对坐标的曲面积分的概念与性质.ppt
,一、对坐标的曲面积分的概念与性质,二、对坐标的曲面积分的计算法,三、两类曲面积分之间的联系,105 对坐标的曲面积分,有向曲面、,流向曲面一侧的流量,对坐标的曲面积分的定义、,对坐标的曲面积分的性质,计算公式,一、对坐标的曲面积分的概念与性质,有向曲面：通常我们遇到的曲面都是双侧的曲面的方向可以用曲面上的单位法向量n cosa,cosb,cosg的方向来确定 例如由方程zz(x,y)表示的曲面分为上侧与下侧，,在曲面的上侧cosg 0，,一、对坐标的曲面积分的概念与性质,有向曲面：通常我们遇到的曲面都是双侧的曲面的方向可以用曲面上的单位法向量n cosa,cosb,cosg的方向来确定 例如由方程zz(x,y)表示的曲面分为上侧与下侧，,在曲面的上侧cosg 0，,在曲面的下侧cosg 0,g(,一、对坐标的曲面积分的概念与性质,有向曲面：通常我们遇到的曲面都是双侧的曲面的方向可以用曲面上的单位法向量n cosa,cosb,cosg的方向来确定 例如由方程zz(x,y)表示的曲面分为上侧与下侧，在曲面的上侧cosg 0，在曲面的下侧cosg 0,闭曲面分为内侧与外侧,类似地，如果曲面的方程为yy(z,x)，则曲面分为左侧与右侧，在曲面的右侧cosb 0，在曲面的左侧cosb 0,如果曲面的方程为xx(y,z)，则曲面分为前侧与后侧，在曲面的前侧cos a0，在曲面的后侧cosa 0,流向曲面一侧的流量：,设稳定流动的不可压缩流体的速度场由V(x,y,z)P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)给出，S是速度场中的一片有向曲面，函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)都在S上连续，求在单位时间内流向S指定侧的流体的体积，即流量m,V(x,y,z),显然在t时间内流过s 的是一个弯曲的柱体,流向曲面一侧的流量：,对于S上的一个小块s，,它的体积近似于以s为底，而高为(|V|t)cos(V,n)Vn t的柱体的体积：Vn t S，这里n cosa,cosb,cosg是s上的单位法向量，S表示s的面积,V(x,y,z),显然在t时间内流过s 的是一个弯曲的柱体,流向曲面一侧的流量：,对于S上的一个小块s，,它的体积近似于以s为底，而高为(|V|t)cos(V,n)Vn t的柱体的体积：Vn t S，这里n cosa,cosb,cosg是s上的单位法向量，S表示s的面积,所以单位时间内流向s 指定侧的流体的流量近似于V n S P(x,y,z)cosa Q(x,y,z)cosb R(x,y,z)cosg S,流向曲面一侧的流量：,对于S上的一个小块s，单位时间内流向s 指定侧的流体的流量近似于V n S P(x,y,z)cosa Q(x,y,z)cosb R(x,y,z)cosg S,舍去流体这个具体的物理内容，我们就抽象出如下对坐标的曲面积分的概念,按对面积的曲面积分的定义，在单位时间内流向S指定侧的流量,对坐标的曲面积分的定义：,设S是空间内一个光滑的曲面，n cosa,cosb,cosg是其上的单位法向量，V(x,y,z)P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)是确定在S上的向量场如果下列各式右端的积分存在，我们定义,并分别称为P在曲面S上对坐标y、z的曲面积分，Q在曲面S上对坐标z、x的曲面积分，R 在曲面S上对坐标y、z的曲面积分其中P、Q、R叫做被积函数，S叫做积分曲面,以上三个曲面积分也称为第二类曲面积分,三个对坐标的曲面积分之和的简记形式：,根据对坐标的曲面积分的定义，通过S流向指定侧的流量m可表示为,如果S是分片光滑的有向曲面，我们规定函数在S上对坐标的曲面积分等于函数在各片光滑曲面上对坐标的曲面积分之和,在分片光滑的曲面上对坐标的曲面积分：,对坐标的曲面积分的性质：,对坐标的曲面积分具有与对坐标的曲线积分类似的些性质例如：(1)如果把S分成S 1和S2，则,(2)设S是有向曲面，S表示与S取相反侧的有向曲面，则,这是因为如果n cosa,cosb,cosg是S的单位法向量，则S上的单位法向量是-n-cosa,-cosb,-cosg,二、对坐标的曲面积分的计算法,设积分曲面S由方程zz(x,y)给出，S在xOy面上的投影区域为Dxy，函数zz(x,y)在Dxy上具有一阶连续偏导数，被积函数R(x,y,z)在S上连续，则有,其中如果取曲面的上侧则积分前带正号，如果取曲面的下侧则积分前带负号,这是因为,二、对坐标的曲面积分的计算法,设积分曲面S由方程zz(x,y)给出，S在xOy面上的投影区域为Dxy，函数zz(x,y)在Dxy上具有一阶连续偏导数，被积函数R(x,y,z)在S上连续，则有,其中如果取曲面的上侧则积分前带正号，如果取曲面的下侧则积分前带负号,这是因为,二、对坐标的曲面积分的计算法,设积分曲面S由方程zz(x,y)给出，S在xOy面上的投影区域为Dxy，函数zz(x,y)在Dxy上具有一阶连续偏导数，被积函数R(x,y,z)在S上连续，则有,其中如果取曲面的上侧则积分前带正号，如果取曲面的下侧则积分前带负号,类似地，如果S由xx(y,z)给出，则有,如果S由yy(z,x)给出，则有,问：如何确定积分前的符号？,W的整个表面的外侧，W=(x,y,z)|0 xa，0yb，0zc,解 把有向曲面S分成以下六部分：,S1：zc(0 xa,0yb)的上侧；,S2：z0(0 xa,0yb)的下侧；,S3：xa(0yb,0zc)的前侧；,S4：x0(0yb,0zc)的后侧；,S5：yb(0 xa,0zc)的右侧；,S6：y0(0 xa,0zc)的左侧,除S3、S4外，其余四片曲面在yO z 面上的投影为零，因此,例1,W的整个表面的外侧，W=(x,y,z)|0 xa，0yb，0zc,解 把有向曲面S分成以下六部分：,S1：zc(0 xa,0yb)的上侧；,S2：z0(0 xa,0yb)的下侧；,S3：xa(0yb,0zc)的前侧；,S4：x0(0yb,0zc)的后侧；,S5：yb(0 xa,0zc)的右侧；,S6：y0(0 xa,0zc)的左侧,除S3、S4外，其余四片曲面在yO z 面上的投影为零，因此,类似地可得,于是所求曲面积分为(abc)abc,例1,在x0，y0的部分,解 把有向曲面S分成以下两部分：,S1和S2在xOy面上的投影区域都是 D x y：x2y21(x0,y0),S2,S1,在x0，y0的部分,解 把有向曲面S分成以下两部分：,S1和S2在xOy面上的投影区域都是 D x y：x2y21(x0,y0),三、两类曲面积分之间的联系,由对坐标的曲面积分的定义，有,于平面z0及z2之间的部分的下侧,解 由两类曲面积分之间的关系，可得,在曲面S上,于平面z0及z2之间的部分的下侧,解 由两类曲面积分之间的关系，可得,在曲面S上,
