定积分的换元法储宝增高数.ppt

二、定积分的分部积分法,第三节,不定积分,一、定积分的换元法,换元积分法,分部积分法,定积分,换元积分法,分部积分法,定积分的换元法和,分部积分法,第五章,定理1,则有,定积分换元公式,假设函数,一、定积分的换元法,函数,满足条件:,(1),(2),具有连续导数,且其值域,definite integral by substitution,证,故有,则,由于,N-L公式,N-L公式,则,所以存在原函数,原函数,由于积分限做了相应的,故积出来的原函数不必回代;,求定积分的方法有两种方法:,可用N-L公式;,从换元的观点.,(1),换元公式仍成立;,(2),在定积分换元公式中,改变,(3),例1.计算,解:令,则,原式=,且,例2.计算,解 设,，则,，于是,.,例3.计算,解,例4.计算,解:令,则,原式=,且,例5.已知,连续，,求.,解 令,，则有,且当,从而,.,于是有,两边对x求导，得,即,在上式中，令,得,，即,.,例5续,例6.,证:,(1)若,(2)若,偶倍奇零,例7.计算,解 原式,.,可得:,由定积分的几何意义(面积的代数和)也可得.,奇、偶函数在对称区间上的定积分性质,且有,则,则,例,证,(1),三角函数的定积分公式,例,由此计算,设,证毕.,设,证,由此计算,周期函数的定积分公式,这个公式就是说：,周期函数在任何长为一周期的,区间上的定积分都相等.,(留给同学证),二、定积分的分部积分法,定理2.,则,证:,例9.计算,于是,例10.计算,解,例11.计算,解 原式,.,例12.证明,证:令,n 为偶数,n 为奇数,则,令,则,由此得递推公式,于是,而,故所证结论成立.,例,上公式在计算其它积分时可以直接引用.,例,解,用公式,n为正偶数,练习,解,用定积分的分部积分公式,解,则,是奇函数,是偶函数,练习,n为正偶数,定积分的分部积分公式,三、小结,定积分的换元公式,奇、偶函数在对称区间上的定积分性质,三角函数的定积分公式,周期函数的定积分公式,思考与练习,1.,提示:令,则,2.设,解法1,解法2,对已知等式两边求导,思考:,若改题为,提示:两边求导,得,得,3.设,求,解:,(分部积分),备用题,1.证明,证：,是以 为周期的函数.,是以 为周期的周期函数.,解：,2.,右端,试证,分部积分积分,再次分部积分,=左端,