控制系统的状态空间设计.ppt
第5章 控制系统的状态空间设计 状态反馈及观测器的设计,控制系统的分析：系统响应、能控性、能观测性、稳定性。,控制系统的综合：,经典控制理论和现代控制理论中，反馈都是系统设计的主要方式。,经典控制理论中的反馈量：输出量。现代控制理论中的反馈量：输出量或输出量状态反馈。,为了利用状态进行反馈，必须用传感器来测量状态变量，但并不是所以状态变量在物理上都可测量，于是提出了用状态观测器来给出状态估计值的问题。状态反馈及观测器的设计就构成了用状态空间法综合设计系统的主要内容。,5.1 线性定常系统常用反馈结构及其对系统性能的影响5.2 状态反馈系统的极点配置 5.3 状态观测器的设计 5.4 带观测器的状态反馈系统的综合,一.两种常用反馈结构(1)状态反馈,状态反馈是将系统的每一个状态变量乘以相应的反馈系数，然后反馈到输入端与参考输入相加形成控制律，作为受控系统的控制输入。,5.1 线性定常系统常用反馈结构及其对系统性能的影响,以单输入-单输出系统为例，其状态空间描述为：,状态反馈控制规律为,状态反馈K的引入，没有引入新的状态变量，也不增加系统的维数，但可以通过K阵的选择自由地改变闭环系统的特征值，从而使系统获得所要求的性能。,经过状态反馈后，系统的传递函数为：,闭环特征多项式:,(2)输出反馈,输出反馈有两种形式，最常见的是将系统的输出量乘以相应的系数反馈到输入端与参考输入相加，其和作为受控对象的控制输入。经典控制理论中所讨论的就是这种反馈。多输入-多输出系统的输出反馈系统的这种形式见教材 P199 图5.2所示。,输出反馈控制规律为,由此可见,经过输出反馈后,闭环系统同样没有引入新的状态变量,仅仅是系统矩阵A变成了A-BHC。,输出反馈的另一种形式是输出量乘以相应的系数反馈到状态微分处。,不管是状态反馈还是输出反馈，都可以改变系统矩阵A，但这并不表明两者具有等同的功能。,二.反馈结构对系统性能的影响,由于引入反馈，系统状态的系数矩阵发生变化，对系统的能控性、能观测性、响应特性、稳定性等都有影响。,(1)对系统能控性、能观测性的影响,定理5.1 状态反馈不改变受控系统 的能控性，但却不一定能保持系统的能观测性。,1.加入状态反馈不影响系统的能控性,证明：为简单起见，以单输入-单输出系统为例。,原系统 和状态反馈系统的能控性判别阵分别为：,这表明 的列向量可以由 的列向量的线性组合来表示。,表明，若原来系统能控，则加上任意的状态反馈后，所得到的闭环系统也能控；若原来系统不能控，则无论用什么K阵作状态反馈，所得到的闭环系统仍然不能控。这一性质称为状态反馈不改变系统的能控制性。,关于状态反馈不一定能保持系统的能观测性举一反例说明：,其能观测判别阵：,原系统能观测,a.引入状态反馈k=,其能观测判别阵：,反馈系统不能观测,b.引入状态反馈k=0 1,其能观测判别阵：,反馈系统能观测,这表明状态反馈可能改变系统的能观测性。其原因是由于通过状态反馈造成了所配置的极点与零点相消。,2加入输出反馈不改变系统的能观测性，对系统的能控性的影响因输出反馈的位置不同而不同。,定理5.2 输出至参考输入反馈引入的输出反馈不改变受控系统 的能控性和能观测性。,证明：因为这种输出反馈中的HC等效与状态反馈中的K，那么输出反馈也保持了受控系统的能控性不变。,关于能观测性不变，可由能观测性判别矩阵（仍以单输入-单输出系统为例）。,仿照定理5.1的证明方法，同样可以把 看作 经初等变换的结果，而初等变换不改变矩阵的秩，因此能观测性保持不变。,定理5.3 输出至状态微分反馈引入的输出反馈不改变系统 的能观测性，但可能改变系统的能控性。,设系统的状态空间表达式为:,关于输出至状态微分反馈可能改变系统的能控性举一反例说明：,原系统能控,1.引入图5.1所示输出反馈 H=1 2T后的能控性。,输出反馈系统不能控,2.引入图5.1所示输出反馈 H=0 1T后的能控性。,输出反馈系统能控,例5.1.1 设系统的状态空间表达式为:,试分析系统引入状态反馈K=3 1后的能控性和能观测性。,解：容易验证原系统是能控又能观测的。引入状态反 馈K=3 1后系统的状态空间表达式为：,系统能控,系统不能观测,状态反馈不改变受控系统 的能控性，但却不一定能保持系统的能观测性。这反映在传递函数上出现了零极点相消现象,经过状态反馈后，系统的传递函数为：,（2）状态反馈和输出反馈都能影响系统的稳定性,加入反馈，通过反馈构成的闭环系统成为稳定的系统，这个过程称为镇定。,极点配置方法在某种程度上类似与根轨迹法，它们都是把闭环极点配置在希望的位置上。它们的基本区别在于：根轨迹法只把主导极点配置到希望的位置，而极点配置设计是把所有闭环极点都配置到希望的位置。,极点配置：就是通过选择反馈矩阵K，将闭环系统的极点恰好配置在根平面上所期望的位置，以获得所希望的动态性能。,这里需要解决两个问题：,第一：极点可任意配置的条件；第二：确定极点配置所需要的K阵。,5.2 状态反馈系统的极点配置,一.任意配置闭环极点的充分必要条件,定理5.4 教材P205 定理5.4 采用状态反馈使闭环系统的极点配置在任意位置的充分必要条件是受控对象 完全能控。,二.极点配置的设计步骤 P206,第一步，判断系统 是否完全能控，只有完全能 控，才能任意配置极点,计算原系统的特征方程：,第二步，加入状态反馈阵，计算 的特征多项式,第三步，由所给的n个期望特征值，计算 期望的多项式,第四步，比较两个特征值的系数，从中求出,第五步，把对应于 的变换，得 到对应于原状态x的反馈阵k。,例5.2.1 教材P206 例5.2某受控对象的传递函数为：,试设计状态反馈控制器，使闭环系统的极点为-2，闭环系统结构图见教材P207 图5.12。,解：因为传递函数没有零、极点对消现象，所以受控对象是能控的。可以任意配置极点。,加入状态反馈阵，计算的特征多项式,由所给的期望特征值-2，计算期望的多项式,比较 各项系数,例5.2.2 已知单输入线性定常系统的状态方程为：,试设计状态反馈控制器K，使闭环系统的极点为-2，-1+j，-1-j。,解：系统的能控判别阵：,原系统能控，可以任意配置极点。,由于原系统不是能控标准型，化为能控标准型。,变换阵,加入状态反馈阵，计算的特征多项式,计算期望的多项式,比较 各项系数,方法二：若不将原系统化为能控标准型,比较 各项系数,P240 作业 5.1,在极点配置定理中，“任意配置”是和系统可控是等价的。若不要求任意配置，就不一定要求系统可控。因此给定一组期望的特征值，只有它包含了所有不可控部分的特征值时，才是可配置的。,三.不完全能控系统的极点配置,例5.2.3 单输入/单输出线性定常系统：,（1）若指定闭环特征值-2,-2,-1,-1；（2）若指定闭环特征值-2,-2,-2,-1；（3）若指定闭环特征值-2,-2,-2,-2。,分别判断是否存在状态反馈阵K，使闭环极点配置到下列期望的位置。,解：系统矩阵A已为约当规范型，对应特征值 有1个约当小块；对应特征值 有2个约当小块。取出矩阵b中相应于各约当小块末行的那些行，并加以判断，有：,有一个不能控状态变量,进一步可知：为系统能控部分的特征值。,为系统不能控部分的特征值,（1）若指定闭环特征值-2,-2,-1,-1；,（2）若指定闭环特征值-2,-2,-2,-1；,由于都包含了系统不可控部分特征值-1，而系统能控部分特征值必可通过状态反馈配置到期望特征值-2,-2,-1及-2,-2,-2。,（3）若指定闭环特征值-2,-2,-2,-2。,由于原系统有不可控部分特征值-1，状态反馈不能对该特征值任意配置。因此，必不存在状态反馈阵K，使系统极点配置在-2,-2,-2,-2,推论：对n维不完全能控的线性定常系统 系统能控部分特征值：系统不能控部分特征值：系统期望特征值组,那么，若 全部属于 则必存在状态反馈阵K实现指定的期望极点配置；若 部分属于 则必不存在状态反馈阵K实现指定的期望极点配置。,定理5.5 采用状态反馈使不完全能控系统稳定的充分必要条件是系统的不能控极点都具有负实部。,例5.2.4 设被控对象的状态方程为：试分析是否存在状态反馈,使得闭环系统稳定。,解:,根据定理5.5需要对该系统进行能控性分解来分析该不完全能控系统通过状态反馈是否稳定。,可见，不能控极点为-2，该系统能通过状态反馈使闭环系统稳定。,四.状态反馈在工程中的应用,例5.2.5 设被控对象的传递函数为：试在系统能控标准形下,求状态反馈,使闭环系统满足如下性能:超调量,峰值时间,阻尼振荡频率。,选自现代控制理论基础 北京大学出版社,在很多情况下，只有被控对象的输入量和输出量能够用传感器测量，而多数状态变量不易测量或不可能测得，于是提出了利用被控对象的输入量和输出量建立状态观测器（又称状态估计器、状态重构器）来重构状态的问题。,5.3 状态观测器的设计,观测器存在的条件：如果原系统是状态完全能观测的，则可以构造全 维观测器；如果原系统是状态不完全能观测的，不能观测的状态有是渐进稳定的，则可以构造降维观测器。,观测器的结构：,（1）开环观测器,这种状态观测器没有实用价值.因为:模型系统的A、B难以与真实系统的一致。两系统的初值难以设置得相同。,由于图5.14未利用系统的输出信息对误差进行校正，所以图5.14得到的估计值是一个开环估计值。,（2）渐进观测器,渐进观测器是具有实际应用价值的，它不受系统结构参数与运动初值的影响。,一般系统的输入量u和输出量y均为已知，因此希望利用y=cx与 的偏差信号来修正 的值，这样就形成了如图所示的闭环估计方案。,状态观测器的极点配置,观测器估计误差 应满足方程式,定理5.6 教材P 212 定理5.6 若n维线性定常系统是完全能观测的，则可用图5.15所示的全维状态观测器重构出其所有的状态。反馈矩阵G可以按任意给定的极点位置来选择，所给定的极点位置将决定状态误差向量衰减到零的速度。,例5.3.1（教材 P 212 例5.5）已知受控对象传递函数为试设计状态观测器，极点配置在-10，-10。,解：传递函数无零、极点对消，受控系统完全能观测。将传递函数转化成状态空间描述，并写成能控型实现，有,将观测器增益矩阵G写成：,根据给定的期望极点，求出期望的观测器特征方程为：,观测器方程为,二.降维状态观测器的设计,降维(阶)观测器:状态观测器重构的状态向量的 维数小于被控对象状态向量的维数。,应用场合：系统不能观测；不能控系统状态反馈的设计有部分状态能直接观测，希望简化观测器结 构，只对不能观测的状态变量进行观测。,降维状态观测器的设计步骤,判断被控系统的可观测性，确定降维观测器维 数(n-m);(2)(3)(4)(5),例5.3.2（教材 P 217 例5.7）已知系统,试设计降维观测器,其极点为-3和-4。,引入了状态观测器的状态反馈系统如下：,疑问：1.用观测器提供的估计值 代替真实状态x实现状态反馈，为保证系统的期望特征值，其状态反馈阵K是否需要重新设计？,5.4 带观测器的状态反馈系统的综合,2.当观测器被引入后，状态反馈系统部分是否回改变已经设计好的观测器极点配置，其观测器输出反馈阵G是否需要重新设计？,分离定理 若被控系统(A,B,C)既能控又能观测。用状态观测器形成状态反馈时，其系统的极点配置和观测器设计可分别独立进行，即K和G阵的设计可分别独立进行。,分离定理表明：若系统是可控、可观的，则可按闭环极点配置的需要选择反馈增益阵k，然后按观测器的动态要求选择G，G的选择并不影响已配置好的闭环传递函数的极点。因此系统的极点配置和观测器的设计可分开进行。,由对象、观测器和状态反馈组合而成的闭环系统的方块图如图所示。,通常把反馈增益阵和观测器一起称为控制器,关于状态观测器极点、极点配置极点、原系统极点的关系说明,例5.4.1 设系统传递函数为,希望用状态反馈使闭环的极点为-46j，并求实现这个反馈的状态观测器，观测器的极点设置在-10，-10。,解：由系统的传递函数可知,其二阶动态方程实现是可控且可观的。为了设计观测器方便，现取可观标准形实现，即,根据题意希望的闭环特征方程为：,求状态反馈 k，令k=k1 k2。求出状态反馈后闭环系统的特征多项式,令两个特征式对应的系数相等，可解出 k1=2,k2=40。,与期望多项式相比,得到 g1=100,g2=14。由式可计算出观测器方程为,再求观测器G，根据期望极点的要求，求出期望的观测器特征方程为：,由对象、状态反馈和观测器构成的整个闭环系统的状态变量图如图所示。,
