实验五一元函数积分学.ppt
MATLAB,高等数学实验,实验五 一元函数积分学,实验目的掌握用MATLAB计算不定积分与定积分的方法。通过作图和观察，深入理解定积分的概念和几何意义。理解变上限积分概念。提高应用定积分解决各种问题的能力。,5.1 学习MATLAB命令,5.1.1 积分命令,MATLAB软件求函数积分的命令是int，它既可以用于计算不定积分，也可以用于计算定积分。具体为:(1)int(f)求函数f关于syms定义的符号变量的不定积分;(2)int(f,v)求函数f关于变量v的不定积分;(3)int(f,a,b)求函数f关于syms定义的符号变量的从a到b的定积分;(4)int(f,v,a,b)求函数f关于变量v的从a到b的定积分。,数值积分命令,quad(f,a,b)命令是用辛普森法求定积分 的近似值。其形式为:syms xquad(f(x),a,b)例如求定积分 的近似值，可以输入:syms xquad(sin(x.2),0,1)则输出为:ans=0.3103,5.2 实验内容,5.2.1 用定义计算定积分,当f(x)在a,b上连续时，有:因此将 与 作为 的近似值。在例1中定义这两个近似值为f，a，b和n的函数。,【例1】计算 的近似值。输入:n=128;x=0:1/n:1;left_sum=0;right_sum=0;for i=1:nleft_sum=left_sum+x(i)2*(1/n);right_sum=right_sum+x(i+1)2*(1/n);endleft_sumright_sum输出为:left_sum=0.3294right_sum=0.3372,若将以上输入中的n依次换为2，4，8，16，32，64，128，256，512，1024，而其他的不改动，则输出依次为:nleft_sumright_sum20.12500.625040.21880.468880.27340.3984160.30270.3652320.31790.3491640.32560.34121280.32940.33722560.33140.33535120.33240.334310240.33280.3338这是 的一系列近似值，且有left_sum right_sum。,【例2】计算 的近似值。输入:n=100;x=0:1/n:1;left_sum=0;right_sum=0;for i=1:n if i=1 left_sum=left_sum+1/n;else left_sum=left_sum+sin(x(i)/x(i)*(1/n);end right_sum=right_sum+sin(x(i+1)/x(i+1)*(1/n);endleft_sumright_sum,输出为:left_sum=0.9469righ_sum=0.9453若将以上输入中的n依次换为50，150，200，500，而其余不改动，则输出依次为:n left_sumright_sum500.94470.94451000.94690.94531500.94660.94562000.94650.94575000.94620.9459注 用这种方法（矩形法）得到的定积分的近似值随n收敛的很慢。可以利用梯形法或抛物线法改进收敛速度（quad命令就是利用抛物线法的）。,5.2.2 不定积分计算,【例3】求。输入:syms xint(x2*(1-x3)5,x)则得到输出:ans=-1/18*x18+1/3*x15-5/6*x12+10/9*x9-5/6*x6+1/3*x3即:注 用MATLAB软件求不定积分时，不自动添加积分常数C。,【例4】求。输入:syms xint(exp(-2*x)*sin(3*x),x)则得到输出:ans=-3/13*exp(-2*x)*cos(3*x)-2/13*exp(-2*x)*sin(3*x)即:,【例5】求输入:syms xint(atan(x)*x2,x)则得到输出:ans=1/3*x3*atan(x)-1/6*x2+1/6*log(x2+1)即:,【例6】求输入:syms xint(sin(x)/x,x)则输出为:ans=sinint(x)它已不是初等函数。,5.2.3 定积分计算,【例7】求输入:syms xjf=int(x-x2),x,0,1)则得到输出:jf=1/6,【例8】求输入:syms xjf=int(abs(x-2),x,0,4)则得到输出:jf=4,【例9】求输入:syms xjf=int(sqrt(4-x2),x,1,2)则得到输出:jf=2/3*pi-1/2*3(1/2),【例10】求输入:syms xjf=int(exp(-x2),x,0,1)则输出为:jf=1/2*erf(1)*pi(1/2)其中erf是误差函数，它不是初等函数。改为求数值积分，输入:syms xquad(exp(-x.2),0,1)则有结果:ans=0.7468,5.2.4 变上限积分,【例11】求输入:diff(int(w(x),0,(cos(x)2)则得到输出:ans=-2*cos(x)*sin(x)*w(cos(x)2)即:注 这里使用了复合函数求导公式。,5.2.5 定积分应用,【例12】求曲线 与x轴所围成的图形分别绕x轴和y轴旋转所形成的旋转体体积。用surf命令作出这两个旋转体的图形。在图形绕x轴旋转时，体积在图形绕y轴旋转时，体积输入:ezplot(x*sin(x)2,0,pi)执行后得到的图形如图5-1所示。,图5-1,观察g(x)的图形。再输入:syms xint(pi*(x*(sin(x)2)2,x,0,pi)则得到:ans=1/8*pi4-15/64*pi2即:,又输入:syms xint(2*x2*pi*sin(x)2,x,0,pi)则得到:ans=1/3*pi4-1/2*pi2即:若输入:syms xquad(2*pi*(x.2).*sin(x).2,0,pi)则得到体积的近似值为:ans=27.5349,为了作出旋转体的图形，输入:r=0:0.1:pi;t=-pi:0.1:pi;r,t=meshgrid(r,t);x=r;z=r.*sin(t).*sin(r).2;y=r.*cos(t).*sin(r).2;surf(x,y,z)title(绕x轴旋转);xlabel(x轴);ylabel(y轴);zlabel(z轴)便得到绕x轴旋转所得旋转体的图形(见图5-2)。注 利用曲面参数方程作出曲面图形的命令，详见实验六。,图5-2,又输入:r=0:0.1:pi;t=-pi:0.1:pi;r,t=meshgrid(r,t);x=r.*cos(t);z=r.*sin(t);y=r.*sin(r).2;surf(x,y,z)title(绕y轴旋转);xlabel(x轴);ylabel(y轴);zlabel(z轴)便得到绕y轴旋转所得旋转体的图形(见图5-3)。,图5-3,
