控制系统的数学模型之.ppt

Automatic Control Theory,河南理工电气学院,自 动 控 制 原 理,第 二 章 控制系统的数学模型,1.了解建立系统动态微分方程的一般方法。2.熟悉拉氏变换的基本法则及典型函数的拉氏变换形式。3.掌握用拉氏变换求解微分方程的方法。,本章基本要求,4.掌握传递函数的概念及性质。5.掌握典型环节的传递函数形式。6.掌握由系统微分方程组建立动态结构图的方法。7.掌握用动态图等效变换求传递函数和用梅森公式求传递函数的方法。,本章基本要求,8.掌握系统的开环传递函数、闭环传递函数，对参考输入和对干扰的系统闭环传递函数及误差传递函数的概念。,2-1 拉普拉斯变换（见附件）2-2 控制系统的时域数学模型2-3 控制系统的复数域数学模型2-4 控制系统的结构图与信号流图2-5 MATLAB 工具,本章主要内容,2-2 控制系统的时域数学模型,一、概述,在控制系统的分析和设计中首先要建立系统的数学模型。控制系统的数学模型：是描述系统内部物理量(或变量)之间关系的数学表达式。,1.建立数学模型的意义(1)使我们得以暂时离开系统的物理特性，在一 般意义下研究控制系统的普遍规律。(2)从定性的认识上升数学定量的精确认识(严谨的分析)。,在静态条件下(即变量各阶导数为零)，描述变量之间关系的代数方程叫静态数学模型；描述变量各阶导数之间关系的微分方程叫动态数学模型。控制理论研究的是动态模型。,2.数学模型分类(1)按系统运动特性分为：静态数学模型和动态数学模型。,(2)按照建立数学模型的方法分为：,机理建模/机理模型(白箱建模)统计建模/统计模型(黑箱或灰箱建模),(3)按照描述数学模型的工具分为：时域(Time Domain,TD)模型-微分方程或差分方程描述的数学模型。优点：有效的数学分析工具多。,复域/频域(Frequency Domain,FD)模型-利用拉氏或傅立叶变换对时域模型变换后得到的模型。优点：可从工程上测试得到。,状态空间(State Space,SS)模型-描述系统输 入量、输出量和状态量之间关系的数学模型。优点：描述系统所有变化规律。缺点：较复杂，矩阵分析理论等。,(4)按照描述变量的不同分为：,输入输出I/O模型-描述系统输入量和输出量之间关系的数学模型。优点：模型简单，易于分析。缺点：系统内部其它变量之间的关系和运动规律没有建模。,3.建立控制系统数学模型的方法 解析法/分析法(又称机理建模法)实验法(又称系统辨识),解析法(白箱建模)-依据系统及元件各变量之间所遵循的运动规律(物理、化学等)列写出变量间的数学表达式，并实验验证。优点：方程式中每个系数都具有其明确的物理意义。缺点：一般系统的运动规律很复杂，常常是非线性的，简化会导致模型精度降低(参数物理意义变含糊);通用性差。,实验法/统计模型(黑箱或灰箱建模)-对系统或元件输入一定形式的信号（阶跃信号、单位脉冲信号、正弦信号等），根据系统或元件的输出响应，经过数据处理而辨识出系统的数学模型。优点：避免机理建模的困难，能以一定的精确度描述原系统的变化情况，适合于系统控制与预测；通用性好。缺点：模型中的参数没有明确的物理意义。,4.常用的数学模型,5.建立数学模型的原则,兼顾模型的精确度(模型分析和设计的复杂度)和控制系统精度(与模型精确度密切相关)，两者之间的折中。,常用手段：一定范围和前提条件下进行理想化的假设。,电子放大器可看成理想的线性放大环节，忽略掉它的非线性成份。(电子放大器的工作范围不超出其线性区)通信卫星(轨道控制)可以看成一个质点来建模，而不考虑其形状和质量分布。在卫星的姿态控制中则不行！要考虑其天线和太阳能帆板的柔性体特性。非线性,时变,分布参数 线性,定常,集中参数,二、系统微分方程的建立,6.时域模型的数学建模的通常步骤(1)建立物理模型 要作一些理想化的假设。(2)列写原始方程 物理定律:牛顿定律、基尔霍夫电流和电压定律、能量守恒定律等。(3)选定系统的输入量、输出量以及状态变量（仅在建立SS模型时要求），消去中间变量，建立适当的I/O模型或SS模型。,例2-1 写出RLC串联电路的微分方程。,解：根据基尔霍夫电路定理：,由：，,代入得：,例2-2 求弹簧-质量-阻尼器的机械位移系统的微分 方程。设输入量为外力F，输出量为位移x(t),解 图中，m为质量，f为粘滞阻尼系数，k为弹性系数。,其次依据：1.牛顿第二定律:物体所受的外力和等于物体质量与加速度的乘积。2.虎克定律:弹簧弹力等于弹性系数与相对变形位移的乘积。,例2-2 求弹簧-质量-阻尼器的机械位移系统的微分 方程。设输入量为外力F，输出量为位移x(t),3.粘性摩擦定律:粘性摩擦力等于摩擦系数与相对速度的乘积。,例2-2 求弹簧-质量-阻尼器的机械位移系统的微分 方程。设输入量为外力F，输出量为位移x(t),解：以静止（平衡）工作点作为零点，以消除重力的影响，受力如下图所示：,f阻尼系数,K弹性系数,例2-2 求弹簧-质量-阻尼器的机械位移系统的微分 方程。设输入量为外力F，输出量为位移x(t),根据牛顿定理，平衡方程如下：,也是一个二阶定常微分方程。m、f和k的单位分别为：,相似系统 系统仿真基础,对比两式：,定义 具有相同的数学模型的不同物理系 统称为相似系统。,令,说明：要求取电枢电压Ua(t)(v)为输入量，电动机转速m(t)(rad/s)为输出量。图中Ra()、La(H)分别是电枢电路的电阻和电感，Mc(NM)是折合到电动机轴上的总负载转距。激磁磁通为常值。,电枢控制直流电动机的工作实质是将输入的电能转换为机械能，也就是由输入的电枢电压Ua(t)在电枢回路中产生电枢电流ia(t)，再由电流ia(t)与激磁磁通相互作用产生电磁转距Mm(t)，从而拖动负载运动。,例2-3 电枢控制直流电动机的微分方程,直流电动机的运动方程可由以下三部分组成。电枢回路电压平衡方程电磁转距方程电动机轴上的转距平衡方程,解：,Ea=Cem(t)Ce反电势系数(v/rad/s),电枢回路电压平衡方程：,其中，Ea 是电枢反电势，它是当电枢旋转时产生的反电势，其大小与激磁磁通及转速成正比，方向与电枢电压Ua(t)相反，即,Ea=Cem(t)Ce反电势系数(v/rad/s),电磁转距方程：,-电动机转距系数（Nm/A）,-是由电枢电流产生的电磁转距（Nm）,电动机轴上的转距平衡方程：,Jm电动机和负载折合到电动机轴上的转动惯量（kgm）,fm-电动机和负载折合到电动机轴上的粘性摩擦系数（Nm/rad/s）,电动机机电时间常数（s）,在工程应用中，由于电枢电路电感La较小，通常忽略不计，因而可简化为：,、求出ia(t)，代入同时亦代入得：,电动机传递系数,反馈口：放大器：电动机：减速器：绳 轮：电 桥：,消去中间变量可得：,例2-4 X-Y 记录仪,解：,例2-5 列写下图速度控制系统的微分方程,该系统的组成和原理；该系统的输出量是，输入量是，扰动量是,解：,各环节微分方程：运放：，运放：功率放大：电动机环节：,测速,-,运放,运放,功放,电动机,速度控制系统方块图：,齿轮系:测速发电机：式中:i速比;Kt比例系数。,式中:K1、K2=R2/R1,比例系数;微分时间常数；K3比例系数。,建立系统微分方程的基本步骤：分析系统工作原理、各变量之间的关系，确立系统的输入变量和输出变量；依据支配系统工作的基本规律，逐个列写出各元件的微分方程；消去中间变量，列写出只含有输入和输出变量以及它们的各阶导数的微分方程；将方程写成规范形式。,注：规范形式：与输入量有关的各项放在方程右边，与输出量有关的各项放在方程左边，各阶导数项按降幂排列，并将方程中的系数通过系统的参数化为具有一定物理意义系数的一种表达形式。,三、线性微分方程的求解,方程解：系统在一定的输入作用下，输出量的变化情况。,方法：经典法，拉氏变换法和数学求解。在自动控制系统理论中主要使用拉氏变换法。,拉氏变换法求解微分方程的步骤：,对微分方程进行拉氏变换求系统输出量表达式将输出量表达式展开为部分分式查表求各分式的拉氏反变换整理出方程解,简单系统：通分法；复杂系统：留数法,非线性系统：如果不能应用叠加原理，则系统是非线性的。,几 种 常 见 的 非 线 性,四、非线性微分方程的线性化*,1、线性化概念,严格地说，实际控制系统的某些元件含有一定的非线性特性，如果某些非线性特性在一定的工作范围内，可以用线性系统模型近似，称为非线性模型的线性化。,2、线性化方法,（1）忽略弱非线性环节（如果元件的非线性因素较弱或者不在系统线性工作范围以内，则它们对系统的影响很小，就可以忽略）,（2）偏微法（小偏差法，切线法，增量线性化法）*偏微法基于一种假设，就是在控制系统的整个调节过程中，各个元件的输入量和输出量只是在平衡点附近作微小变化。这一假设是符合许多控制系统实际工作情况的，因为对闭环控制系统而言，一有偏差就产生控制作用，来减小或消除偏差，所以各元件只能工作在平衡点附近。,（3）平均斜率法 如果一非线性元件输入输出关系如图所示。此时不能用偏微分法，可用平均斜率法得线性化方程为,(死区)电机,注意：这几种方法只适用于一些非线性程度较低的系统，对于某些严重的非线性，如 不能作线性化处理，一般用相平面法及描述函数法进行分析。,具有连续变化的非线性函数的线性化，可用切线法或小偏差法。在一个小范围内，将非线性特性用一段直线来代替。（分段定常系统）设连续变化的非线性函数，在平衡点（x0,y0）处连续可微。则可将它在该点附近用台劳级数展开：,3、非线性元件（环节）微分方程的线性化,增量较小时略去其高次幂项，则有,令 上式记为：y=kx 略去增量号，便可得到函数 在平衡点（x0,y0）附近的线性化方程为y=kx 其中，K为比例系数，是函数在（x0,y0）点切线的斜率。,对于有两个自变量 的非线性函数 同样可在某工作点 附近用台劳级数展开为,取一次近似，且令,既有,解：在工作点(x0,y0)处展开泰勒级数,例2-6 已知某装置的输入输出特性如下，求小扰动线性化方程。,解：在 处泰勒展开，取一次近似,代入原方程可得,式中 S 为液位容器的横截面积。若 h 与 Q 在其工作点附近做微量变化，试导出 h 关于 Q 的线性化方程。,例2-7*某容器的液位高度 h 与液体流入量 Q 满足方程,解续：,在平衡点处系统满足,上两式相减可得线性化方程,式中 S 为液位容器的横截面积。若 h 与 Q 在其工作点附近做微量变化，试导出 h 关于 Q 的线性化方程。,例2-7*某容器的液位高度 h 与液体流入量 Q 满足方程,解：该系统由小车和安装在小车上的倒立摆构成。倒立摆是不稳定的，如果没有适当的控制力作用到它上面，它将随时可能向任何方向倾倒。这里我们只考虑二维问题，即认为倒立摆只在图所在的平面内运动。若有合适的控制力u作用于小车上可使摆杆维持直立不倒。,例2-8 列写倒立摆系统的微分方程,解续：这实际是一个空间起飞助推器的姿态控制模型(姿态控制问题的目的是要把空间助推器保持在垂直位置)。,设小车和摆杆的质量分别为M和m，摆杆长为，且重心位于几何中点处，小车距参考坐标的位置为，摆杆与铅垂线的夹角为，摆杆重心的水平位置为，垂直位置为,例2-8 列写倒立摆系统的微分方程,设摆杆和小车结合部的水平反力和垂直反力为H和V，略去摆杆与小车、小车与地面的摩擦力。可得方程如下：,摆杆围绕其重心的转动运动,式中J为摆杆围绕其重心的转动惯量，为垂直力关于其重心的力矩，为水平力关于其重心的力矩。,摆杆重心的水平运动,摆杆重心的垂直运动,小车的水平运动,因为在这些方程中包含 和，所以它们是非线性方程。,若假设角度 很小，则 和。可得下列线性化方程：,由+可得,由、(8)和(9)得,当忽略转动惯量J时,当考虑转动惯量 时,2-3 控制系统复数域数学模型,一、传递函数的定义,1.定义,线性定常系统在零初始条件下，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比，称为传递函数。,这里，“初始条件为零”有两方面含义：,一指输入作用是t0后才加于系统的，因此输入量及其各阶导数，在t0时的值为零。,二指输入信号作用于系统之前系统是静止的，即t=0时，系统的输出量及各阶导数为零。,方法一：由前面例题可知描述网络输入输出关系的微分方程：,在零初始条件下，对上述方程中各项求拉氏变换，得:,由传递函数定义，得:,例3-1 如图RLC电路，试列写网络传递函数。,方法二：引用复数阻抗直接列写网络的代数方程，然后求其传递函数。,用复数阻抗表示电阻时仍为R，电容C的复数阻抗为1/Cs，电感的复数阻抗为Ls。则由分压定律可得：,总结：系统的传递函数与微分方程具有相通性，通常由微分方程可写出传递函数，但对于电网络，用复阻抗法直接求传递函数往往更简单。,解：,例3-2 如图有源网络电路，试列写网络传递函数。,关注：对于无源或有源电网络模型，应用复阻抗概念和分压定理建模，会使电网络传递函数的求取过程大大简化！,分压定理+复阻抗,（1）在复数域内系统的输出,代数关系,（2）对于集总参数的控制系统，传递函数都是s的有理函数，即分子和分母都是s的多项式。,有理分式,真有理分式,严格真有理分式,一个实际的即物理上可实现的线性系统，其传递函数必然是严格真有理函数（在应用控制理论研究诸如社会问题等“广义”系统时，则不受此条件的限制）,2.传递函数的性质,（3）传递函数是在零初始条件下定义的。,输入量是在 时才作用于系统。因此，在 时，输入量及其各阶导数为零；输入量加于系统之前，系统处于稳定的工作状态，即输出量及其各阶导数在 时的值也为零，现实的工程控制系统多属于此类情况。,（4）传递函数与微分方程是同一个系统两种不同数学描述方式,令传递函数的分母多项式为零，即,（5）传递函数是由系统本身的结构和参数决定的，它反映了系统本身的内在的运动特征。（不提供任何该系统的物理结构）因为许多不同的物理系统具有完全相同的传递函数。,（6）传递函数概念只适用于线性定常系统。（Laplace变换是线性变换）,（7）传递函数的拉氏反变换是系统的脉冲响应。,3.传递函数的求取方法 方法1：一般元件和系统传递函数的求取方法：（1）列写元件或系统的微分方程；（2）在零初始条件下对方程进行拉氏变换；（3）取输出与输入的拉氏变换之比。,方法2：利用频率特性法，以实验方法进行测定。,方法3：利用系统的单位脉冲响应求系统的传递函数。（1）测量系统的单位脉冲响应；（2）对单位脉冲响应作拉氏变换即得系统的传递函数。其推导如下：单位脉冲作用下 的输出：两边进行反变换：C（s）：系统单位脉冲响应复数域形式；C（t）：系统单位脉冲响应时域形式,例3-2 已知R1=1，C1=1F，,1）求零状态条件下阶跃响应uc(t)；2)uc(0)=0.1v，ur(t)=1(t)，求 uc(t);3）求脉冲响应g(t)。,对上式进行拉氏反变换：,解:1）,2)uc(0)=0.1v，ur(t)=1(t)，求 uc(t);,3）求脉冲响应g(t),例3-3 已知有两个部件，当输入 时，响应曲线如图a所示；当输入r2(t)=1(t)时，响应曲线如图b所示。试求两个部件的传递函数G1(s)及G2(s)。,解:,(1)当输入 时，由图a得输出为：,解:,对输入与输出信号分别进行拉氏变换，得：,则,例3-3 已知有两个部件，当输入 时，响应曲线如图a所示；当输入r2(t)=1(t)时，响应曲线如图b所示。试求两个部件的传递函数G1(s)及G2(s)。,解:,(2)当输入 时，由图b得输出为：,解:,对输入与输出信号分别进行拉氏变换，得：,则,二、传递函数的几种表达形式,2.几何形式：零、极点分布图：,传递函数分子多项式的根 zi 称为传递函数的零点；分母多项式的根 pj 称为传递函数的极点。Kg称为传递系数或根轨迹增益。,1.表示成零点、极点形式（首1型）：,将传递函数的零、极点表示在复平面上的图形称系统的零、极点分布图。,例：,零点：-1,极点：-3，-1+2j，-1-2j,“”表示极点,“O”表示零点,Matlab命令：零极点分布图num=1 1;den=1 5 11 15;pzmap(num,den),4.写成时间常数形式（尾1型）：,若有零值极点，则传递函数的通式可以写成：,从上式可以看出：传递函数是一些基本因子的乘积。这些基本因子就是典型环节所对应的传递函数，是一些最简单、最基本的形式。,三、传递函数的零点和极点对输出的影响,极点：决定系统响应形式（模态），零点：影响各模态在响应中所占比重。,例 具有相同极点不同零点的两个系统,它们零初始条件下的单位阶跃响应分别为,零点对输出响应的影响：,（b）,G1(t),G2(t),（a）,零点距极点的距离越远，该极点所产生的模态所占比重越大;零点距极点的距离越近，该极点所产生的模态所占比重越小;如果零极点重合该极点所产生的模态为零，因为分子分母相互抵消。,由于传递函数的极点就是微分方程的特征根。因此系统的极点决定了所描述系统自由运动的运动模态。,某系统传递函数为,例,极点：,零点：,自由运动模态,设系统的输入为,可求得系统的零初始条件响应为,任何一个复杂系统都是由有限个典型环节组合而成的。传递函数的分子多项式和分母多项式经因式分解后还可表示为如下因子连乘积的形式。,系统的增益,系统的传递函数可以表示为一些基本环节的乘积。事实上，这些基本环节则可对应着组成系统的不同的元部件。,四、典型环节的传递函数,比例环节,一阶微分环节,二阶微分环节,积分环节,惯性环节,振荡环节,延迟环节,纯微分环节,典型环节有比例、积分、惯性、振荡、微分和延迟环节等多种。,以下分别讨论典型环节的时域特征和复域（s域）特征。时域特征包括微分方程和单位阶跃输入下的输出响应。s域特性研究系统的零极点分布。,比例环节又称为放大环节。k为放大系数。特点：比例环节的输出不失真、不延迟、成比例地复现输入信号的变化，即信号的传递没有惯性。,实验模拟：比例环节,单位阶跃响应,实例1：输入：(t)角度 E恒定电压 输出：u(t)电压,运动方程：u(t)=K(t)传递函数：K比例系数，量纲为伏/弧度。,比例环节实例,实例2：输入：n1(t)转速 Z1主动轮的齿数 输出：n2(t)转速 Z2从动轮的齿数,运动方程：传递函数：,比例环节实例,测速发电机,比例环节实例,特点：输出量与输入量的积分成正比例，当输入消失，输出具有记忆功能。,实例：电容，积分运算放大器,实验模拟：积分环节,单位阶跃响应,（三）惯性环节,当输入为单位阶跃函数时,有，可解得：，式中：k为放大系数，T为时间常数。,求单位阶跃输入的输出响应：,可见，y(t)是非周期单调升的，所以惯性环节又叫作非周期环节。,特点：惯性环节含一个储能元件，对突变的输入，其输出不能立即复现，输出无振荡。输出量延缓地反应输入量的变化规律。,实验模拟：惯性环节,单位阶跃响应,ur,uc,惯性环节实例,(a)运算放大器,(b)RL电路,uL(t),（四）振荡环节时域方程：,传递函数：,上述传递函数有两种情况：,则,分析：y(t)的上升过程是振幅按指数曲线衰减的的正弦运动。与 有关。反映系统的阻尼程度，称为阻尼系数，称为无阻尼振荡圆频率。当 时，曲线单调升，无振荡。当 时，曲线衰减振荡。越小，振荡越厉害。,特点：振荡环节中有两个独立的储能元件，并可进行能量交换，其输出出现振荡。,实际物理系统中的二阶振荡环节：,RLC电阻电容电感电路,机械旋转系统。,（五）微分环节微分环节的时域形式有三种：,相应的传递函数为：,分别称为：纯微分，一阶微分和二阶微分环节。微分环节没有极点，只有零点。分别是零、实数和一对共轭零点。在实际系统中，由于存在惯性，单纯的微分环节是不存在的，一般都是微分环节加惯性环节。,特点：微分环节的输出量与输入量对时间的微分成正比，即输出反映了输入信号的变化率，而不反映输入量本身的大小。,理想微分的物理模型：,实际微分的物理模型：,可看作微分环节与惯性环节串联，当T2 非常小时，可近似看作理想微分环节,实验模拟：微分环节,（六）延迟环节*又称时滞，时延环节。它的输出是经过一个延迟时间后，完全复现输入信号。如右图所示。其传递函数为：,特点：延迟环节的输出波形与输入波形相同，但延迟了时间。延迟环节的存在对系统的稳定性不利。,实际物理系统中纯滞后环节（延迟环节）：,溶解槽,蒸汽加热炉,可控硅整流器,延迟环节实例：带钢厚度检测环节,设,取拉氏变换后,（七）其他环节*还有一些环节如 等，它们的极点在s平面的右半平面，我们以后会看到，这种环节是不稳定的。称为不稳定环节。,典型环节的传递函数小结：,比例环节：G(s)=K 积分环节：G(s)=1/s微分环节：G(s)=s,惯性环节：一阶微分环节：振荡环节：,五、典型元部件的传递函数*自学,1.电位器,将线位移或角位移变换为电压量的装置。单个电位器用作为信号变换装置。,空载时单个电位器的电刷角位移(t)与输出电压u(t)可用直线近似（阶梯形状是由绕线线径产生误差）,式中,是电刷单位角位移对应的输出电压,称电位器传递系数(V/rad),其中 E 是电位器电源电压(V),是电位器最大工作角(rad).,用一对相同的电位器组成误差检测器时,其输出电压为：,式中 K1 是单个电位器的传递系数,是两个电位器电刷角位移之差,称误差角。,负载效应：电位器输出端接有负载时所产生的影响。,输出端接有负载电阻 Rl 时，设电位器电阻是Rp，可求得电位器输出电压为,2.测速发电机,测速发电机是用于测量角速度并将它转换成电压量的装置。在控制系统中常用的有直流和交流测速发电机。,图2-1 测速发电机示意图,直流测速发电机的传递函数为,3.电枢控制直流伺服电动机,直流伺服电动机在控制系统中广泛用作执行机构,用来对被控对象的机械运动实现快速控制。,4.两相伺服电动机,两相伺服电动机具有重量轻、惯性小、加速特性好的优点,是控制系统中广泛应用的一种小功率交流执行机构。,两相伺服电动机由互相垂直配置的两相定子线圈和一个高电阻值的转子组成。定子线圈的一相是激磁绕组,另一相是控制绕组,通常接在功率放大器的输出端,提供数值和极性可变的交流控制电压。,图2-3 伺服电动机及其特性,式中 Mm 是电动机输出转矩,m 是电动机角速度,C=dMm/dm是阻尼系数,即机械特性线性化的直线斜率,Ms是堵转转矩,由图2-4(b)可得Ms=CMua。,再根据转矩平衡方程,5.无源网络,无源网络可采用复数阻抗法求传递函数。电阻为 R,电容的复数阻抗为1/Cs,电感的复数阻抗为 Ls。,RLC无源网络用复数阻抗表示后的电路如图2-4所示。图中Z1=R+Ls,Z2=1/Cs，由图可直接写出电路的传递函数为,应该注意,求取无源网络传递函数时,一般假设网络输出端有无穷大的负载阻抗,输入内阻为零,否则应考虑负载效应。,图中两个RC网络不相连接时,传递函数分别为,图2-5 负载效应示意图,若将 G1(s)与 G2(s)两方块串联连接,其传递函数为,但是,若将两个RC网络直接连接,则由电路微分方程可求得连接后电路的传递函数为,分母中的R1C2项就是负载效应引起的。,P49:2-2P50:2-4,2-5,2-7,本章作业题（1）：,谢谢，再见！,