y1 l1(x),二、抛物线插值（n=2，二次插值）,求解 L2(x)=a2x2+a1 x+a0,使得 L2(xi)=yi,i=0,1,2.,关于二次多项式的构造采用如下方法：令,已知,并由插值条件,得到,L2(x)=A(x-x1)(x-x2)+B(x-x0)(x-x2)+C(x-x0)(x-x1),L2(x0)=y0,L2(x1)=y1,L2(x)=y2,于是得到,这时：f(x)L2(x)=y0l0(x)+y1 l1(x)+y2 l2(x),如果令,则有,并称其为二次Lagrange插值多项式。,基函数表示,x0,x1,x2上的二次插值基函数,称为拉格朗日插值基函数。,已知函数f(x)在n+1个点x0,x1,xn处的函数值为 y0,y1,yn。求一n次多项式函数Pn(x)，使其满足：Pn(xi)=yi,i=0,1,n.,解决此问题的拉格朗日插值多项式公式如下,其中Li(x)为n次多项式：,拉格朗日(Lagrange)插值,拉格朗日(Lagrange)插值,特别地:,两点一次(线性)插值多项式:,三点二次(抛物)插值多项式:,拉格朗日多项式插值的这种振荡现象叫 Runge现象,采用拉格朗日多项式插值：选取不同插值节点个数n+1，其中n为插值多项式的次数，当n分别取2,4,6,8,10时，绘出插值结果图形.,例,分段线性插值,计算量与n无关;n越大，误差越小.,例,用分段线性插值法求插值,并观察插值误差.,在-6,6中平均选取41个点作插值,结果如图示,比分段线性插值更光滑。,在数学上，光滑程度的定量描述是：函数(曲线)的k阶导数存在且连续，则称该曲线具有k阶光滑性。光滑性的阶次越高，则越光滑。是否存在较低次的分段多项式达到较高阶光滑性的方法？三次样条插值就是一个很好的例子。,三次样条插值,g(x)为被插值函数。,三次样条插值,例,用三次样条插值选取11个基点计算插值,用MATLAB作插值计算,一维插值函数：,yi=interp1(x，y，xi，method),nearest：最邻近插值linear：线性插值；spline：三次样条插值；cubic：立方插值。缺省时：分段线性插值。,注意：所有的插值方法都要求x是单调的，并且xi不能够超过x的范围。,例：在1-12的11小时内，每隔1小时测量一次温度，测得的温度依次为：5，8，9，15，25，29，31，30，22，25，27，24。试估计每隔1/10小时的温度值。,hours=1:12;temps=5 8 9 15 25 29 31 30 22 25 27 24;h=1:0.1:12;t=interp1(hours,temps,h,spline);(直接输出数据将是很多的)plot(hours,temps,+,h,t,hours,temps,r:)%作图xlabel(Hour),ylabel(Degrees Celsius),例 已知飞机下轮廓线上数据如下，求x每改变0.1时的y值。,二维插值的定义,第一种（网格节点）：,已知 mn个节点,第二种（散乱节点）：,注意：最邻近插值一般不连续。具有连续性的最简单的插值是分片线性插值。,最邻近插值,二维或高维情形的最邻近插值，与被插值点最邻近的节点的函数值即为所求。,将四个插值点（矩形的四个顶点）处的函数值依次简记为：,分片线性插值,f(xi,yj)=f1，f(xi+1,yj)=f2，f(xi+1,yj+1)=f3，f(xi,yj+1)=f4,插值函数为：,第二片(上三角形区域)：(x,y)满足,插值函数为：,注意：(x,y)当然应该是在插值节点所形成的矩形区域内。显然，分片线性插值函数是连续的；,分两片的函数表达式如下：,第一片(下三角形区域)：(x,y)满足,双线性插值是一片一片的空间二次曲面构成。双线性插值函数的形式如下：,其中有四个待定系数，利用该函数在矩形的四个顶点（插值节点）的函数值，得到四个代数方程，正好确定四个系数。,双线性插值,要求x0,y0单调；x，y可取为矩阵，或x取行向量，y取为列向量，x,y的值分别不能超出x0,y0的范围。,z=interp2(x0,y0,z0,x,y,method),用MATLAB作网格节点数据的插值,nearest 最邻近插值linear 双线性插值cubic 双三次插值缺省时,双线性插值,例：测得平板表面3*5网格点处的温度分别为：82 81 80 82 84 79 63 61 65 81 84 84 82 85 86 试作出平板表面的温度分布曲面z=f(x,y)的图形。,输入以下命令：x=1:5;y=1:3;temps=82 81 80 82 84;79 63 61 65 81;84 84 82 85 86;mesh(x,y,temps),1.先在三维坐标画出原始数据，画出粗糙的温度分布曲图.,再输入以下命令:xi=1:0.2:5;yi=1:0.2:3;zi=interp2(x,y,temps,xi,yi,cubic);mesh(xi,yi,zi)画出插值后的温度分布曲面图.,2以平滑数据,在x、y方向上每隔0.2个单位的地方进行插值.,通过此例对最近邻点插值、双线性插值方法和双三次插值方法的插值效果进行比较。,原始数据图,最邻近插值,双线性插值,双三次插值,等高线图,插值函数griddata格式为:,cz=griddata（x，y，z，cx，cy，method）,用MATLAB作散点数据的插值计算,要求cx取行向量，cy取为列向量。,nearest 最邻近插值linear 双线性插值cubic 双三次插值v4-Matlab提供的插值方法缺省时,双线性插值,一室模型：将整个机体看作一个房室，称中心室，室内血药浓度是均匀的。快速静脉注射后，浓度立即上升；然后迅速下降。当浓度太低时，达不到预期的治疗效果；当浓度太高，又可能导致药物中毒或副作用太强。临床上，每种药物有一个最小有效浓度c1和一个最大有效浓度c2。设计给药方案时，要使血药浓度 保持在c1c2之间。本题设c1=10，c2=25(ug/ml).,一种新药用于临床之前，必须设计给药方案.,药物进入机体后血液输送到全身，在这个过程中不断地被吸收、分布、代谢，最终排出体外，药物在血液中的浓度，即单位体积血液中的药物含量，称为血药浓度。,要设计给药方案,必须知道给药后血药浓度随时间变化的规律。从实验和理论两方面着手：,给药方案,1.在快速静脉注射的给药方式下，研究血药浓度（单位体积血液中的药物含量）的变化规律。,t,问题,2.给定药物的最小有效浓度和最大治疗浓度，设计给药方案：每次注射剂量多大；间隔时间多长。,分析,理论：用一室模型研究血药浓度变化规律,实验：对血药浓度数据作拟合，符合负指数变化规律,3.血液容积v,t=0注射剂量d,血药浓度立即为d/v.,2.药物排除速率与血药浓度成正比，比例系数 k(0),模型假设,1.机体看作一个房室，室内血药浓度均匀一室模型,模型建立,在此，d=300mg，t及c（t）在某些点处的值见前表，需经拟合求出参数k、v,用线性最小二乘拟合c(t),计算结果：,给药方案 设计,设每次注射剂量D,间隔时间,血药浓度c(t)应c1 c(t)c2,初次剂量D0 应加大,给药方案记为：,2、,1、,计算结果：,给药方案：,c1=10,c2=25k=0.2347v=15.02,故可制定给药方案：,即:首次注射375mg，其余每次注射225mg，注射的间隔时间为4小时。,作业与练习,练习1 用给定的多项式，如y=x3-6x2+5x-3，产生一组数据(xi,yi，i=1,2,n),再在yi上添加随机干扰(可用rand产生(0,1)均匀分布随机数,或用rands产生N(0,1)分布随机数)，然后用xi和添加了随机干扰的yi作的3次多项式拟合，与原系数比较。分别作1、2、4、6次多项式拟合，比较结果，体会欠拟合、过拟合现象。,练习2 用电压V=10伏的电池给电容器充电，电容器上t时刻的电压为，其中V0是电容器的初始电压，是充电常数。试由下面一组t，V数据确定V0，。,分别应用非线性最小二乘拟合以及非线性回归命令求解，并作比较，体会统计回归与拟合方法的区别。,练习3 在某海域测得一些点(x,y)处的水深z由下表给出，船的吃水深度为5英尺，估计在矩形区域（75，200）*（-50，150）里的哪些地方船要避免进入。,用插值方法作海底曲面图.作出水深小于5的海域范围,即z=5的等高线.,