插值法与Lagrange插值.ppt

第3章 插值法,数值分析,第3章 插值法,3.1 插值法 Lagrange插值,3.4 分段插值法,3.2 Newton插值,3.3 Hermite插值,3.5 三次样条插值,本章要点,用简单的函数(如多项式函数)作为一个复杂函数的近似,最简单实用的方法就是插值,而数据拟合则是另外一类的函数近似问题.,本章主要介绍有关插值法的一些基本概念,及多项式插值的基础理论和几个常用的插值方法:Lagrange插值、分段线性插值、Newton插值、Hermite插值、三次样条插值,3.1 插值法,能否存在一个性能优良、便于计算的函数,一、插值问题,-(1),这就是插值问题,(1)式为插值条件,二、代数插值多项式的存在唯一性,为了使插值函数更方便在计算机上运算,一般插值函数都使用代数多项式和有理函数,本章讨论的就是代数插值多项式,且满足,-(2),-(3),-(4),上述方程组的系数行列式为n+1阶Vandermond行列式,定理1.,由Cramer法则,线性方程组(4)有唯一解,-(2),-(3),则满足插值条件,的插值多项式,存在且唯一.,虽然线性方程组(4)推出的插值多项式存在且唯一,但通过解线性方程组求插值多项式却不是好方法,根据线性空间的理论,并且形式不是唯一的,且在不同的基底下有不同的形式,三、Lagrange插值多项式,-(5),-(6),且满足,-(7),n+1次多项式,-(7),且,-(8),(请同学们思考),从而,令,即,由(8)式,可得,-(9),-(10),其中,-(7,7),-(11),例1:,解:,且,在例1中,如果只给出两个节点169和225,也可以作插值多项式,即1次Lagrange插值多项式,有两个插值基函数,这种插值方法称为Lagrange线性插值,也可以在n+1个节点中取相邻的两个节点作线性插值,Lagrange线性插值基函数为,Lagrange线性插值多项式为,例2.,解:,Lagrange插值基函数为,Lagrange线性插值多项式为,所以,满足,不会完全成立,因此,插值多项式存在着截断误差,那么我们怎样估计这个截断误差呢？,2 插值余项与误差估计,令,设,其中,根据Rolle定理,再由Rolle定理,依此类推,由于,因此,所以,定理1.,Lagrange型余项,设,则,例1:,解:,