微分中值定理与导数的应用第一节.ppt

第三章 微分中值定理与导数的应用,微分中值定理的核心是拉格朗日(Lagrange)中值定理，费马定理是它的预备定理，罗尔定理是它的特例，柯西定理是它的推广。,1.预备定理费马(Fermat)定理,费马（Fermat，1601-1665），法国人，与笛卡尔共同创立解析几何。因提出费马大、小定理而著名于世。,第一节 微分中值定理,几何解释:,证明:,几何解释:,2.罗尔(Rolle)定理,y=f(x),如果连续光滑的曲线 y=f(x)在端点 A、B 处的纵坐标相等。那么，在曲线弧上至少有一点 C(x,f(x)，曲线在 C点的切线平行于 x 轴。,如果函数yf(x)满足条件：(1)在闭区间a,b上连续，(2)在开区间(a,b)内可导，(3)f(a)f(b)，则至少存在一点x(a,b)，使得f(x)0。,证,由费马引理,注意：如果定理的三个条件有一个不满足，则定理的结论就可能不成立。,f(x)不满足条件(1),f(x)不满足条件(3),f(x)不满足条件(2),例1,验证,例2 不求导数，判断函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)的导数有几个零点，以及其所在范围。解 f(1)=f(2)=f(3)=0，f(x)在1,2，2,3上满足罗尔定理的三个条件。在(1,2)内至少存在一点 x1，使 f(x1)=0，x1是 f(x)的一个零点。在(2,3)内至少存在一点 x2，使f(x2)=0，x2也是f(x)的一个零点。f(x)是二次多项式，只能有两个零点，分别在区间(1,2)及(2,3)内。,可导函数的两个零点之间必有其导数的零点。,如果函数f(x)满足：(1)在闭区间a,b上连续，(2)在开区间(a,b)内可导，则至少存在一点x(a,b)内，使得,几何意义：,3.拉格朗日(Lagrange)中值定理,证明,作辅助函数,例3,拉格朗日中值公式又称有限增量公式.,或,特别地,或,拉格朗日中值公式另外的表达方式：,推论1,证明,推论2,证明,例4,证,由推论1知,例5,利用拉格朗日定理可证明不等式.,证,例6,证,由上式得,例7,证,类似可证：,特别，,4.柯西(Cauchy)中值定理,设函数f(x)及g(x)满足条件：(1)在闭区间a,b上连续，(2)在开区间(a,b)内可导，(3)在(a,b)内任何一点处g(x)均不为零，则至少存在一点x(a，b)内，使得,如果取g(x)x，那么柯西中值定理就变成了拉格朗日中值定理.,说明：,柯西中值定理的几何意义：,由参数方程确定的函数的导数为,直线AB的斜率为,曲线在点C1和C2的斜率为,证明,易知 F(x)在 a,b 上满足罗尔定理的全部条件，因此，至少存在一点 x(a,b)，使,作辅助函数,练习：,P132 习题3-1 6.改为:,7.9.11.(2)改为:,证,