微分方程第一节常微分方程的基本概念.ppt

-1-,第一节 常微分方程的基本概念,两个实例常微分方程的基本概念,-2-,一 两个实例,引例1,一曲线通过点(1,2),在该曲线上任意点处的,解:设所求曲线方程为 y=y(x),则有如下关系式:,(C为任意常数),由 得 C=1,因此所求曲线方程为,由 得,切线斜率为 2x,求该曲线的方程.,-3-,引例2.列车在平直路上以,的速度行驶,制动时,获得加速度,求制动后列车的运动规律.,解:设列车在制动后 t 秒行驶了s 米,已知,由前一式两次积分,可得,利用后两式可得,因此所求运动规律为,说明:利用这一规律可求出制动后多少时间列车才,能停住,以及制动后行驶了多少路程.,即求 s=s(t).,-4-,二 常微分方程的基本概念,含未知函数及其导数或微分的方程叫做微分方程.,例,实质:联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.,方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程,(n 阶显式微分方程),一般地,n 阶常微分方程的形式是,的阶.,或,-5-,且代入微分方程,使方程成为恒等式，,即,则称函数,为方程,的解。,例如,为方程,的解。,为方程,的解。,-6-,微分方程的解中含有任意常数,且独立的任意,通解:,常数的个数与微分方程的阶数相同.,特解:确定了通解中任意常数以后的解.,微分方程的积分曲线:解的图象,积分曲线族:通解的图象.,确定通解中任意常数的条件.,n 阶方程的初始条件(或初值条件):,定解条件：,-7-,过定点的积分曲线;,一阶:,二阶:,过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.,初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题.,-8-,解,例 验证:函数,的解.并求满足初始条件,是微分方程,的特解.,-9-,所求特解为,