数学学习与智慧发展(门头沟)章建跃讲座.ppt

数学学习与智慧发展,人民教育出版社 章建跃,一、全面深化课改的新要求,国家中长期教育改革和发展规划纲要（20102020年）的颁布标志着我国课程改革进入了新阶段。全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见，提出“大力弘扬中华优秀传统文化，把培育和践行社会主义核心价值观融入国民教育全过程”的新要求。,着力推进关键领域和主要环节改革,研究制订学生发展核心素养体系和学业质量标准：根据学生的成长规律和社会对人才的需求，把对学生德智体美全面发展总体要求和社会主义核心价值观的有关内容具体化、细化，深入回答“培养什么人、怎样培养人”的问题。教育部组织研究提出各学段学生发展核心素养体系，明确学生应具备的适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力，突出强调个人修养、社会关爱、家国情怀，更加注重自主发展、合作参与、创新实践。,贯彻德育为先、能力为重、全面发展的教育理念，完善符合素质教育和时代要求的课程教材体系，深化人才培养模式改革，为各级各类人才的成长提供平台和良好环境；在教与学的方式上，要进一步推广自主、合作、探究的学习方式与启发、讨论、参与的教学方式，特别是要坚持启发式教学这一优秀传统，增强育人的针对性和实效性；要改变重智轻德、单纯追求分数和升学率的现状，在增强学生的社会责任感、提高学生的创新精神和实践能力上狠下功夫。,以考试分数、升学率为唯一衡量标准的教育发展模式已经走到了尽头。回归数学教育的本来面目，着眼于学生的长期利益，发挥数学的内在力量，挖掘数学内容所蕴含的价值观资源，以提高数学素养、发展思维能力、培育理性精神为核心，使学生在掌握数学知识的过程中学会思考，成为善于认识问题、解决问题的人才。,人类文明进步的基本面是如何善用脑力去“认识问题与解决问题”。基础教育的主要任务其实就是要教导、培训年轻一代成为善于认识问题、善于解决问题的人才，也是基础数学教育的主题与重任所在。,二、当前课堂教学的一些现象,课堂教学目标的定位不准确，把“三维目标”当成课堂教学目标。内容所蕴含的价值观资源挖掘得不够。缺乏内容为载体，过程中渗透思想方法、培养思维能力的教学措施。不用教材，滥用教辅，误导教学。教学的投机性，走捷径的企图明显，试图通过大量练习的高分。,需要商榷的一些问题,导学案泛滥：扰乱了“预设”和“生成”的关系。采用课前导学案已经成为常态，造成预设的环节过于充分，生成的环节过于顺畅，教学的重心过于前移，在某种程度上掩盖了学生独立思考和当堂训练落实的情况，造成课堂练习的进程太快，挤压了学生思考、交流的空间导学案加重了学生的负担,小组合作学习该怎么做？数学学习首先需要独立思考！翻转课堂该怎么看？什么地方用？什么时候用？怎么用？数学是思维的科学，数学教学是思维的教学，翻转课堂能用于“教思维”吗？,三、我国数学教育的问题与思考,1.课程内容与结构课程内容，一是比较庞杂、臃肿，基础性不突出；二是开放性不够，对学生建立完整的数学思维方式不利；三是不能反映信息化社会的需求以及技术环境下数学学习特点。课程结构，模块化破坏了知识的系统性，削弱了知识的逻辑联系性，降低了知识的自我生长能力。,2.教学素材的选择和组织,理想：反映知识的背景和应用（数学知识的内在逻辑，与现实的联系性），关注真实性问题，以开放的形式，解决的途径多样化，答案也可以不唯一。现实：形式化的学习材料，标准化的答案。虽有一题多解，但往往只是技巧上的变化。唯一的目的是应对高考的功利诉求。,3学与教的过程,理想：注重调动所有感官，动手触摸、动眼观察、动脑思考，通过丰富多彩的学习活动、长时间的“悟”，然后是有所发现。现实：学习过程单一，学习活动缺乏灵活性，“悟”的过程太短，甚至没有。直接告诉知识后，进行大运动量操练可能成为“熟练工”，但肯定成不了“领导者”、科学家、思想家等等。,4学习态度,理想：对数学的强烈兴趣，主动学习，培养一种专注于数学问题的习惯。现实：因为高考要考所以只能硬着头皮学许多学生憎恨数学。“其实大多数人恨的不是数学，而是中学老师教给你的那门叫做数学的科目”。丘成桐说，学生不喜欢数学是“老师讲得不好！”他认为数学教学的关键是教师，这是世界性的共识。,5学习结果,理想：养成自主学习的习惯和能力；知识成为独立面对问题时的智慧，成为认识问题、解决问题的利器。现实：习惯于依赖，解老师给的、各种教辅中的题目，缺乏独立面对问题的勇气和能力，“知识”量大，但缺乏灵活性、变通性，杂乱的知识堆砌成为解决问题包袱。,如何通过改革，改变现状？我们应该从哪些方面做出努力？,教师专业发展的三大基石,理解数学，理解学生，理解教学。“三个理解”的内涵：掌握丰富的数学学科知识；中小学数学课程结构体系、教学重点的知识；学生数学学习难点的知识；关于重点知识的教学解释的知识；关于评估学生的知识理解水平的知识；等。特别是，“内容所反映的数学思想方法”的理解水平决定了教学所能达到的水平和效果。,四、理解数学知识的意蕴,包括知识目标、知识价值、知识乐趣、知识热情等，它是人们在知识生产过程中的目标追求与价值取向。知识意蕴是启动、维持与强化认识活动，推动知识产生的内在力量与根本动力。不了解知识意蕴，就不可能了解学科，对这个学科的认识就不会达到一定的高度，很难在教学中提出一些本原性的问题。理解数学知识的意蕴是培养数学核心素养的前提。,从培养创新人才出发,应紧紧围绕“数量关系”、“空间形式”、“数形结合”和“公理化思想”这四条主线,让学生有机会体会和认识一些数学本源性问题，例如引发某个数学分支创立的基本问题,创立过程中出现的瓶颈和突破的关键思想,以及从定性到精确定量的基本过程等。数学对象是怎么抽象出来的；面对一个数学对象，如何展开研究；如何用已有知识去解决问题，发展新知识；等等。,例 几个“简单”概念的理解,空间中的“位置”差异用什么表示？空间中的“方向”差异用什么表示？如何刻画直线的“直”？如何刻画平面的“平”？,“位置”是宇宙空间的最基本要素，位置用“点”表示；线段是连接两点的最短通路，两个点的位置差异用线段的“长度”表示；两个“方向”的差异用“角度”表示；直线的“直”用点与点的位置关系刻画；平面的“平”用点、直线、平面的位置关系来刻画。,理解数学的三重境界,知其然知其所以然何以知其所以然,五、对数学思维方法的认识,思维是指理性认识，或指理性认识的过程，它是人脑对客观事物能动的、间接的和概括的反映，包括逻辑思维和形象思维，但通常是指逻辑思维。思维的工具是语言；思维的形式是概念、判断、推理等；思维的方法是抽象、归纳、演绎、分析和综合等。,一个结构,数学地认识事物的基本结构：定义概念推导性质建立联系实践应用。先从数、形的角度抽象事物的本质属性，定义概念从而明确数学对象；探索对象的要素与要素、要素与环境等之间的关系和相互作用而获得性质；建立相关知识的联系而形成知识体系；应用所得知识解决数学内外的问题，并深化认识、拓展新知。这是一个螺旋上升、逐渐深入的过程。,两个方向（方面）,数学思维有两个相辅相成的方向或方面归纳和演绎。在对某一数学领域或对象的探索认知过程中，一方面要从具体事例的实验、分析中归纳其本质，获得数学猜想、命题等；另一方面又要用逻辑推理、数理分析去研讨业已认知的本质，证明猜想，发现新的性质，认知相关概念的联系性和一致性，直至形成不同学科统一性的认知。数学思维中，归纳和演绎的配合，往往能相互为用、相得益彰，产生意想不到的效果。,三种语言,数学思维的工具：符号语言、图形语言和普通文字语言。数学有自己的符号体系和表达方式，它使人们能方便、简捷地呈现数学思想和成果。数学符号是内涵丰富的“信息块”，因而成为数学思维活动的理想载体。另外，数学符号语言能缩短数学思维过程，使之变得简约、精练。,四种形式,数学思维的基本形式：逻辑推理代数运算几何直观数形结合,逻辑推理是数学思维的主要形式，是从一些数学事实、概念、定理出发，依据逻辑规则推出结论的思维过程。认识问题的要点在于把好本质，发现问题；而解决问题的任务则是运用“已知”之性质去推论“待知”之性质。概括言之，乃是在性质层面的一种以简驭繁。而逻辑推理就是这种以简驭繁的实践与步骤。,“代数学的根源在于代数运算”，有效有系统地运用运算律去解决问题是代数学的基本思想；数及其运算是一切运算系统的模范，与它类比而发现需研究的问题和方法，是基本而重要的数学思维方式；代数运算的过程和方法可以容易地发展成高层次函数观点。,几何直观是利用几何概念抽象空间事物获得几何图形，用图形描述事物的结构特征，用点线面体的关系探索事物的关系，乃至用图形及其关系认知、表达事物的本质和关系，几何直观是展开逻辑推理的思维基础。用几何图形表示数量关系，把几何中的定性结果转化为可运算的定量结果，这是数学思维的变通、灵活性的表现，坐标法、函数与图像（曲线）、三角函数与圆、向量法与几何等都是数形结合的思维产物。,N种因地制宜的具体方法,针对具体数学问题的思维方法：观察、假说、实验法、确证等科学思维方法在数学研究中有用武之地；观察引领思考，事物现象的因果关系、事物的特征和构成要素、以及如何介入其中创造出我们想要的变化等，都能从观察中获得启示；综合法与分析法、顺证法与反证法，以及数学归纳法等等是常用的思维方法。,数学思维方法,一个结构两个方向三种语言四种形式演化出千变万化、赏心悦目、震撼心灵的思维方法。数学思维是人类智慧的最精彩绽放。,六、关于数学的整体性,整体是事物的一种真实存在形式。数学是一个整体。数学的整体性体现在代数、几何、三角等各部分内容之间的相互联系上，同时也体现在同一部分内容中知识的前后逻辑关系上纵向联系、横向联系。学生的学习是循序渐进、逐步深入的，概念要逐个学，知识要逐步教。如何处理好这种矛盾，是教学中的核心问题。,例 从数及其运算看数学的整体性,在数系的发展过程中，正整数与人的直觉一致，天经地义；0、负整数、分数、无理数、复数取得“合法”地位，都经历了漫长、曲折而相似的过程。让学生返璞归真地择要经历这个过程，对他们理解数学的整体性、感受数学研究的“味道”很有好处，自然地，这也是培养学生的数学素养，提高他们发现和提出问题、分析和解决问题的能力的极好途径。,数系扩充的基本思想是什么,数学推广过程的一个重要特性是：使得在原来范围内成立的规律在更大的范围内仍然成立。数系扩充：引入一种新数（如何引入）；定义其运算（如何定义）；满足怎样的运算律。扩充的基本原则是：使算术运算的运算律保持不变。,“有理数”的整体结构,背景（现实需要、数学发展的需要）定义、表示、分类性质运算联系和应用。研究一个数学新对象的基本套路。“数系扩充与复数的引入”的教学设计,例 解析几何中如何体现坐标法思想,解析几何是方法论；其整体性就在于用坐标法处理几何问题。形式上：“三步曲”；经历用坐标法解决问题的完整过程：先用平面几何眼光观察，再用坐标法解决。平面直角坐标系的要素是什么？平面直角坐标系中的点，可以讨论哪些问题一个点？两个点？三个点？,直线与方程的结构,在平面直角坐标系中，确定直线位置的几何要素平面几何是”两点确定一条直线”；这里要发挥直角坐标系的力量，因此引入倾斜角和斜率的概念。斜率：概念、公式（不同条件下的不同形式）、性质（特例、关系）直线的方程：“一点和一个方向，或两点，唯一确定一条直线”的代数化。求解的过程是“同一事物的两种表示等价”。,从哪些角度讨论直线方程？,不同的条件下的不同形式可以问学生：你认为可以从哪些角度确定一条直线？与直线相关的几何问题有哪些？如何利用直线方程进行讨论？平面几何的经验，讨论“相交线与平行线”，“相交线”中有交点坐标、交角、点到直线的距离等，特例是垂直；“平行线”中，平行的条件，平行线间的距离。,还可以讨论哪些问题？,二元一次不等式表示平面区域,如何提出问题？如何获得猜想？从具体到抽象、从特殊到一般强调归纳的过程。直角坐标系中，方程xy6=0的解为坐标的点在直线l上；同时，直线l上的点的坐标都是方程xy6=0的解由此你能提出什么新问题？,(x0,y0)不在直线l上，则x0y060 x0y060或x0y060。坐标平面被直线xy6=0分成三个部分，它们与xy60，xy6=0，xy60有什么关系呢？任意取点，代入，找规律发现“同侧同号”。,如何证明“同侧同号”,点P0(x0,y0)在直线Ax+By+C=0的“左上方”、“右下方”如何用数量关系表达？y P0(x0,y0)O x,获得证明思路的关键,对解析几何的基本思想（坐标法）的理解深度；对“先用平面几何眼光观察，再用代数方法解决”的认识；在直角坐标系中，几何方位的代数化以坐标轴为基准，用不等式表示“上下左右”的关系。所以，归根到底是对直角坐标系、点的坐标等概念的认识和应用。,七、关于系统思维的培养,数学是一个系统，理解和掌握数学知识需要系统思维。系统思维就是把认识对象作为系统，从系统和要素、要素和要素、系统和环境的相互联系及相互作用中综合地考察认识对象的一种思维方法。系统思维能极大地简化人们对事物的认知。系统思维给我们带来整体观、全局观，具备系统思维是逻辑抽象能力强的集中表现。,例 研究“三角形”的系统思维,定义“三角形”，明确它的构成要素；用符号表示三角形及其构成要素；以要素为标准对三角形进行分类；明确研究对象基本性质，即研究要素之间的关系，得到“三角形内角和等于180”等；研究“相关要素及其关系”，如“三角形的外角等于不相邻两内角之和”等；,三角形的全等（反映空间的对称性，“相等”是重要的数学关系，也可以看成“确定一个三角形的条件”）；特殊三角形的性质与判定（等腰三角形、直角三角形）；三角形的变换（如相似三角形等）；直角三角形的边角关系（锐角三角函数），解直角三角形；解三角形（正弦定理、余弦定理）。,把三角形作为一个系统进行研究,明确研究对象（定义、表示、划分）性质（要素、相关要素的相互关系）特例（性质和判定）联系；定性研究（相等、不等、对称性等）定量研究（面积、勾股定理、相似、解三角形等）。,培养系统思维，是为了使学生养成全面思考问题的习惯，避免“见木不见林”，进而使他们在面对数学问题时，能把解决问题的目标、实现目标的过程、解决过程的优化以及对问题的拓展、深化等作为一个整体进行研究。这样，“使学生学会思考，成为善于认识和解决问题的人才”就能落在实处。,什么叫性质？,性质是指事物所具有的本质，即事物内部稳定的联系。问题：这里的“事物内部”指什么？“稳定的联系”是怎么表现的？到底怎样才能发现这种“联系”？,从三角形的“内角和为180”、“两边之和大于第三边”、“大边对大角”、“等边对等角”等你想到了什么？“内部”可以是“三角形的组成要素”，“稳定的联系”是指“三角形要素之间确定的关系”。几何对象组成要素之间确定的关系就是性质。,从“外角等于不相邻两内角的和”、“三条高交于一点”、“等腰三角形三线合一”等又想到了什么？把外角、高、中线、角平分线等叫做三角形的相关要素，这些“相关要素”也可以看成是“三角形的内部”。要素、相关要素之间确定的关系也是性质。,两个几何事物所形成的某种位置关系所体现的性质，例如两条直线平行，从“同位角相等”、“内错角相等”以及“同旁内角互补”可以想到，这时的“性质”是借助“第三条直线”构成一些角，然后看由两条直线平行这一位置关系所决定的这些角之间有什么确定的关系。研究两个几何事物的某种位置关系下具有什么性质，可以从探索这种位置关系下的两个几何事物与其他几何事物之间是否形成确定的关系入手。,圆的几何性质,要素、相关要素：圆心、半径、直径、弧、弦、圆心角、圆周角你认为可以怎样引导学生发现和提出值得研究的命题？,同（等）圆的直径大于不经过圆心的任何一条弦；垂直于弦的直径平分弦，并且平分这条弦所对的两条弧；在同（等）圆中：弧相等则所对的弦相等，且弦心距也相等；两条劣弧不等，则大弧所对的弦较大（弦心距较小）；逆定理也成立。切线垂直于过切点的半径。过圆外一点所作圆的两条切线长相等。你能发现一些与圆心角相关的定理吗？,几何体结构特征的研究,棱柱要素、相关要素：面、棱、顶点、面对角线、体对角线、高要素、相关要素之间的关系：面与面、棱与棱、面与棱特例：长方体正方体，平行六面体,直线与平面平行的性质,位置关系：直线l 平面；其他事物：直线、平面；命题：（1）如果 al，那么a；（2）如果 a，那么a l；（3）如果a l，那么a；（4）如果a，那么a l；,（5）如果l，那么；（6）如果，那么l；（7）如果l，那么；（8）如果，那么 l。,（9）与“公理”相联系，直线l与平面 内任意一点A确定一个平面，=m，那么 ml；（10）l，所以l=。如果m在 内，则或者ml，或者m与l是异面直线。（11）直线m与直线l异面，则过直线m有且只有一个平面与直线l平行。（12）l，=l，=l1，=l2，那么l1l2。,从培养系统思维的要求出发设计教学,以数学知识的发生发展过程为载体，按学生的认知规律设计教学，使学生经历研究一个数学对象的基本过程，提高发现和提出问题、分析和解决问题的能力，培养认识和解决问题的能力。数学化的过程,关于“解三角形”,教学设计中，加强思想方法、解决问题的策略等方面的思考：如何发现问题；从定性到定量地研究问题；将新问题化归为旧问题；从知识的相互联系性思考问题；等等。,如何研究一个数学对象（问题）,数学中，往往是在定性研究问题后，希望得到定量的结果。一个三角形有六个要素，由全等三角形的“基本事实”SSS，SAS，ASA，你能提出什么新的问题？六个要素中，只要知道三个（其中至少有一个是边），三角形就唯一确定。也就是说，其余三个要素可以由这三个要素唯一确定。从定量角度，由这三个要素可以求出其余三个要素。,解直角三角形问题的引出,关于解一般三角形,对于“解三角形”，你会哪些知识？会解直角三角形，对于一般三角形，只有“内角和定理”。给定两边一夹角，求其他边、角化归为直角三角形。还有没有其他方法？从知识的联系性出发，与解三角形相关的知识还有哪些？怎么用？,你还能提出哪些问题？对于一个确定的三角形，其外接圆是唯一确定的，因此外接圆的半径可以用三角形的边、角来表示。怎样用三角形的边、角来表示它的外接圆半径？对于一个确定的三角形，它的高、中线、角平分线、面积等都是唯一确定的，怎样用三角形的边、角来表示它们的度量？,一个三角形包含的各种几何量，如三边的边长、三个内角的度数、面积、外径、内径、高、中线长、角平分线长等，这是三角形这个整体中的各种要素。对它们之间存在的各种函数关系的研究中，可以体现出系统思维的力量，在培养学生的系统思维、掌握“认识、解决问题的方法”、提高发现和提出问题、分析和解决问题的能力等方面都能发挥很好的作用。,八、发挥核心概念及其反映的数学思想方法的引领作用,数学核心知识是数学课程内容结构和功能的基本单位，核心概念是数学核心知识的“控制中心”，在数学知识的发生、发展中起着重要作用，是数学知识的主要生长点。把握住数学核心概念，就抓住了数学知识的根本，掌握了知识增长的源泉。核心概念所反映的数学思想方法具有数学方法论的基础地位，反映了数学的本质和基本思想，是探索大自然中各种各样问题以及数学规律的指导思想，从中可以生发出解决问题的策略和方法。发挥数学核心概念及其反映的思想方法的引领作用至关重要。,例“向量法”的本质,“向量法”的教学，要让学生对向量法的特点有基本而完整的认识的基础上与相关知识建立联系。向量法的本质，首先是让几何量带上符号，“对比把长度、面积、体积考虑为绝对值的普通初等几何学，这样做有极大的好处。初等几何必须依照图形呈现的情况而区分许多情况，而现在用几个简单的一般定理就可以概括。”（F克莱因）,这几个“一般定理”就是：向量加法法则（向量回路）；向量数乘的意义及其运算律；向量数量积的意义和运算律（特别是相互垂直的向量数量积为0）；平面（空间）向量基本定理。,向量的“联系性”,向量回路与三角形定义一致，三角形是最基本、最重要的几何图形，是整个欧氏几何的基础；向量数乘与三角形相似的紧密联系；平面向量基本定理与平行四边形的性质一致；平面向量数量积与余弦定理等价；等等。向量法是以基本的几何图形及其相互关系为出发点解决问题，由此可以把众多的知识串联起来，形成有机联系的整体。向量集数与形于一身，向量运算既是数的运算，也是图形的运算，根据图形列出向量等式，使计算与图形融为一体，这是体现向量法解题特点的关键。,教学中的问题与改进,没有反映向量法的本质，披着向量法的外衣，实际上还是综合几何的方法。把向量法中的代数化曲解为“坐标运算”窄化了向量法的应用范围。改进：加深对“方向”的重要性的认识，加强从四个“一般定理”出发思考和解决问题的教学，加强“代数运算”和“图形运算”的结合。,九、要使学生掌握研究一个数学对象的具体方法,数学观念和具有一般意义的数学思想方法的指导保证高立意。好的教学既需要有好的想法，也需要有能够落实的具体措施，变成学生面对问题时可以实施的行动。一般而言，研究一个具体的数学对象（即使是解一个有思维含金量的数学题目），往往需要经历从定性到定量、从具体到抽象、从宏观到微观的过程。,围绕核心概念发展知识体系,十、数学方法因解决问题的需要而产生,解决一个数学问题，无非是两种途径：（1）调动已有知识解决之用概念、原理为条件和结论搭桥；（2）创造一种新的方法解决之在分析面临问题的特征的过程中发现、创造，核心是从具体事例中抽象规律，概括出一般方法。,数学归纳法的教学,如何引出问题明确要解决的问题是“证明一个依赖于自然数n的命题p(x)”，而用现有的逻辑推理方法如分析法、综合法、反证法等无法证明。如何获得方法在具体推理过程中发现结构，这里就是归纳（为什么这种方法叫做数学归纳法？）：a1=1；由a1=1和an+1=f(an)得a2=1/2；由a2=1/2和an+1=f(an)得a3=1/3；归纳出具有一般性的结构：ak=1/k和an+1=f(an)得到ak+1=1/(k+1)。,利用生活经验（多米诺骨牌等）增强直观感受，使学生确信方法的可靠性；方法的给出，强调第二步到底要做什么。如何教解题（应用）亦步亦趋地写出条件和结论各是什么；用数学归纳法证明时，第一步要证的是什么，特别是第二步本质上是要干什么证明一个命题：以n=k成立为条件，证明n=k+1也成立。缺第一步、第二步的辨析放在哪里？小结如何做？,十一、使学生学会用数学语言思考和表达,用代数、几何的语言刻画和表达一种数学现象，是数学学习的基本任务。完成这个任务，实际上也是进行“数学地思考和解决问题”的教学。,函数的单调性,是性质课，核心是要让学生学习用严格的代数语言刻画“在区间D上，当x增大（减小）时，相应的f(x)也随着增大（减小）”。要引导学生借助具体函数，经历从图像直观到定性刻画，再到用严格的数学语言刻画的过程。教学设计中，关键是要思考如何采取有效措施突破x在区间D上的任意取值这一难点。,通过适当的问题，设法把“任意”两字从学生的潜意识中“逼”出来，引导他们体会借助代数符号（字母表示数的任意性），用“任意”刻画“无限”的数学方法的威力：问题：你是怎样理解“y随x的增大而增大”的？你能用自己的语言说说吗？可以y=x2为例。意图：具体化。学生一般会转述为“x增大了，对应的函数值y也增大。”,追问1：“x增大了”怎么用符号语言表示？“对应的函数值y也增大”又该如何表示？可以y=x2为例。预设：一般地，学生会从我们提供的表格中看到具体数值的变化规律，如12，f(1)=14=f(2)；23，f(2)=49=f(3)；追问2：（1）能写得完吗？怎么办？（2）你能借助字母符号，归纳出上述具体例子的共同点吗？预设：只要x1x2，就有f(x1)f(x2)。,追问3：这里对x1，x2有什么要求？只取（0，）上的某些数是否可以吗？你能举例说明吗？预设：应该是区间（0，）上的任意两个数。追问4：所以，更严格的表达应该是预设：任取x1，x2（0，），只要x1x2，就有f(x1)f(x2)。总结：这里，我们借助代数符号语言，通过归纳，给出了一个与“无限”相关的变化规律的数学描述，体现了代数的力量。其中，任取x1，x2（0，），把“无穷”的问题转化成了具体可操作的有限过程。,十二、限制课堂容量，延长知识获得过程，给学生“悟”的时间,赶进度，三年课程两年完成，成为高中数学教学常态，目的是追求教育GDP。直接告诉知识，可让学生在短时间内得到更多知识，但很难转化成解决问题的智慧。,教育是“慢”的事业,“慢”就是快！应加强动手、思考和感悟的实践，培养学生渴求知识的感觉。先让学生思考、感悟，经历“猜想验证”、“发现论证”的过程，然后上升为理性认识。越是看上去简单的知识，越要让学生亲身感悟，从中获得“如何思考”的体验，这样得到的知识才能转化为认识世界的智慧，创造力的培养也蕴含其中。真正的学习必须经历“感知感悟知识”的过程。,学生冥思苦想而不得其解，一经提示就恍然大悟，问题到底出在哪里？“不是做不到，而是想不到”的现象，正是数学素养低、数学能力差的表现。改变这种状态，要让学生不仅能做而且会想，唯一的办法是放手让学生自己先想、先做。这就需要限制课堂容量，放慢教学节奏，给学生“悟”的时间，给学生说出自己想法的机会。,教之道在于“度”学之道在于“悟”,为了发展学生智慧，需要思考一些基本问题，例如：如何用有趣的问题引发学生兴趣，用恰时恰点、直击要害反映本质、简明易懂的问题引发学生思考、讨论？如何不急不躁，给学生充分的时间思考、讨论，自然而然地为学生构建数学研究路径？如何提高解题的层次，使学生通过解题认识一般的数学原理，并且让学生体会“如何做研究”，使思维的训练、创造力的培养蕴涵其中？,教学中应多问“你是怎么想的？”“你是怎么想到的？”“还有别的想法吗？”少问“是不是？”“对不对？”更不要“我已经给大家准备好了，下面开始算吧！”,结束语,数学育人使学生在数学学习中树立自信，坚定正念，增强定力，激励精进，启迪智慧，净化心灵。,谢谢倾听请提宝贵意见,