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    数值分析-课件-第07章非线性方程求根.ppt

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    数值分析-课件-第07章非线性方程求根.ppt

    数值分析,数 值 分 析Numerical Analysis机械与汽车工程学院主讲人:孔胜利2012-09-01,数值分析,第7章 非线性方程求根,求根的基本问题及分析方法 迭代法Newton法弦截法与抛物线法,数值分析,7.1 求根的基本问题及分析方法,方程的求根大致包括3个基本问题:根的存在性 方程有没有根?有的话,有几个?根的隔离 求出几个互不相交的区间,使每个区间中只有一个根。根的精确化 在求出精度不高的近似根的基础上,逐步将根精确化,直到满足预先要求的精度为止。基本方法:分析法搜索法二分法,数值分析,求根的基本问题及分析方法,1、分析法利用连续函数的性质,函数的增减性、极值等性质判定根的范围。特别是当 f(x)连续,且,则a,b间至少有一个实根。这点在判定根的范围中很重要。对于n次多项式方程至多有n个实根。有时可以辅以图像来更直观地观察分析问题。,数值分析,求根的基本问题及分析方法,例 对 之根进行隔离。解 显然,由得驻点。因 故 分别为 极大值和极小值。从而 内各有一个实根。由 y=f(x)的草图可以直观地看到这点。又显然有因而,三个根的更好的隔离区间为,y=f(x)的草图,数值分析,求根的基本问题及分析方法,2、搜索法如果我们判定方程 f(x)=0 的某一个根的大致范围,则可用搜索法加以缩小,使根进一步精确化。设,且,则可判定。不妨设,且。我们从左端开始,按预先选定的步长h,一步一步地向右边走,每走一步检查一下终点的函数值是否取正号。如果,则表明根。如果精度不够,可将 看成 a,b再次进行搜索,并从左端点开始向右搜索,直到满足精度为止。在具体实施中,步长的选择是个关键,步长较小时精度高,但搜索次数增加。,数值分析,求根的基本问题及分析方法,例题 试求方程 的唯一正根,要求误差不超过0.1。解 从 x=0 开始,取步长 h=1,则有故根。再去 h=0.2,因,故根从而取近似根为2.1,即 即可满足精度要求。注意:搜索法的实施是很灵活的,哪怕没有给出根的存在范围,也可进行搜索。,数值分析,求根的基本问题及分析方法,3、二分法把搜索的步长取为含有根区间 a,b 的1/2,便得到二分法。例题 用二分法将 在(2,3)内的根精确到小数点后第二位。解,数值分析,求解方程 的问题,可将方程变形写成 的形式。显然,前者的根 必满足后者,即。反之亦然。这表明:求方程 的根,可转化为求方程 的根。为此,可选定某个初值,按迭代格式进行迭代运算。(*)称为求方程之根的迭代格式。在 中,称 为函数 的一个不动点。从而,求方程之根,即求函数 的零点,又等价于求迭代函数 的不动点。,7.2 迭代法,数值分析,例题1求方程 在0.4附近的有五位有效数字的近似根。解将方程变形为则迭代格式为取初始值为0.4,可算得各次近似根为,数值分析,收敛迭代格式的建立例题 求方程 在1.5附近的近似值。解 将方程变为,建立迭代格式前者是收敛的,后者是发散的。后者与前者的最大不同点在于后者的导数,而前者的。这表明:迭代格式的收敛性,与迭代函数的导数 的大小有关。,数值分析,定理设迭代函数,且满足(1)任给,总有(2)存在正数q 1,使则对于任意初值,当 时,迭代格式所得的数列 收敛于a,b内唯一的实根,并有估计式注意:定理中在函数的整个定义区间上满足 的条件是相当苛刻的,实际应用中局部收敛即可。,数值分析,例题 求方程 的一个正根,精度为10-3。迭代格式的收敛速度迭代加速公式,数值分析,7.3 Newton法,Newton迭代法的基本思想将曲线的问题转化为直线来解决,即将非线性方程转化为线性方程来求解。Newton迭代格式由于它是基于切线方程而得到的,因而也叫切线法。,数值分析,例题 用Newton法求方程 在0.5附近的根。解因为,故迭代格式为取初值,经迭代演算,得到前四次的近似根为,数值分析,Newton法的应用对于给定的正数C,应用Newton法解二次方程因为 故得求 的近似值的迭代格式例题 计算解 凡是迭代算法,初值的选取都会影响到收敛速度。取,利用上面的迭代格式计算4次的结果为,数值分析,习题 应用牛顿法于方程,导出求立方根 的迭代公式。,数值分析,简化Newton法迭代公式为Newton下山法迭代公式为,数值分析,7.4 弦割法与抛物线法,Newton法具有收敛快的优点,但也有要计算导数 的缺点,这对求导比较麻烦的函数,牛顿迭代格式用起来是不方便的。为避开计算导数,取2个初值点,过作割线,则得到割线的斜率为一般地,用割线的斜率代替牛顿法中切线的斜率,即用 则得新的迭代格式用(*)式求近似根称为双点弦割法。,数值分析,在用双点弦割法中计算 次近似值 时,要用到前面两点 的信息,公式启动时要提供两个初值。单步迭代法和多步迭代法凡是计算 次近似只用到前面一点 的信息的迭代法称为单步迭代法,而要用到前面两点或两点以上的信息的迭代法则称为多步迭代法。有时为了简化双步迭代法,可用固定的点 代替得迭代格式 如下所示,称为单点弦割法,数值分析,习题 用双点弦割法计算 在 附近的根。根的精确值 要求计算结果有四位有效数字。计算时取。,数值分析,抛物线法设已知方程 的三个近似根,我们以这三点为节点构造二次插值多项式,并适当选取 的一个零点 作为新的近似根,这样确定的迭代过程称为抛物线法。基本思想是用抛物线 与x轴的交点 作为所求根的近似值。,数值分析,插值多项式有两个零点:式中注意:根式前正负号的取舍是根式前的符号与 的符号相同即可。,数值分析,习题,数值分析,习题,数值分析,习题,数值分析,习题,数值分析,习题,数值分析,习题,数值分析,习题,数值分析,习题,数值分析,习题,数值分析,习题,数值分析,习题,数值分析,习题,数值分析,习题,数值分析,习题,数值分析,习题,

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