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2 平面力系,2.1 平面汇交力系合成与平衡的几何法,2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法,2.3 平面力系中力对点之矩的概念及计算,2.4 平面力偶,2 平面力系,2.5 平面任意力系合成与平衡,按照力系中各力的作用线是否在同一平面来分，力系可分为：,平面力系和空间力系,汇交力系、平行力系和任意力系,按照力系中各力的作用线是否相交、平行来分，力系可分为：,平面汇交力系：各力的作用线都在同一平面内且汇交于一点的力系。,2.1 平面汇交力系合成与平衡的几何法,一、平面汇交力系合成的几何法,力多边形,可任意变换各分力矢的次序,结论:平面汇交力系可简化为一合力,其合力的大小与方向等于各分力的矢量和(几何和),合力的作用线通过汇交点。,特殊情况：如力系中各力的作用线都沿同一直线，则此力系称为共线力系它是平面汇交力系的特殊情况，该力系合力的大小与方向决定于各分力的代数和，即,2.1 平面汇交力系合成与平衡的几何法,二、平面汇交力系平衡的几何法,平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：,该力系的合力等于零。即,在平衡时，力多边形最后一个力的终点与第一个力的起点重合，此时的力多边形称为封闭的力多边形。,于是，平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：该力系的力多边形自行封闭，这是平衡的几何条件。,2.1 平面汇交力系合成与平衡的几何法,例：门式刚架，在B点受一水平力F=20kN，不计刚架自重。求支座 A、D 的约束力。,解：,1.取刚架为研究对象,2.画受力图,3.按比例作力三角形,4.量得,2.1 平面汇交力系合成与平衡的几何法,a,b,例,45,45,三铰刚架受力如图示,求:A,B,C处的约束反力,解:,（1）以AC为研究对象,画受力图,(2)以CB为研究对象,画受力图，,FA=FC=0.707P,2.1 平面汇交力系合成与平衡的几何法,（3）画力多边形,又：,解：研究物块,受力如图，,解力三角形：,2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法,再研究球，受力如图：,作力三角形,解力三角形：,2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法,FNB=0时为球离开地面,一、力在正交坐标轴系的投影与力的解析表达式,力在轴上的投影:Fx和Fy为代数量,称为力的解析表达式,2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法,二、平面汇交力系合成的解析法,根据合矢量投影定理,由上节知：,2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法,例：F1=2kN，F2=3kN，F3=1kN，F4=2.5kN，用解析法求合力。,取坐标系Axy。,合力方向:,合力大小:,2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法,解：,三、平面汇交力系平衡的解析法,该力系平衡的必要和充分条件是:,欲使上式成立，必须同时满足,平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：,称为平面汇交力系的平衡方程。,各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零。,2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法,例：如图所示，重物P=20kN，用钢丝绳挂在支架的滑轮上，钢丝绳的另一端缠绕在铰车D上。杆AB与BC铰接，并以铰链A、C与墙连接。如两杆和滑轮的自重不计，并忽略摩擦和滑轮的大小，试求平衡时杆AB和BC所受的力。,2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法,1.取滑轮B为研究对象,2.画研究对象的受力图,3.列平衡方程,4.解方程,FBC为正值，表示这力的假设方向与实际方向相同，即杆BC受压。FBA为负值，表示这力的假设方向与实际方向相反，即杆AB也受压力。,2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法,解：,例：如图所示的压榨机中，杆AB和BC的长度相等，自重不计。A、B、C处为铰链连接。已知活塞D上受到油缸内的总压力为F=3kN，h=200mm，l=1500mm。试求压块C对工件与地面的压力，以及AB杆所受的力。,2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法,解：,解得,再取压块C为研究对象,解得,先取活塞杆DB为研究对象,2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法,例 已知：P=20 kN，不计杆重和滑轮尺寸，求：杆AB与BC所受的力。,解：以滑轮为研究对象,画受力图,列平衡方程求解,其中,解得,（压）,（拉）,2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法,例 已知 P=2kN，求CD所受的力和A处的约束反力。,解得：,；,解：以AB杆为研究对象,画受力图,列平衡方程求解,2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法,2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法,例 已知如图P、Q，求平衡时=？地面的反力FND=？,解：研究球，受力如图.,由得,由得,列平衡方程为,x,y,而,1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度特殊时用几何法（解力三角形）比较简便。,解题技巧及说明：,3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中只有一个未知数。,2、一般对于受多个力作用的物体，都用解析法。,2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法,5、解析法解题时，力的方向可以任意设，如果求出 负值，说明力方向与假设相反。对于二力构件，一般先设为拉力，如果求出负值，说明物体受压力。,4、对力的方向判定不准的，一般用解析法。,2.3 平面力系中力对点之矩的概念及计算,一、力对点之矩（力矩）,点O：矩心,距离h:力臂,力对点之矩是一个代数量，,显然，当力的作用线通过矩心，即力臂等于零时，它对矩心的力矩等于零。,力矩的单位常用 Nm 或 kNm。,它的绝对值等于力的大小与力臂的乘积，,其正负按下法确定：,力使物体绕矩心逆时针转向时为正，反之为负。,二、合力矩定理与力矩的解析表达式,合力矩定理：平面汇交力系的合力对于平面内任一点之矩等于所有各分力对于该点之矩的代数和。,上式适用于任何有合力存在的力系。,2.3 平面力系中力对点之矩的概念及计算,力矩的解析表达式,或,上式为平面内力对点的矩的解析表达式。,2.3 平面力系中力对点之矩的概念及计算,例：作用于齿轮的啮合力Fn=1000N，节圆直径D=160mm，压力角=20。求啮合力Fn对于轮心O之矩。,（1）应用力矩计算公式,解：,（2）应用合力矩定理,h,2.3 平面力系中力对点之矩的概念及计算,2.4 平面力偶,一、力偶与力偶矩,力偶：两个大小相等、方向相反且不共线的平行力组成 的力系。,d 称为力偶臂,力偶所在的平面称为力偶的作用面。,（1）力偶不能合成为一个力，力偶也不能用一个力来平衡。因此，力和力偶是静力学的两个基本要素,（2）力偶对作用面内任一点的矩，与矩心的位置无关。,力偶矩是一个代数量，其绝对值等于力的大小与力偶臂的乘积，正负号表示力偶的转向：一般以逆时针转向为正，反之为负。,力偶矩的单位：Nm。,简记为M。,2.4 平面力偶,二、同平面内力偶的等效定理,定理：在同平面内的两个力偶，如果力偶矩相等，则两力偶彼此等效。,证明：,2.4 平面力偶,由图可见:,ACB和ADB同底等高，面积相等，于是得,由假设知,因此有,于是得,2.4 平面力偶,由此可得推论,（1）任一力偶可以在它的作用面内任意移转，而不改变它对刚体的作用。因此，力偶对刚体的作用与力偶在其作用面内的位置无关。,（2）只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不变，可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不改变力偶对刚体的作用。,2.4 平面力偶,三、平面力偶系的合成和平衡条件,1.平面力偶系的合成,d1,d,d2,d,A,A,B,B,=,=,2.4 平面力偶,2.平面力偶系的平衡条件,平面力偶系的平衡方程。,如果有两个以上的平面力偶，都可按照上述方法合成。即在同平面内的任意个力偶可合成为一个合力偶，合力偶矩等于各个力偶矩的代数和。,由合成结果可知，力偶系平衡时，其合力偶的矩等于零。因此，平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力偶矩的代数和等于零。,2.4 平面力偶,例：如图所示的工件上作用有四个力偶。各力偶矩的大小为 M1=M2=M3=M4=15Nm。固定螺柱A和B的距离l=200mm。求两个光滑螺柱所受的铅垂力。,选工件为研究对象。,由力偶系的平衡条件知,解：,2.4 平面力偶,例：机构自重不计。圆轮上的销子A放在摇杆BC上的光滑导槽内。圆轮上作用一力偶，其力偶矩为 M1=2kNm，OA=r=0.5m。图示位置时OA与OB垂直，=30，且系统平衡。求作用于摇杆BC上力偶的矩M2及铰链O，B处的约束力。,2.4 平面力偶,先取圆轮为研究对象,解得,再取摇杆BC为研究对象,其中FA=FA。得,解：,2.4 平面力偶,补充：,1.在图示机构中，各构件的自重略去不计。在构件AB上作用一力偶矩为M的力偶，求支座A和B的约束力。,2.在图示结构中，各构件的自重略去不计。在构件BC上作用一力偶矩为M的力偶，求支座A的约束力。,39,2.5 平面任意力系合成与平衡,一、力的平移定理,=,=,力偶,称为附加力偶,附加力偶的矩为：,B,d,M,二、平面任意力系向作用面内一点简化,O,M1,M2,Mn,MO,=,=,点O-称为简化中心,（i=1，2，n）,平面任意力系,平面汇交力系,平面力偶系,一个力偶MO(力系的主矩）,2.5 平面任意力系合成与平衡,2.力系对于简化中心O的主矩 Mo:,即主矩Mo等于各附加力偶矩的代数和，又等于原来各力对点O的矩的代数和。主矩一般与简化中心有关。,2.5 平面任意力系合成与平衡,力系对点O的主矩的解析表达式为,2.5 平面任意力系合成与平衡,固定端（插入端支座）,2.5 平面任意力系合成与平衡,三、平面任意力系的简化结果分析,平面任意力系向作用面内一点简化的结果，可能有四种情况。,平面任意力系简化为一个合力偶的情况,则原力系合成为合力偶。合力偶矩为,当力系合成为一个合力偶时，主矩与简化中心的选择无关。,2.5 平面任意力系合成与平衡,合力矢等于主矢。,2.平面任意力系简化为一个合力的情况,（a）主矩等于零，主矢不等于零，即,（b）主矢和主矩都不等于零，即,d,=,=,2.5 平面任意力系合成与平衡,合力作用线到点O的距离d为：,（c）合力矩定理,而,所以得证,平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩等于力系中各力对同一点的矩的代数和。,.平面任意力系平衡的情况,原力系平衡。下节详细讨论。,这就是合力矩定理。,2.5 平面任意力系合成与平衡,例：已知：P1=450kN，P2=200kN，F1=300kN，F2=70kN。求力系向点O简化的结果，合力与OA的交点到点O的距离x。,解：,主矢在x，y轴上的投影为,（1）先将力系向点O简化,主矢的大小和方向余弦为,2.5 平面任意力系合成与平衡,力系对点O的主矩为,其作用线位置的x值为,d,2.5 平面任意力系合成与平衡,例3-1 已知F1=150N，F2=200N,F3=300N,F=F=200N。求力系向点O的简化结果，并求力系合力的大小及其与原点O的距离。,解,2.5 平面任意力系合成与平衡,得力系向点O的简化结果如图（b);,(b),(c),合力及其与原点O的距离如图(c)。,例3-2 水平梁AB受按三角形分布的载荷作用，如图示。载荷的最大值为q，梁长l，求合力作用线的位置。,q,解 在梁上距A端为 x 处的载荷集度为 q(x)=qx/l。在此处取的一微段dx，梁在微段dx 受的力近似为 F(x)=qxdx/l。梁由 x=0 到 x=l 的分布载荷合力为,设合力作用线到A端的距离为 xC，根据合力矩定理,如果平面任意力系的主矢和主矩都等于零，即,显然,MO=0,汇交力系为平衡力系；,力偶系也是平衡力系。,因此，主矢和主矩都等于零为该力系平衡的充分条件。,原力系必为平衡力系。,若主矢和主矩有一个不等于零，则该力系简化为合力或合力偶，原力系不平衡。,因此，主矢和主矩都等于零为该力系平衡的必要条件。,平面任意力系平衡的必要和充分条件是：,力系的主矢和对任一点的主矩都等于零。,2.5 平面任意力系合成与平衡,平衡条件用解析式表示为：,上式称为平面任意力系的平衡方程。,所有各力在两个任选的坐标轴上的投影的代数和分别等于零，以及各力对于任意一点的矩的代数和也等于零。,平面任意力系平衡的必要和充分条件是：,2.5 平面任意力系合成与平衡,二力矩形式的平衡方程,三力矩形式的平衡方程,平衡方程的其它形式：,其中x轴不得垂直于A，B两点的连线。,其中A，B，C三点不得共线。,2.5 平面任意力系合成与平衡,平面平行力系的平衡方程，也可用两个力矩方程的形式，即,平面平行力系是平面任意力系的一种特殊情形。,如选取x轴与各力垂直，则,于是，平面平行力系的独立平衡方程只有两个，即,注意：点A、B的连线不能与力平行。,2.5 平面任意力系合成与平衡,例：已知小车重P=10kN，绳与斜面平行，=30，a=0.75m，b=0.3m，不计摩擦。求钢丝绳的拉力及轨道对于车轮的约束力。,取小车为研究对象。,解得,解：,2.5 平面任意力系合成与平衡,例：起重机重P1=10kN，可绕铅直轴AB转动；起重机的挂钩上挂一重为P2=40kN的重物。起重机的重心C到转轴的距离为1.5m，其他尺寸如图所示。求在止推轴承A和轴承B处的约束力。,2.5 平面任意力系合成与平衡,解：取起重机为研究对象。,解得,2.5 平面任意力系合成与平衡,例：在水平双伸梁上作用有集中力F、矩为M的力偶和集度为q的均布载荷。如已知F=20kN，M=16kNm，q=20kN/m，a=0.8m。求支座A、B的约束力。,解：取梁为研究对象。,解得,2.5 平面任意力系合成与平衡,例：自重为P=100kN的T字形刚架ABD，置于铅垂面内，载荷如图所示。其中M=20kNm，F=400kN，q=20kN/m，l=1m。试求固定端A的约束力。,2.5 平面任意力系合成与平衡,解：取刚架为研究对象。,其中,解得,2.5 平面任意力系合成与平衡,例：塔式起重机如图所示。机架重P1=700kN作用线通过塔架的中心。最大起重量P2=200kN，最大悬臂长为12m，轨道AB的间距为4m。平衡荷重P3,到机身中心线距离为6m。保证起重机在满载和空载时都不致翻倒，求平衡荷重P3应为多少？,2.5 平面任意力系合成与平衡,解：取起重机为研究对象。,（1）满载时：,为使起重机不绕点B翻倒,须FA0,即,（2）空载时：,为使起重机不绕点A翻倒，须FB0，即,所以起重机平衡荷重P3应为：,6m,12m,2.5 平面任意力系合成与平衡,物体系：由几个物体组成的系统。,当物体系平衡时，组成该系统的每一个物体都处于平衡状态，因此对于每一个受平面任意力系作用的物体，均可写出三个平衡方程。如物体系由n个物体组成，则共有3n个独立方程。如系统中有物体受平面汇交力系或平面平行力系作用时，则系统的平衡方程数目相应减少。,静定和超静定（静不定）的概念,超静定问题:独立方程数目未知数数目,由平衡方程无法求解。,静定问题:独立方程数目未知数数目,由平衡方程可解。,2.5 平面任意力系合成与平衡,2.5 平面任意力系合成与平衡,2.5 平面任意力系合成与平衡,例：图示静定多跨梁由AB梁和BC梁用中间铰B连接而成，支承和载荷情况如图所示。已知F=20kN，q=5kN/m，=45。求支座A、C的约束力和中间铰B处的约束力。,解：,先取BC梁为研究对象。,2.5 平面任意力系合成与平衡,再取AB梁为研究对象。,2.5 平面任意力系合成与平衡,例：图示为曲轴冲床简图，OA=R，AB=l。忽略摩擦和自重，当OA在水平位置、冲压力为F时系统处于平衡状态。求：（1）作用在轮上的力偶之矩M的大小；（2）轴承O处的约束力；（3）连杆AB受的力；（4）冲头给导轨的侧压力。,2.5 平面任意力系合成与平衡,解：先取冲头为研究对象。,解得,再取轮为研究对象。,2.5 平面任意力系合成与平衡,例：一支架如图所示，AB=AC=CD=1m，滑轮半径r=0.3m，重物P=100kN，A、B 处为固定铰链支座，C 处为铰链连接。不计绳、杆、滑轮重量和摩擦，求A、B支座的反力。,解：先取整体为研究对象。,2.5 平面任意力系合成与平衡,再取杆BCE为研究对象。,其中,解得,2.5 平面任意力系合成与平衡,例：已知F=1kN，AC=1.6m，BC=0.9m，CD=EC=1.2m，AD=2m。若AB水平、ED铅垂，求BD杆的内力和支座A的反力。,1.6m,0.9m,2m,1.2m,1.2m,x,先取整体为研究对象。,再取AB杆为研究对象。,解：,2.5 平面任意力系合成与平衡,例：已知P1=50kN，P2=10kN。求支座A，B和D三处的约束力。,先取起重机为研究对象。,再取CD梁为研究对象。,最后取整体为研究对象。,解：,2.5 平面任意力系合成与平衡,例：图示一结构由AB、BC 与CE 三个构件构成。E 处有一滑轮，细绳通过该轮悬挂一重为 1.2 kN 的重物。尺寸如图，不计杆件与滑轮的重量。求支座A和B处的约束反力，以及杆BC 的内力FBC。,解：（1）选整体为研究对象。,2.5 平面任意力系合成与平衡,（2）取ADB杆为研究对象。,解得,式中r为轮的半径，细绳拉力F=P。,解得,2.5 平面任意力系合成与平衡,2.5 平面任意力系合成与平衡,（1）选CD杆为研究对象。,解得,（2）选BC杆为研究对象。,解得,解:,2.5 平面任意力系合成与平衡,（3）选销钉B为研究对象。,解得,即销钉B对杆AB的作用力为：,2.5 平面任意力系合成与平衡,（4）选直角弯杆AB为研究对象。,解得,2.5 平面任意力系合成与平衡,一、桁架,桁架：由许多杆在两端相互连接而成的结构。,2.5 平面任意力系合成与平衡,这种连接可以是：铰链、铆接、焊接、螺栓连接。连接处称为节点。,2.5 平面任意力系合成与平衡,二、为了简化桁架的计算，工程实际中采用以下几个假设：,（1）桁架的杆件都是直的；,（2）杆件用光滑的铰链连接；,（3）桁架所受的力都作用在节点上，而且在桁架的平面内；,（4）桁架杆件的重量不计，或平均分配在杆件两端的节点上。,这样的桁架，称为理想桁架。,力学中的桁架模型,这种桁架称为平面简单桁架。,基本三角形,2.5 平面任意力系合成与平衡,简化计算模型,2.5 平面任意力系合成与平衡,三、平面简单桁架的静定性,设平面简单桁架的杆件数为m，节点数为n。有,一平面简单桁架，杆件数为 m，节点数为 n。,由于,所以平面简单桁架是静定的。,则该平面简单桁架未知量数为 m+3，独立平衡方程数为 2n。,2.5 平面任意力系合成与平衡,四、计算桁架杆件内力的方法,（1）节点法,桁架的每个节点都受一个平面汇交力系的作用。为了求每个杆件的内力，可以逐个地取节点为研究对象，由已知力求出全部未知的杆件内力，这就是节点法。,例：平面桁架的尺寸和支座如图所示。在节点D处受一集中载荷F=10kN的作用。试求桁架各杆的内力。,2.5 平面任意力系合成与平衡,先取整体为研究对象。,再取节点A为研究对象,再取节点C为研究对象,最后取节点D为研究对象,解：,2.5 平面任意力系合成与平衡,（2）截面法,如只要求计算桁架内某几个杆件所受的内力，可以适当地选取一截面，假想地把桁架截开，再考虑其中任一部分的平衡，求出这些被截杆件的内力，这就是截面法。,例：如图所示平面行桁架，各杆件的长度都等于1m。在节点E，G，F上分别作用载荷FE=10kN，FG=7kN，FF=5kN。试计算杆1，2和3的内力。,2.5 平面任意力系合成与平衡,先取整体为研究对象,作截面m-n将1，2，3杆截断，取桁架左半部为研究对象。,解：,2.5 平面任意力系合成与平衡,特殊杆件的内力判断,2.5 平面任意力系合成与平衡,已知 P d,求：a.b.c.d四杆的内力？,解：由零杆判式,研究A点：,2.5 平面任意力系合成与平衡,例 齿轮传动机构如图示。齿轮的半径为r，自重为P1。齿轮的半径为R=2r，其上固结一半径为r的塔轮，轮与轮共重P2=2P1。齿轮压力角=20，物体C重为P=20P1。求：(1)保持物体C匀速上升时，作用在轮上力偶的矩M；轴承A、B的约束力。,2.5 平面任意力系合成与平衡,解（1）选取轮，及重物C为研究对象。,由压力角定义,2.5 平面任意力系合成与平衡,（2）选取轮为研究对象。,2.5 平面任意力系合成与平衡,解：(1)选整体研究 为研究对象,例 已知各杆均铰接，B端插入地内，P=1000N，AE=BE=CE=DE=1m，杆重不计。求AC 杆内力？B点的反力？,2.5 平面任意力系合成与平衡,(2)再以CD杆为研究对象,2.5 平面任意力系合成与平衡,例 试求图示多跨刚架A、B、C、D处的约束反力。,2.5 平面任意力系合成与平衡,解：,2.5 平面任意力系合成与平衡,以CD为研究对象，画出其受力图,YD=4kN,以整体为研究对象，受力图如下：,FA=39.33kN,2.5 平面任意力系合成与平衡,RB=36.7 kN,XA-10=0,XA=10kN,FA61224+RB+RC=0,2 平面力系,结 束,