微积分向量的乘法运算.ppt

第三节 向量的乘法运算,一、向量的数量积,二、向量的向量积,三、向量的混合积,五、思考与练习,四、小结,一、两向量的数量积,沿与力夹角为,的直线从点M1移动到点M2,1.定义设向量、夹角为，,为向量 与 的数量积,则称数量,记为,即.,(点积、内积).,注意：中的“.”不能省.,2.数量积符合下列运算规律：,(2)交换律：,(3)分配律：(投影),(4)若l为数：,若l、m为数：,3.关于两向量垂直的说明：,证,正交(或垂直),定理,证,则,如图：设,例1 证明三角形余弦定理,4.数量积的坐标表示,设,数量积的坐标表示式,4.数量积的坐标表示,设,数量积的坐标表达式,两向量夹角余弦的坐标表达式,由此可知,解,例3,解,例4,解,证,二、向量的向量积,二、向量的向量积,1.定义,它的模为：,向量积也称为“叉积”、“外积”.,引例中的力矩,思考 右图三角形面积,S_,2.关于向量积的说明：,证,(2)分配律（力矩）：,(3)若 l为数：,3.向量积符合下列运算律：,4.向量积的坐标表示,设,向量积的分解表达式,向量积的坐标表达式,向量积还可用三阶行列式表示,(三阶行列式计算见课本 P319P320),4.向量积的坐标表示,设,向量积的分解表达式,5.向量积的几何意义,1)表示以 和 为邻边的平行四边形的面积.,2)与一切既平行于 又平行于 的平面相垂直.,例1,解(1),(2)D ABC的面积为,例1,解(3),解,例2,解,三、向量的混合积1.定义,即,其底面积,高,故平行六面体体积为,几何意义：混合积的绝对值表示以向量 为棱的平行六面体体积.,2.混合积的坐标表示,设,混合积的坐标表达式,3.性质,(2)轮换对称性,(可用三阶行列式推出),解,例1,例2 求以不在同一平面上的四点 Ak(x k,y k,z k)(k=1,2,3,4)为顶点的四面体的体积.,解,例3 问四点 A(1,1,1),B(4,5,6),C(2,3,3),D(10,15,17)是否共面?,解,点 A,B,C,D 共面.,四、小结,设,2、向量的向量积(结果是一个向量),1、向量的数量积(结果是一个数),设,3、向量的混合积(结果是一个数量),5、数量积几何应用要点：,(1)求向量的模：,(2)求两向量的夹角：,(3)求一个向量在另一个向量上的投影：,6、向量积几何应用要点：,(2)求以向量 为邻边的平行四边形的面积：,(1)求与两个非共线向量 同时垂直的向量：,7、混合积几何应用要点：,(2)以 为相邻棱的平行六面体的体积：,(3)以不共面四点 A,B,C,D 为顶点的四面体体积：,五、思考与练习,思考与练习解答,解,解,解,