数字图像处理图像交换.ppt
3 图像变换,3.1 概述,输入函数f(x,y)妇表示原始图像，输出函数g(x,y)表示经处理后的图像，线性系统可看作是一种映射，它反映了各种线性的图像处理方法。,1）图像处理的线性描述,系统的输入和输出关系表示为,一般地讲，图像处理的二维系统为非因果系统，因空间变量(x,y)相对于某参考轴可为负值。,2）图像变换的好处,一般数字图像处理的计算方法本质上都为线性，处理后的输出图像阵列为输入图像阵列的各个元素的加权线性组合，这种空间线性处理要比非线性处理简单但若图像阵列很大，如果没有有效的算法，计算上很麻烦且费时，往往采用各种图像变换的方法，可获得更有效的处理,3.2 图像的线性运算,若实变量函数f(x,y)连续可积，且F(u)可积，则傅里叶变换对为：,二维连续傅立叶变换,1）一维连续傅立叶变换,u=/2,为频率变量,考虑f(x)为实函数，将傅立叶变换写成复数形式,进一步写成指数形式,为幅值函数，称为 f(x)的傅立叶谱,称为相角,傅立叶谱的平方，称为能量谱或功率谱,若 f(x,y)连续可积的，且F(u,v)可积，则二维傅立叶变换对为,2）二维连续傅立叶变换,其中u,v是空间频率变量,傅立叶谱,相角,能量谱,表3.1给出了常用函数的二维傅立叶变换对,3.3 二维离散傅立叶变换及其性质,3.3.1 概述,离散傅立叶变换（Discrete Fourier Transform 简称 DFT）在数字信号处理和数字图像处理中应用十分广泛，它建立了离散时域和离散频域之间的联系。,如何运用DFT,将输入的数字信号首先进行 DFT 变换，在频域中进行各种有效的处理，然后进行 DFT 反变换，恢复为时域信号。,DFT的优点,用计算机对变换后的信号进行频域处理，比在时域中直接处理更加方便，计算量也大大减少，提高了处理速度有快速算法，即 FFT(Fast Fourier Transform)算法,3.3.2 二维离散傅立叶变换,以 x 为增量间隔进行取样，将一维连续函数 f(x)离散化。,1)一维离散傅立叶变换,式中x=0,1,2,，N-1，为离散值,表示为：,经取样后的一维离散函数 f(x)的离散傅立叶变换对由下式表示：,式中,F(u)也是一个离散函数,F(u)=F(u0+uu),若取样始于原点,式中u=0,1,2,，N-1，为离散值,空间域取样间隔x和频率域取样间隔 u 之间的关系为,2）二维离散傅立叶变换,式中,空间域取样间隔x，y和频率域取样间隔 u，v 之间的关系为,式中,在数字图像处理中，图像一般取样为方形阵列，M=N，那么二维 DFT 可表示为,常用的是正、反变换式中常数项均取 l/N 这不影响问题的本质。,几个参数,3.3.3 二维离散傅立叶变换的性质,1）线性,设 F1(u,v)和 F2(u,v)分别为二维离散函数 f1(x,y)和f2(x,y)的DFT，则,式中a，b是常数,2）可分离性,将式（）,分成两部分乘积,设式（）后面的求和项为：,此式表示对每一个 x 值，f(x,y)先沿每一行进行一次一维傅立叶变换（对比式(3.3.2)）,再将F(x,v)沿每一列进行一次一维傅立叶变换，就可得二维傅立叶变换 F(u,v)，即,上述过程用图表示为,显然，改为先沿列后沿行分离为两个一维变换，其结果是一样的。即,二维离散傅立叶反变换的分离过程与上述相似，所不同的只是指数项为正。,若f(x,y)F(u,v)，则,2）平移性,(1),(2),(3)频移/空移时，幅度不变。,(4)当u0=v0=N/2时,即，如果需要将图像频谱的原点从起始点(0,0)移到图像的中心点(N/2,N/2)，只要 f(x,y)乘上(-1)(x+y)因子,再进行傅立叶变换即可,（a）原始图像(b)中心化前的频谱图(c)中心化后的频谱图图3.3.3 图像频谱的移动实例,4)周期性和共轭对称性,周期性,共轭对称性,5）旋转不变性,引入极坐标,有：,此式表明，如果 f(x,y)在空间域中旋转 0角度后，相应的傅立叶变换 F(u,v)在频域中也旋转 同一0角。反之亦然。,傅立叶变换的旋转性,图3.3.5 傅立叶变换的旋转性,6）分配性和比例性,分配性,比例性,对于两个标量a和b，有,7）平均值,二维离散函数的平均值定义如下：,将u=v=0带入F(u,v)公式，得,所以：,8）微分性质,定义f(x,y)的拉普拉斯算子为,按二维傅立叶变换的定义，可得：,拉普拉斯算子通常用于检测图像的边缘,9）卷积定理,连续函数卷积定理,两个二维连续函数 f(x,y)和 g(x,y)的卷积定义为,设f(x,y)F(x,y)，g(x,y)G(x,y)，则,设,离散函数卷积定理,其二维离散卷积形式为,此形式与连续的基本一样，所不同的是所有变量 x，y，u，v 都是离散量,二维离散卷积定理可用下式表示,10）相关定理,其中,一点补充,在图像处理中，常以光强度函数显示傅立叶谱。但许多图像的谱随着频率的增加衰减的很快，因此它们的高频项变得越来越不清楚，为解决此问题，常用下面的函数代替|F(u)|,
