常微分方程的符号解.ppt

常微分方程的符号解,华东师范大学 李志斌,参考文献 Differential Equations and Computer Algebra M.F.Singer,editor,Academic Press,1991.计算机代数与微分方程会议论文集，意大利，1990.5,微分方程与计算机代数,一阶常微分方程,设 为一函数域，对于 中给定的函数，一阶常微分方程,的解为,问题:如何设计算法获得闭形式的解？,多项式系数情形,设 为多项式，考虑一阶常微分方程,假设,希望求出此方程的多项式解，如何设计算法？,多项式系数情形,基本思想 根据方程本身确定多项式解的次数。将次数确定的多项式解带入方程，利用待定系数方法得到一个线性代数方程组，通过解代数方程组获得原微分方程的多项式解。利用这个算法可以求得多项式解，或证明没有这样的解。,有理式系数情形,设 为有理式，于1969年提出了一个计算一阶常微分方程,有理函数解的算法。其基本思想是：由 的分母计算出 的分母，进而将问题转化为多项式系数的一阶常微分方程。利用 Risch 算法可以计算出有理函数解，或证明没有这样的解。,有理式系数情形,Risch 思想 当 给定后，分别对其分母,作无平方因子分解其中 两两互素，则可计算未知函数 分母因子的重数，使得,将 的上述形式代入原方程，得,两端同乘 其中，则可将原方程化作多项式系数的一阶常微分方程。,有理式系数情形,Risch 思想,一个简单例子,考虑一阶常微分方程,此时 的分母的无平方因子的分解为,一个简单例子,设 依照算法可计算得,于是 的分母为.记 的分子为,代入原方程得,一个简单例子,去分母得,一个简单例子,设 应用计算多项式解 次数的算法,于是 为待定常数。,一个简单例子,代入方程，得线性方程组,由此解得 于是原方程的解为前者为齐次方程的通解，后者为非齐次方程的特解。,练习,利用 Risch 算法可计算常微分方程,的通解为,程序演示,勘误,P212 L11 P212 L-3P213 L2P213 L9，12，17P214 L13P216 L11P216 L13,Michael F.Singer,ProfessorDepartment of Mathematics North Carolina State UniversityRaleigh,NC 27695-8205,多项式解次数的确定,设 考虑两种情形,1.即,故,多项式解次数的确定,2.即,若若,则则,D2:求 的次数,且令D3:若,且 为整数,则令,D1:令,并设 的首项系数为,计算多项式解次数算法,多项式解次数的确定,有理解分母因子重数的确定,设 为 分母中无平方部分的某个不可约因子。于是,假定 为有理函数，又设 也是 的分母的因子，期望确定 使得 可以表示成,将 的上述形式代入原方程，得,注意 为无平方因子，它与上式中其余各个部分互素，因此与下式也互素,有理解分母因子重数的确定,由此可以证明,当当当,时，时，时，或,或,其中 如下定义,有理解分母因子重数的确定,M1:令M2:求 中 的重数 和M3:令M4:计算M5:若,且 是整数,则令,计算有理解分母因子重数算法,有理解分母因子重数的确定,