数学分析第十二章广义积分与含参变量积.ppt

广义积分,含参变量积分,与,第十二章,1 无穷积分,2 瑕积分,1.概念,注.无穷积分 收敛即为极限 存在.,定义.设 在 有定义,且在任意闭区间 上可积.若 存在,则称无穷积分 收敛,并定义,定义.设 在 有定义.若对某个数,和 都收敛,则称无穷积分 收敛,并定义,注.,若,是 在 的原函数,且 存在,则,注.对无穷积分也有类似于定积分的线性性质,分部积分公式,换元公式.,记成,下面讨论只针对 加以叙述.所得结论对 及 也相应成立.,2.Cauchy收敛原理,定义.若 收敛,则称 绝对收敛.若 收敛,而 发散,则称 条件收敛.,3.比较判别法,定理1.3.(比较判别法)设,在 有定义,且在任意闭区间 上可积.又设存在,使得则有(1)若 收敛,则 收敛.(2)若 发散,则 发散.,推论1.2.(比较判别法的极限形式)设,在 有定义,且在任意闭区间 上可积.又假定 且(可以是)那么得到下列结论,(可以是)那么得到下列结论(1)当 时,若 收敛,则 收敛.(2)当 时,若 发散,则 发散.,推论1.3.(Cauchy判别法)设 在 有定义,且在任意闭区间 上可积.又假定 且(可以是)那么得到下列结论,(可以是)那么得到下列结论(1)若,则 收敛.(2)若,则 发散.,思考.收敛 反之不成立.收敛？回答是否定的.,4.Abel判别法和Dirichlet判别法引理1.1.设,在 可积.若 在 单调下降,且.则存在,使得,引理1.2.设,在 可积.若 在 单调上升,且.则存在,使得,定理1.4.(积分第二中值定理)设,在 可积.若 在 单调,则存在,使得,定理1.5.(Abel判别法)设,在 有定义,且在任意闭区间 上可积.若(1)在 单调有界;(2)收敛,则 收敛.,定理1.6.(Dirichlet判别法)设,在 有定义,且在任意闭区间 上可积.若(1)在 单调,且;(2)关于 有界,即,使得,则 收敛.,2 瑕积分,1.瑕点与瑕积分定义.若 在 的任何一个空心邻域无界,则称 是 的一个瑕点或奇点.,定义.假定 在任意闭区间 可积.若 是 的瑕点,且极限存在,则称瑕积分 收敛,并定义若 不存在,则称瑕积分发散.,定义.假定 在任意闭区间 可积.若 是 的瑕点,且极限存在,则称瑕积分 收敛,并定义若 不存在,则称瑕积分发散.,定义.设.若 是 的瑕点,且 和 都收敛,则称瑕积分 收敛,并定义若 和 中有一个发散,则称 发散.,定义.若 都是 的瑕点,且和 都收敛,则称瑕积分 收敛,并定义其中.若 和 中有一个发散,则称 发散.,注.若 都是 的瑕点,不依赖于 的选取.,注.对瑕积分也有类似于定积分的线性性质,分部积分公式,换元公式.,注.广义积分无乘积性质.,2.Cauchy收敛原理定理2.1.设 在 有定义,且在任意闭区间 可积,是瑕点.则 收敛的充要条件是:,当 时,推论2.1.设 是 的瑕点.若 收敛,则 收敛.,3.比较判别法 设 是 在 的唯一瑕点,且 关于 单调下降,则 存在的充要条件是:关于 有界.,定理2.2.(比较判别法)设,在 有定义,且在任意闭区间 上可积,又 是 的瑕点.若存在,使得则有下列结论(1)若 收敛,则 收敛.(2)若 发散,则 发散.,定理2.3.(比较判别法的极限形式)设,在 有定义,且在任意闭区间 上可积,又 是 的瑕点.若存在,使得并且(可以是)则有下列结论,(1)当 时,若 收敛,则 收敛.(2)当 时,若 发散,则 发散.,推论2.2.(Cauchy判别法)设 在 有定义,且在任意闭区间 上可积.又假定 且(可以是)那么得到下列结论,(1)若,则 收敛.(2)若,则 发散.,注.若 在 有有限个瑕点,分割,使得每个有限子区间只含一个瑕点,而最后一个为无穷区间,它不含瑕点.定义 为这些子区间上积分之和,且只要在一个子区间上发散,就认为 发散.,4.Abel判别法和Dirichlet判别法定理2.4.(Abel判别法)设,在 有定义,在任意闭区间 上可积,并且 是 的瑕点.若(1)在 单调有界;(2)收敛,则 收敛.,定理2.5.(Dirichlet判别法)设,在 有定义,在任意闭区间 上可积,并且 是 的瑕点.若(1)在 单调,且;(2)关于 有界,即,使得,则 收敛.,5.瑕积分与无穷积分的联系 以 为瑕点的瑕积分,可通过变量替换 而化为无穷积分,6.Cauchy主值与奇异积分定义.设,在 有定义且在任意闭区间 上可积,并以 为瑕点.若存在,则称 在Cauchy主值意义下收敛,而 被称作 的Cauchy主值,记作,注.设 是 的瑕点.若 收敛,则它在Cauchy主值意义下收敛.,例9.设 在 连续,且对任意的 满足其中 均为正常数,且(称 在 满足Hlder条件).证明:对任意的，在Cauchy主值意义下收敛.,定义.设 在 有定义,且在任意闭区间 上可积.若存在,则称 在Cauchy主值意义下收敛,而 被称作 的Cauchy主值,记作.,例10.计算,注.在Cauchy主值意义下的广义积分,称做奇异积分.,3 含参变量积分,1.概念,2.含参变量积分的连续性,注.问题更一般的提法:若 定义在,并假定对每一个,作为 的函数在 可积.问何时成立,定义.设 定义在 上,.若存在函数,只与 有关,使得当 且 时,则称当 时,关于 一致收敛于.,定理3.2.若 在 连续,是 上连续函数,且则在 连续.,例2.求,3.积分号下求导,定理3.4.若 在 连续,在 可导,且则 在 可导,且,4.积分号的交换,注.记,4 含参变量无穷积分,1.含参变量无穷积分,定义.设 定义在,且对每一个,无穷积分 都收敛.若,使得当 时,则称 关于 一致收敛.,2.含参变量无穷积分一致收敛的判别法定理4.1.(Cauchy收敛原理)在 中一致收敛的充要条件是:,使得当 时,定义.若 在 中一致收敛,则称 在 中绝对一致收敛.若 在 中一致收敛,而 在 中不一致收敛,则称 在 中条件一致收敛.,注.也称为M-判别法.,注.绝对一致收敛蕴含着一致收敛.M-判别法 只适用于绝对一致收敛情况.,定理4.4.(Abel判别法)若 在 有定义,且满足(1)对每个固定的,是 的 单调函数,且 关于 一致有界,即,使得;关于 一致收敛,则 关于 一致收敛.,定理4.5.(Dirichlet判别法)若 在 有定义,且满足(1)对每个固定的,是 的 单调函数,且当 时,关于 一致趋于,关于 一致有界,即则 在 中一致收敛.,3.一致收敛的含参变量无穷积分的性质定理4.6.设 在 连续,其中 为一区间(开,闭 或 半开半闭区间).若 关于 一致收敛,则 在 上连续.,定理4.7.(积分次序交换定理)设 在 连续.若 关于 一致收敛,则,注.如果 换成无穷区间,条件要加强.,定理4.8.设 在 连续.若 在 内闭一致收敛,在 内闭一致收敛,并且 或中至少有一个收敛,则 与 均存在且相等,即,定理4.9.(积分号下求导定理)若(1)在 连续,(2)对每个 均收敛,(3)关于 一致收敛,则 在 可导,且,注.称为Dirichlet积分.,定理4.7.(积分次序交换定理)设 在 连续.,则,若 关于 一致收敛,4.Dini定理定理4.10.(Dini定理)设 在 连续,且(或).若对每个,收敛,且在 连续,则 在 一致收敛.,注.换成开区间,结论不一定成立.,注.从证明过程看出,我们实质上证明了比定 理4.10更一般的命题.,5 含参变量瑕积分,定义.设 定义在,以 为瑕,则称 关于 一致收敛.,都收敛.,点,且对每一个,瑕积分,若,使得当 时,定理5.1.(Cauchy收敛原理)以 为瑕点的含参变量瑕积分 在 中一致收敛的充要条件是:使得当 时,注.若 在 中一致收敛,则,注.可类似含参变量无穷积分,定义绝对一致 收敛和条件一致收敛.,在 中一致收敛.,定理5.2.(M-判别法)设 在 有定义,是瑕点.若存在,使得(1)(2)收敛.则 在 中一致收敛.,注.M-判别法只适用于绝对一致收敛情况.,定理5.3.(Abel判别法)设 在 有定义,以 为瑕点.如果(1)对每个固定的,是 的 单调函数,且 关于 一致有界,即,使得 关于 一致收敛,则 关于 一致收敛.,定理5.4.(Dirichlet判别法)设 在 有定义,以 为瑕点.如果(1)对每个固定的,是 的 单调函数,且当 时,关于 一致收敛于,(2)在 一致有界,即,则 关于 一致收敛.,例1.证明:关于 内闭一致收敛.,定理5.5.设 在 连续.若 关于 一致收敛,则 在 上连续.,例2.设.讨论 的 定义域和连续范围.,定理5.6.设 在 连续.若 关于 一致收敛,则,定理5.7.设 在 连续.若 关于每个 都收敛,关于 一致收敛,则 在 可导,且,例3.求 的表达式,及 的值.,6 函数与 函数,1.函数,命题6.3.在 有任意阶导数.,命题6.2.在 连续.,命题6.1.的定义域为.,命题6.4.,性质.,注.,由此只要知道 的值,就可以计算.,性质.有如下表示方法,(2),(1),2.函数,命题6.8.(对称性),命题6.7.在 有任意阶 连续偏导数.,命题6.6.在 连续.,命题6.5.的定义域为.,命题6.9.(递推公式),注.两个递推公式合并使用,性质.有另外表达式,注.,(2),(1),定理6.1.设,注.,3.若干应用 主要用于某些特殊类型的积分的计算,例3.求,例2.求,例1.求,关于 函数还有三个重要公式,Stirling公式其中,余元公式,Legendre公式,