微分方程的经典解法.ppt
2.3 微分方程的经典解法,齐次解(Homogeneous Solution):由特征方程求出特征根,特征根,互不相等单根,则齐次解:,求解流程,写出齐次解形式自由响应(系数待定),特 解(Particular Solution):据微分方程右端激励信号的 函数形式写出含待定系数的特解函数式代入原方程,比较系数得到特解受迫响应。,全 解=齐次解+特解(由n个初始条件定出齐次解),典型激励函数相应的特解,激励函数f(t),响应函数y(t)的特解,不等于特征根,等于特征单根,例:,解:系统的特征方程为,特征根,齐次解的表达式为,例:,如果已知:分别求两种情况下此方程的特解。,给定系统方程为,为使等式两端平衡,选特解函数式,将此式代入方程得到,(推导见讲义 p2),等式两端各对应幂次的系数应相等,有:,联立求解得:,得特解:,其中B是待定系数。,说明:,微分方程的解限于,2.,起始条件(状态):反映系统的历史状态,与激励无关,初始条件(状态):确定全解所需的边界条件。,,表示,任意时刻,在,连续;,则表示,有跳变。,在,说明:,全响应自由响应受迫响应(Natural+ForcedResponse),零输入响应零状态响应(Zero-input+Zero-state Response),暂态响应+稳态响应(Transient+Steady-state Response),系统响应:,或固有响应;由系统本身特性决定,与 外加激励的形式无关。对应于齐次解。,形式受迫于外加激励。对应于特解。,指全响应中暂时出现的有关成分;即随着时间t 的延续,终将消失的响应。,全响应中随着时间t 延续,最终可以保留 下来的响应。,无外加激励信号作用,仅由初始状态作用于系统所产生的响应。,不考虑系统原始储能的作用(初始状态),仅由外加激励作用于系统所产生的 响应。,(1)自由响应:,(2)暂态响应:,稳态响应:,受迫响应:,(3)零输入响应:,零状态响应:,系统响应,一般情况下换路期间,电容两端的端电压和流过电感中的电流不会发生突变。即电路分析中的换路开关定理:,解释-1,但当有冲激电流强迫作用于电容,或有冲激电压强迫作用于电感时,状态就会发生跳变,当系统用微分方程表示时,系统从起始状态到初始条件有无跳变:取决于微分方程右端是否包含冲激信号及其各阶导函数。(讲义例题2.3-1),对于一个具体的电网络,系统的初始状态就是指系统中储能元件的储能情况,